τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Θεωρούμε πάνω σε δοθέν κύκλο $\displaystyle{(O)}$ τα σημεία $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B}$ , μεταβλητό σημείο $\displaystyle{P}$ της ευθείας $\displaystyle{AB}$ και τους κύκλους $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(L)}$ ,
τους διερχόμενους από το $\displaystyle{P}$ κι εφαπτόμενους του $\displaystyle{(O)}$ στα σημεία $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι:
α) Οι κύκλοι $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(L)}$ τέμνονται υπό σταθερή γωνία (*)
β) Αν $\displaystyle{N}$ είναι το άλλο κοινό τους σημείο, η ευθεία $\displaystyle{PN}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{ N}$ ;
γ) Έστω $\displaystyle{(C)}$ και $\displaystyle{(C')}$ οι κύκλοι οι εφαπτόμενοι των τριων κύκλων $\displaystyle{ (O), (K) ,(L) }$ .
Κάθε ευθεία που ορίζεται από το $\displaystyle{P}$ και από ένα από τα σημεία επαφής των $\displaystyle{(C) ,(C')}$ και $\displaystyle{(K) ,(L)}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
δ) Οι κύκλοι $\displaystyle{(C)}$ και $\displaystyle{(C') }$ μένουν ορθογώνιοι προς σταθερό κύκλο και εφάπτονται σε σταθερό κύκλο, διαφορετικό του $\displaystyle{(O)}$ .
Ποιοι είναι οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων επαφής των $\displaystyle{ (C) ,(C')}$ με τους $\displaystyle{(K) ,(L)}$ ;

* δηλαδή οι εφαπτόμενες των κύκλων στα κοινά τους σημεία, τέμνονται κατά σταθερή γωνία

: last 008.png (82.06 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Υ.Γ.1. Είναι άλυτη στο βιβλίο (αλλά την έχω την λύση), η πηγή θα δοθεί μετά την λύση
Υ.Γ.2. Στις υπόλοιπες τελευταίες ασκήσεις που δόθηκε ήδη λύση, θα αναφέρω τις ακριβείς πηγές σαν γυρίσω Αθήνα, μιας και είμαι στο χωριό μου (Ζαχάρω Ηλείας) αυτές τις μέρες

#2

Βάζω το σχήμα. Τα υπόλοιπα με την πρώτη ευκαιρία. (Με αντιστροφή κάποια ερωτήματα πάνε καλύτερα)

#3

Ας δούμε τα πρώτα ερωτήματα. Το β. έχει νόημα, αν η AOB

δεν είναι διάμετρος.

α. Είναι προφανείς οι ισότητες γωνιών ε=ζ=η=θ=ι. Η ζητούμενη γωνία των δύο κύκλων ισούται με την γωνία των ακτίνων τους KP, LP

στο σημείο τομής τους

(με την γωνία των εφαπτομένων τους σ' αυτό, έχει πλευρές κάθετες). Αυτή ισούται με $\varepsilon +\iota =\zeta +\eta =180^o-\hat{AOB}$

β. Οι ριζικοί άξονες e_1, e_2, PN

των τριών κύκλων, λαμβανομένων ανά δύο, δεν είναι παράλληλοι, έτσι διέρχονται από το ριζικό τους κέντρο που ονομάζω

. Αυτό είναι το ζητούμενο σημείο. Είναι σταθερό, ως η τομή των εφαπτομένων e_1, e_2

στα σημεία A, B

του αρχικού κύκλου

.

Ο γεωμετρικός τόπος του

είναι ο κύκλος (A,B,S)

, γιατί το τετράπλευρο ABNS

είναι εγγράψιμμο, λόγω της ισότητας των γωνιών β=δ=γ=α

#4

Ας δούμε τα υπόλοιπα ερωτήματα.

Οι ευθείες PV, PM

τέμνουν τις εφαπτόμενες του αρχικού κόκκινου κύκλου στα σημεία S_V, S_M

αντιστοίχως. Το τετράπλευρο ABMS_M

είναι εγγράψιμμο, όπως προκύπτει από την ισότητα γωνιών λ=μ=ν=ξ. Ομοίως και το ABS_VV

είναι εγγράψιμο, αφού ο=μ-ρ=λ-ρ=λ-ρ΄=ο΄.

Αντιστρέφω, τώρα, με κέντρο το

και προκύπτει το δεύτερο σχήμα. Συμβολίζω τα αντίστροφα όλων των σημείων με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα, και, διατηρώ τα χρώματα μεταξύ των αντιστρόφων γραμμών. Ο μπλε και κόκκινος κύκλος εφάπτονται στο

επομένως αντιστρέφονται σε ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, αλλά, και με την μαύρη διακεκομένη ευθεία, αφού η αντιστροφή διατηρεί τις γωνίες. Σημειώνω ότι η ευθεία

είναι σταθερή. Ομοίως και η γωνία q ως συμπληρωματική των Z=z είναι σταθερή.

Τα σημεία b, m, v

είναι συνευθειακά (εύκολο), οπότε τα σημεία A, B, M, V

είναι ομοκυκλικά. Έτσι, από τα παρπάνω, τελικά, τα σημεία A, B, M, S_V, V, S_M

είναι ομοκυκλικά. Έχω:

$cos2q=\frac{el_1}{pl_1}=\frac{l_1d-ed}{R}=\frac{R-(2R-2r)}{R}=2\frac{r}{R}-1\Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{cos2q+1}{2}$ .

Δηλαδή, στην αντιστροφή, όταν το

μεταβάλλεται ο λόγος των ακτίνων r και R είναι σταθερός. Τώρα

$tang=\frac{vt}{tb}=\frac{2r}{\sqrt{4Rr}}=\sqrt{\frac{r}{R}}$ και $tanf=\frac{tang}{2}$

Επομένως οι γωνίες g, f

είναι σταθερές και τώρα όλα πάνε στη θέση τους:

γ. Όταν το

μεταβάλλεται, η ευθεία bmv

σχηματίζει σταθερή γωνία με την ευθεία

, επομένως ο κύκλος AB M S_VV S_M

- που έχει αντίστροφη την ευθεία bmv

-, είναι σταθερός. Έτσι τα σημεία S_v, S_M

είναι σταθερά.

δ. Η ευθεία bc_1

είναι σταθερή - γιατί σχηματίζει σταθερή γωνία f με την σταθερή ευθεία

-, και τέμνει κάθετα τον πορτοκαλί κύκλο c_1

, αφού διέρχεται από το κέντρο του. Επομένως ο κύκλος που έχει αντίστροφη την bc_1

είναι σταθερός και τέμνει κάθετα τον κύκλο

,- ο οποίος έχει αντίστροφο τον κύκλο c_1

-.

Η δεύτερη εφαπτομένη που άγεται από το

στον κύκλο c_1

( η πρώτη είναι η

), είναι και αυτή σταθερή, αφού σχηματίζει γωνία

με την

(δεν χρειάζεται να φανεί στο σχήμα). Επομένως ο κύκλος που έχει αντίστροφη την εφαπτομένη αυτή είναι σταθερός και εφάπτεται στον κύκλο

.

Τέλος, προφανώς, ο γωμετρικός τόπος των σημείων επαφής M, V

είναι ο κύκλος ABS_VS_M

Ομοίως εργαζόμαστε με τον κύκλο

. (είναι ο μικρός πορτοκαλί κύκλος στο πρώτο σχήμα).

parmenides51 · #5

η άσκηση είναι η 21 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Νίκου Χ. Βαρουχάκη
Συμπλήρωμα Γεωμετρίας, δια την Στ' Γυμνασίου
έχει 184 σελίδες κι εκδόθηκε το 1971

οι λύσεις του παραπάνω βιβλίου κυκλοφόρησαν το 1974
σε 90 σελίδες από τον ίδιο συγγραφέα με τον προβλέψιμο τίτλο
Συμπλήρωμα Γεωμετρίας, δια την Στ' Γυμνασίου, λύσεις των ασκήσεων

Υ.Γ. Όλες οι εκφωνήσεις στις τελευταίες ασκήσεις συγκεντρώνονται εδώ

τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

Re: τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

Re: τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

Re: τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

Re: τελευταία 008: εφαπτόμενοι κύκλοι + σταθερά μεγέθη

Μέλη σε σύνδεση