τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Δίνεται γωνία $\displaystyle{xOy}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ της γωνίας. Ζητείται να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το $\displaystyle{P}$
και να τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{Ox,Oy}$ της γωνίας $\displaystyle{ xOy}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ αντίστοιχα έτσι ώστε $\displaystyle{(OAB)=k^2}$ .

: last 009.png (18.06 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Υ.Γ. Είναι λυμένη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

#2

Θεωρώ γνωστό ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι όλων των τριγώνων OAB

για τα οποία mOA+nOB=c^2

(m,n ,c γνωστά) διέρχονται από σταθερό σημείο

, εσωτερικό της γωνίας. (σημείο Mac Laurin)

Ας είναι m, n

οι αποστάσεις του

από τις

αντιστοίχως. Τότε (OAB)=(OAP)+(OBP)

, οπότε

και επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του OAB

διέρχεται από το σημείο

.

Το

βλέπει το γνωστό τμήμα

, υπό γνωστή γωνία: $S\hat{A}P=S\hat{A}B=S\hat{O}y$ γνωστή. Επομένως το

προσδιορίζεται, ως η τομή της

και του τόξου κύκλου που τα σημεία του βλέπουν το

υπό γωνία $S\hat{O}y$ , κ.λπ.

S.E.Louridas · #3

parmenides51 έγραψε: Δίνεται γωνία $\displaystyle{xOy}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ της γωνίας. Ζητείται να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το $\displaystyle{P}$ και να τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{Ox,Oy}$ της γωνίας $\displaystyle{ xOy}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ αντίστοιχα έτσι ώστε $\displaystyle{(OAB)=k^2}$ .

Επειδή είμαστε υπέρμαχοι της άποψης να έχουμε, για τα προβλήματα που τίθενται προς επίλυση, πέραν της μίας λύσεις (όπου βέβαια αυτό είναι δυνατό), ώστε να λειτουργεί και ο υποκειμενισμός του αναγνώστη-λύτη (σε ποια δηλαδή νοοτροπία επίλυσης είναι πιο κοντά) ας δούμε και μία αντιμετώπιση του ωραίου αυτού θέματος με έναν "άλλου τύπου" τρόπο επίλυσης:

Θεωρούμε τρίγωνο TDC

τέτοιο που $\angle TCD =\angle POy,\; \angle CDT =\angle xOP$ .

Αρκεί λοιπόν να προσδιοριστεί σημείο

της

ώστε τα τρίγωνα $CD{O_1}, ABO$ να είναι όμοια , αν O_1

είναι το σημείο τομής της

με τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο TDC

. Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\frac{{\left( {{O_1}CD} \right)}}{{\left( {TDC} \right)}} = \frac{{{O_1}S}}{{ST}},\quad \frac{{\left( {OAB} \right)}}{{\left( {{O_1}CD} \right)}} = \frac{{{k^2}}}{{\left( {{O_1}CD} \right)}} = \frac{{O{P^2}}}{{{O_1}S}} \Rightarrow \frac{{{k^2}}}{{\left( {TDC} \right)}} = \frac{{O{P^2}}}{{{O_1}S \cdot ST}} \Rightarrow}$

$\displaystyle{CS \cdot SD = \frac{{\left( {TDC} \right)O{P^2}}}{{{k^2}}},\;\,ct.\;,}$ με $\displaystyle{CS+SD=CD}$ .

Άρα το σημείο

προσδιορίζεται πλήρως οπότε και το τρίγωνο CDO_1

επομένως και το όμοιο του τρίγωνο ABO

.

S.E.Louridas · #4

Ας δούμε και εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=570170

parmenides51 · #5

Η άσκηση είναι η 907 (τελευταία στο 3ο βιβλίο από τα 4, αντί για κεφάλαια τα ονόμαζε βιβλία, το 4ο ήταν μόνο 20 σελίδες
και τελείως μετρικό - κανονικά πολύγωνα, μέτρηση κύκλου- οπότε διάλεξα από το 3ο)
από το βιβλίο του Γιάννη Αθ. Ντάνη με τίτλο Γεωμετρία 1,
η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας δια τον υποψήφιο θετικών επιστημών,
600 επεξεργασμένα ειδικά θέματα κι ασκήσεις
έχει 368 σελίδες Επιπεδομετρία, θεωρία και ασκήσεις όλες λυμένες ή με υποδείξεις

η Στερεομετρία του για το Πολυτεχνείο ήταν δίτομο έργο

για την ιστορία ας αναφέρω οτι
έγραψε και ένα αντίστοιχο βιβλίο για τις υπόλοιπες σχολές με τίτλο Γεωμετρία,
η θεωρία του επιπέδου και του χώρου, δια τον υποψήφιο μ. πολυτεχνείου και οικονομικών επιστημών
200 επεξεργασμένα ειδικά θέματα και 400 ασκήσεις
έχει 221 σελίδες Επιπεδομετρία και Στερεομετρία, θεωρία και ασκήσεις λυμένες κι άλυτες
εκδόσεις Gutenberg, Αθήνα 1969

τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

Re: τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

Re: τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

Re: τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

Re: τελευταία 009: κατασκευή ευθείας με σταθερό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση