τελευταία 032: εγγεγραμμένο τετράπλευρο + αρμονική τετράδα

[parmenides51]

Συγκεντρώνονται εδώ

'Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο.
α) Να δειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τα γινόμενα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα (δηλ. ) είναι: οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου που άγονται στα άκρα μιας διαγωνίου, να τέμνονται πάνω στον φορέα της άλλης διαγωνίου.
β) Εαν πληρείται η σχέση στο εγγράψιμο τετράπλευρο , τότε εαν ληφθεί τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτού κύκλου, οι τέσσερεις ευθείες τέμνουν κάθε ευθεία του επιπέδου σε τέσσερα σημεία αποτελούν αρμονική τετράδα.

last 032.png (108.16 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

[Σακης]

α) Έστω ότι οι εφαπτομένες συντρέχουν πάνω στη διαγώνιο.
Τότε από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνουμε:

Έστω τώρα ότι ισχύει η σχέση . Από εδώ συνεπάγεται ότι οι εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμοι των τριγώνων και
συντρέχουν πάνω στην διαγώνιο , έστω στα και .Τα σημεία και ανήκουν στον Απολλώνιο κύκλο των ως προς τα και .

Αν ορίσουμε ως το μέσο του , τότε από θεώρημα Newton έχουμε ότι .
Έφοσον το είναι εγγράψιμο, οι και είναι οι εφαπτόμενες του κύκλου στα και .

β) H είναι η πολική του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του και η μια τέμνουσα.
Άρα το τετράπλευρο είναι αρμονικό, και για κάθε σημείο του κύκλου ισχύει ότι η δέσμη είναι αρμονική.