τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

parmenides51 · #1

Το πρώτο ερώτημα είναι αρκετά γνώριμο, το δεύτερο δεν γνωρίζω.
Ας την αντιμετωπίσει καλύτερα κάποιος που δεν την έχει ξαναπετύχει ...

Συγκεντρώνονται εδώ

'Έστω ένα πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle{ABCDEZ}$ . Δείξτε ότι
α) τα $\displaystyle{3}$ μέσα $\displaystyle{O_1,O_2,O_3}$ των $\displaystyle{3}$ διαγωνίων του $\displaystyle{AC,BD,EZ}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία $\displaystyle{(e_1)}$
β) τα $\displaystyle{4}$ ορθόκεντρα $\displaystyle{H_1,H_3,H_3,H_4}$ των $\displaystyle{4}$ τριγώνων $\displaystyle{AED,ABZ,BEC,CDZ}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία $\displaystyle{(e_2)}$
γ) οι ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ είναι κάθετες

: last 031.png (62.87 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Υ.Γ. Είναι λυμένη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

Σακης · #2

1) (ΣΧΗΜΑ 1)
Έστω M_1,M_2,M_3

τα μέσα των AB,BZ,ZA

αντιστοίχως. Έχουμε ότι οι τριάδες σημείων (O_1,M_1,M_2)

,

και

είναι συνευθειακές.

Για να είναι τα O_1,O_2,O_3

συνευθειακά, αρκεί να ισχύει το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο M_1M_2M_3

με διατέμνουσα O_1O_2O_3

, δηλαδή,
αρκεί $\displaystyle{{\frac{O_1M_1}{O_1M_2}.\frac{O_3M_2}{O_3M_3}.\frac{O_2M_3}{O_2M_1}=1}}$ .

Όμως $\displaystyle{\frac{O_1M_1}{O_1M_2}.\frac{O_3M_2}{O_3M_3}.\frac{O_2M_3}{O_2M_1}=\frac{\frac{AD}{2}}{\frac{ZD}{2}}.\frac{\frac{BE}{2}}{\frac{AE}{2}},\frac{\frac{ZC}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{DA}{DZ}.\frac{CZ}{CB}.\frac{EB}{EA}=1}$ από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο ABZ

με διατέμνουσα την DCE

.

2) Λήμμα 1 (ΣΧΗΜΑ 2)

Σε ένα πλήρες τετράπλευρο ABCDEZ

οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABZ,BCE,ADC

και

διέρχονται από το ίδιο σημείο, έστω

.

Απόδειξη : Έστω ότι οι περίκυκλοι των ABZ

και

συντρέχουν στο

. Θα δείξουμε ότι το AMED

(ομοίως και το ZMCD

) είναι εγγράψιμο.
$\widehat{AME}=\widehat{AMB}+\widehat{BME}=\widehat{AZB}+\widehat{BCD}=180^{o}-\widehat{ADE}$

Παρατηρούμε ότι αν P_1,P_2,P_3,P_4

είναι οι προβολές του

στις πλευρές του ABCD

, τότε τα

είναι συνευθειακά καθώς ανά 3 αποτελούν τις ευθείες Simson που αντιστοιχούν στο

, των τριγώνων ABZ,BCE,ADC

και

.

Λήμμα 2 (ΣΧΗΜΑ 3)

Έστω τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο και

σημείο της περίκυκλου. Αν

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, τότε η ευθεία Simpson που αντιστοιχεί στο

διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα

.

Απόδειξη : Έστω

το συμμετρικό του

ως προς την

. Αρκεί η

να είναι παράλληλη στην P_1P_2P_3

.
Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

τότε ανήκει στον περίκυκλο του ABC

και το

είναι εκ κατασκευής ισοσκελές τραπέζιο και άρα εγγράψιμο.

Συνεπώς $\widehat{MM'H}=\widehat{MH'H}=\widehat{MBA}=\widehat{MP_3P_1}$ (από το εγγράψιμο P_1MP_3B

) και άρα

Από τα δύο λήμματα συνεπάγεται το ζητούμενο.

3) (ΣΧΗΜΑ 4)
Έστω ${\Omega}_1,{\Omega}_2,{\Omega}_3$ οι κύκλοι με διαμέτρους τις AC,BD,ZE

.
Αν $G\equiv{AH_1}\cap{DC}$ , $F\equiv{DH_1}\cap{AB}$ και $I\equiv{EH_1}\cap{AD}$ , τότε $G\in{\Omega}_1$ , $F\in{\Omega}_2$ και $I\in{\Omega}_3$

Από τα εγγράψιμμα AFGD

και

έχουμε $H_1A.H_1G=H_1F.H_1D=H_1I.H_1E \Rightarrow$ το H_1

έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους κύκλους ${\Omega}_1,{\Omega}_2,{\Omega}_3$ .
Ομοίως και τα H_2,H_3,H_4

έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τους κύκλους, οπότε η e_2

είναι κάθετη στην e_1

ως ριζικός άξονας στην διάκεντρο.

parmenides51 · #3

η άσκηση είναι το τελευταίο λυμένο παράδειγμα (σελ. 312) από το βιβλίο του Πολιτικού Μηχανικού Άριστου Δημητρίου
Μέθοδοι Επιλύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων, με 1000 εφαρμογές και παραδείγματα γεωμ. τόπων και κατασκευών
έχει 315 σελίδες κι εκδόθηκε στην Αθήνα το 1972 η 1η έκδοση, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου
έχει 31 κεφάλαια, και περιέχει θεωρία μεθοδολογίες λυμένες κι άλυτες με υποδείξεις
η 5η έκδοση από εκδόσεις Gutenberg κυκλοφόρησε το 1976 και η μόνη διαφορά που έχει είναι η προσθήκη της βιβλιογραφίας (μιας σελίδας στο τέλος)
στον πρόλογο αναφέρει οτι το ετοίμαζε 10 (!) χρόνια, και στην ράχη (πλάι) του βιβλίου σαν τίτλος φαίνεται το ''Γεωμετρικά Θέματα''

μερικά ενδιαφέροντα στοιχεία για τον συγγραφέα αναφέρονται κι εδώ

parmenides51 · #4

ας προσθέσω και τα περιεχόμενα του παραπάνω βιβλίου

ΘΕΜΑ 01. Η γωνία $\displaystyle{(\widehat{B}-\widehat{\Gamma})}$ στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$
ΘΕΜΑ 02. Άλλες εμφανίσεις της γωνίας $\displaystyle{(\widehat{B}-\widehat{\Gamma})}$
ΘΕΜΑ 03. Παρατήρηση του Compagnon
ΘΕΜΑ 04. Το στοιχείο $\displaystyle{ (U_{\beta}\pm U_{\gamma}) }$ στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$
ΘΕΜΑ 05. Κατασκευές με στοιχεία μέσ' απ' τα σύνολα $\displaystyle{ [p_{\beta}, p_{\gamma},(\widehat{B}-\widehat{\Gamma}),(\beta+\gamma)]}$ , $\displaystyle{ [p, p_{\alpha},(\widehat{B}-\widehat{\Gamma}),(\beta-\gamma)]}$
ΘΕΜΑ 06. Κατασκευές με στοιχεία μέσ' απ' τα σύνολα $\displaystyle{[U_{\alpha},\mu_{\alpha},(\beta-\gamma),p,p_{\alpha}]}$ , $\displaystyle{[U_{\alpha},\mu_{\alpha},(\beta-\gamma),p_{\beta}, p_{\gamma}]}$
ΘΕΜΑ 07. Θεωρήματα διαμέσων - Θεώρημα Leibniz
ΘΕΜΑ 08. Θεώρημα διχοτόμων - Απολλώνια περιφέρεια
ΘΕΜΑ 09. Μέθοδος του προσηρτημένου παραλληλογράμμου
ΘΕΜΑ 10. Σχήμα Laisant
ΘΕΜΑ 11. Σημεία Emmerich
ΘΕΜΑ 12. Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
ΘΕΜΑ 13. Ριζικός άξονας - Ριζικό κέντρο - Σημεία Poncelet
ΘΕΜΑ 14. Σημεία Maclaurin
ΘΕΜΑ 15. Γενίκευση του Maclaurin
ΘΕΜΑ 16. Σημεία Petersen
ΘΕΜΑ 17. Διατέμνουσες - Θεωρήματα CEVA , Μενελάου
ΘΕΜΑ 18. Μέθοδος του αντιθέτου προβλήματος
ΘΕΜΑ 19. Πρόβλημα του Francoeur
ΘΕΜΑ 20. Ομοιοθεσία
ΘΕΜΑ 21. Μέθοδος του ομοίου βοηθητικού σχήματος
ΘΕΜΑ 22. Απολλώνια προβλήματα και οι δύο κατασκευές του Van Den Broeck
ΘΕΜΑ 23. Τρίγωνο Petersen
ΘΕΜΑ 24. Μετασχηματισμός ομοιότητας
ΘΕΜΑ 25. Στοιχεία αντιστροφής
ΘΕΜΑ 26. Αρμονική διαίρεση - Αρμονική δέσμη
ΘΕΜΑ 27. Πολική ως προς δυο ευθείες - Πολική ως προς κύκλο
ΘΕΜΑ 28. Σημείο Miquel στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$
ΘΕΜΑ 29. Μέγιστα - Ελάχιστα
ΘΕΜΑ 30. Γενικές Σημειώσεις
ΘΕΜΑ 31. Δέσμη κύκλων

τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

Re: τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

Re: τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

Re: τελευταία 031: πλήρες τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση