τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

parmenides51 · #1

Συνεχίζοντας από εδώ ..

Τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ και περιγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(I,r)}$ .
Αν $\displaystyle{OI=x}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1}{(R+x)^2}+\frac{1}{(R-x)^2}=\frac{1}{r^2}}$

: last 014.png (41.02 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο συγκεκριμένο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

#2

: Fuss.png (37.33 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Ισχυρισμός: Είναι

$\displaystyle{\boxed{\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{I{B^2}}} + \frac{1}{{I{D^2}}}}}$ .

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Έστω K, L

τα σημεία επαφής του κύκλου $\displaystyle{\left( {I,r} \right)}$ με τις

και

αντίστοιχα, οπότε $\displaystyle{IK = IL = r}$ . Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

έχουμε ότι

$\displaystyle{\angle B + \angle D = {180^ \circ } \Rightarrow \angle IBC + \angle IDC = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle D = {90^ \circ }.}$

Επομένως, τα τρίγωνα IBK

και

"συγκολλούνται" και φτιάχνουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

,

και υποτείνουσα $\displaystyle{BK + DL}$ . Άρα, από γνωστή μετρική σχέση είναι

$\displaystyle{\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{I{B^2}}} + \frac{1}{{I{D^2}}}}$

και ο Ισχυρισμός έπεται.

Έστω τώρα ότι οι

και

τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ στα σημεία

και

αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{\angle AOE + \angle AOF = 2\angle ADE + 2\angle ABF = \angle D + \angle B = {180^ \circ },}$

οπότε η

είναι διάμετρος του κύκλου $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ .

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\displaystyle{\left( {O,R} \right)}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{IB \cdot IF = ID \cdot IE = {R^2} - {x^2},}$

ενώ από το πρώτο Θεώρημα Διαμέσου στο τρίγωνο $\displaystyle{IEF}$ είναι

$\displaystyle{I{E^2} + I{F^2} = 2I{O^2} + 2{R^2} = 2\left( {{R^2} + {x^2}} \right).}$

Άρα, από τον Ισχυρισμό προκύπτει ότι

$\displaystyle{\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{I{B^2}}} + \frac{1}{{I{D^2}}} = \frac{{I{F^2}}}{{{{\left( {{R^2} - {x^2}} \right)}^2}}} + \frac{{I{E^2}}}{{{{\left( {{R^2} - {x^2}} \right)}^2}}} = \frac{{I{E^2} + I{F^2}}}{{{{\left( {{R^2} - {x^2}} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {{R^2} + {x^2}} \right)}}{{{{\left( {R + x} \right)}^2}{{\left( {R - x} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {R + x} \right)}^2} + {{\left( {R - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {R + x} \right)}^2}{{\left( {R - x} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {R - x} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {R + x} \right)}^2}}}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

#3

Αξίζει, πιστεύω, να αναφερθεί ότι το παραπάνω αποτέλεσμα είναι γνωστό στη βιβλιογραφία ως Θεώρημα Fuss.

Σχετικά μπορεί να συμβουλευθεί κανείς:

$\displaystyle{\checkmark}$ Heinrich Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution, Dover 1965, σελίδες 188-193
$\displaystyle{\checkmark}$ Stanley Rabinowitz (Ed.), Problems and Solutions from the mathematical Visitor 1877-1896, MathPro Press 1996, σελ. 143-145.

Μάλιστα, στη δεύτερη βιβλιογραφική αναφορά αναφέρονται και οι ανάλογοι τύποι για πεντάγωνα, εξάγωνα κτλ.

#4

parmenides51 έγραψε:Συνεχίζοντας από εδώ ..

Τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ και περιγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(I,r)}$ .
Αν $\displaystyle{OI=x}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1}{(R+x)^2}+\frac{1}{(R-x)^2}=\frac{1}{r^2}}$

last 014.png
Υ.Γ. Είναι άλυτη στο συγκεκριμένο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

Μερικοί το αναφέρουν και ως θεώρημα Durrande( Marcel Chirita-Dan Mihaela-Ion Chitescu) , Geometria Patrulaterului, editura Teora

parmenides51 · #5

Η άσκηση είναι η 723 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Γ.Β. Μυλωνά
Γεωμετρικές Μεθοδεύσεις
για υποψήφιους ανωτάτων σχολών και μαθητές λυκείου
έχει 191 σελίδες κι εκδόθηκε το 1976 στην Αθήνα, εκδόσεις Σκαφίδα
το οποίο περιέχει μεθοδολογία, ασκήσεις ανά είδος ζητούμενου, λυμένες κι άλυτες

τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

Re: τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

Re: τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

Re: τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

Re: τελευταία 014: αμφιγράψιμο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση