τελευταία 027: γεωμετρικός τόπος + σταθερό σημείο

parmenides51 · #1

Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ της υποτείνουσας $\displaystyle{BC}$ . Φέρνουμε τις $\displaystyle{MD,ME}$ καθέτες στις $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα. Να δειχθεί οτι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο $\displaystyle{MDAE}$ διέρχεται από σταθερό σημείο $\displaystyle{\color{red}S}$ και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού του $\displaystyle{\color{red}S}$ ως προς την $\displaystyle{MD}$ .

: last 027.png (194.32 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο , η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

edit
διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση + σχήματος, ευχαριστώ (δις) τον Σωτήρη (Λουρίδα) που το πρόσεξε

S.E.Louridas · #2

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{{BD}}{{MD}} = t,\;\;ct.\, \Rightarrow tAE + AD = AB,\;\;ct.}$
Από τον γενικότερο Maclaurin παίρνουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος περί το MDAE

περνά από σταθερό σημείο

της ημιευθείας

που είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ο λόγος των αποστάσεων τους από τις πλευρές της γωνίας $\angle CAB$ είναι

.
Αν εζητάτο ο γεωμετρικός τόπος των συμμετρικών του

ως προς τις ευθείες

τότε κατ' αρχάς διαπιστώνουμε ότι τα συμμετρικά αυτά κινούνται
στην περιφέρεια (A,AS)

. Αυτά που αναφέραμε απεικονίζονται στο σχ.1.
Για το ερώτημα που ακολουθεί ο γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα

στο σχ. 2.

parmenides51 έγραψε:...να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού του $\displaystyle{\color{red}S}$ ως προς την $\displaystyle{MD}$ ...

(*) Απλά επανέρχομαι για να πω ότι ο τρόπος επίλυσης που ανέφερα στο 1ο ερώτημα είναι ο γενικός που εφαρμόζεται και στην περίπτωση τυχόντος τριγώνου και που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι ο κύκλος που περνά από τα A,E,D

διέρχεται από σταθερό σημείο.
Στην περίπτωση μας ένας ευκολότερος τρόπος είναι να ονομάσουμε

το ίχνος του ύψους

του ορθογωνίου τριγώνου και να διαπιστώσουμε εύκολα ότι ο κύκλος μας περνά από το

.

parmenides51 · #3

επειδή η τελευταία άσκηση που είχα προτείνει από το ίδιο βιβλίο ήταν κατασκευή,
πρότεινα άλλη μια άσκηση από το ίδιο βιβλίο, την τελευταία πριν τις κατασκευές (που δεν ήταν θέμα σχολών)
η παραπάνω άσκηση είναι η 430 (σελ.127) από το βιβλίο των Α. Κουτουμάνου - Σ. Πάχη με τίτλο
Θεωρητική Γεωμετρία,
μέρος A' , βιβλία Α' και Β' (ένα βιβλίο είναι με δυο μέρη, παλιά τα κεφάλαια τα ονόμαζαν βιβλία)
από τις εκδόσεις Πρωτότυπου Φροντιστηρίου Κουτουμάνου - Αλεξάνδρου, Αθήνα 1966
έχει 131 σελίδες συνολικά, όλο Επιπεδομετρία, επιγραμματικά θεωρία, ελάχιστες λυμένες και οι περισσότερες άλυτες
το μέρος που αποκαλείται βιβλίο Β΄(σχεδόν το μισό βιβλίο) ασχολείται αποκλειστικά με Γεωμετρικούς Τόπους και Κατασκευές

τελευταία 027: γεωμετρικός τόπος + σταθερό σημείο

τελευταία 027: γεωμετρικός τόπος + σταθερό σημείο

Re: τελευταία 027: γεωμετρικός τόπος + σταθερό σημείο

Re: τελευταία 027: γεωμετρικός τόπος + σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση