τελευταία 030: κύκλος Euler και περιβάλλουσες

[parmenides51]

Κι ας μην είναι τελευταία, τα δεδομένα και τα ζητούμενα είναι πρόκληση για να προταθεί ...

Συγκεντρώνονται εδώ

Θεωρούμε κύκλο και σημείο του . Γωνία σταθερού μεγέθους και κορυφής περιστρέφεται γύρω από το , οι πλευρές της τέμνουν τον στα και . Έστω τα μέσα των πλευρών του τριγώνου , τα ίχνη των υψών του και το ορθόκεντρο, το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων και το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC αντίστοιχα. Να αποδειχτεί οτι
α) οι και διέρχονται από σταθερά σημεία και να βρεθεί η περιβαλλούσα της
β) τα ύψη και διέρχονται από σταθερά σημεία και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του
γ) η έχει σταθερή διεύθυνση και οι ευθείες έχουν ως περιβαλλούσα έναν κύκλο
δ) ο κύκλος των εννιά σημείων εφάπτεται δυο ορισμένων κύκλων

last 030.png (34.16 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

[rek2]

Ας δούμε τα πρώτα ερωτήματα. Τα υπόλοιπα με την πρώτη ευκαιρία...
Έστω α η σταθερή γωνία. Φέρνω την εφαπτομένη στο και με τις και ορίζω τις γωνίες .

α) Τα μέσα των είναι τα σταθερά σημεία από τα οποία διέρχονται οι αντιστοίχως.
Πράγματι είναι και και λόγω είναι , άρα , επομένως τα είναι συνευθειακά κ.λπ.

Για την περιβάλλουσα της παρατηρώ ότι η έχει σταθερό μήκος, άρα έχει σταθερό απόστημα, έστω , συνεπώς η περιβάλουσσά της είναι το τόξο του κύκλου που περατώνεται στα σημεία . Επειδή το τρίγωνο είναι σταθερά ομοιόθετο του τριγώνου με κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο , έπεται ότι η περιβάλλουσα της είναι το ομοιόθετο τόξο, στην ίδια ομοιοθεσία, του παραπάνω τόξου. Αν τώρα η γωνία α είναι αμβλεία δεν αλλάζει κάτι. Αν η γωνία α είναι ορθή, η περιβάλλουσα εκφυλίζεται σε σημείο ( το Ο).

Στο δεύτερο σχήμα φαίνονται οι απαντήσεις των λοιπών ερωτημάτων. β) Τα σημεία V, P που τα ύψη CC'', BB'' τέμνουν τον κύκλο είναι σταθερά. Πράγματι π.χ. για το V παρατηρώ ότι η γωνία β, ως συμπληρωματική (εύκολο) της α είναι σταθερή, συνεπώς το τόξο στο οποίο εγγράφεται είναι σταθερό, που σημαίνει ότι το V είναι σταθερό.

Στη συνέχεια η B''C'' είναι κάθετη στην ακτίνα OA (Δεύτερο θεώρημα του Nagel - αν θυμάμαι καλά-. Πάντως, αποδεικνύεται εύκολα με μεταφορά γωνιών αφού η είναι B''C'' παράλληλη στην εφαπτομένη κ.λπ.), συνεπώς έχει σταθερή διεύθυνση.

Τέλος, τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, οπότε . Έτσι ο γεωμετρικός τόπος του είναι το τόξο του κύκλου όπως αυτός περιορίζεται από τις προεκτάσεις των
...

[rek2]

γ. Ότι η έχει σταθερή διεύθυνση φαίνεται στην απόδειξη του προηγούμενου ερωτήματος. Στη συνέχεια θεωρώ γνωστά τα σχετικά με τον κύκλο των εννέα σημείων και ότι

Έστω το μέσο του , του και του . Ο κύκλος με το κέντρο το μέσο του VA, που ανήκει στην μεσοπαράλληλη των και της εφαπτομένης, είναι η παριβάλουσσα της C''A''. (προκύπτει από την μελέτη οριακών θέσεων). Προς τούτο αρκεί να αποδείξω ότι η απόσταση του από την είναι ίση με την ακτίνα . Απλοί υπολογισμοί δίνουν ότι η γωνία έχει μέτρο , και άμεσα, τώρα , συνεπώς η ακτίνα είναι . Ακόμα είναι και

και η απόδειξη έγινε.

δ. Είναι , σταθερό, και ο κύκλος των εννέα σημείων έχει ακτίνα . 'Ετσι οι κύκλοι που έχουν κέντρο το και ακτίνες και εφάπτονται σε αυτόν ( ο πρώτος εξωτερικά, ο δεύτερος εσωτερικά), και όλα έχουν αποδειχτεί.

[parmenides51]

η άσκηση είναι η 929 (προτελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά
Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Β, 2η έκδοση
έχει 314 σελίδες κι εκδόθηκε το 1974 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου