τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

parmenides51 · #1

Συγκεντρώνονται εδώ

Θεωρούμε κύκλο $\displaystyle{c_1(O_1,R_1)}$ και το σημείο $\displaystyle{ P}$ .
Αν $\displaystyle{O}$ μεταβλητό σημείο του $\displaystyle{ c_1}$ και $\displaystyle{A,B}$ τα κοινά σημεία του $\displaystyle{c_1}$ με τον κύκλο $\displaystyle{ c(O,OP)}$ ,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της προβολής $\displaystyle{M}$ του $\displaystyle{P}$ στην ευθεία

.

: last 033.png (72.21 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

giannimani · #2

Είναι γνωστό ότι, η διαφορά των δυνάμεων ενός σημείου

ως προς δύο κύκλους ισούται με το διπλάσιο γινόμενο
της διακέντρου των δύο κύκλων επί την απόσταση του

από τον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Επομένως, στην περίπτωσή μας $\Delta^{P}_{(O_1,R_1)}-\Delta^{P}_{(O,OP)}=2O_{1}O\cdot PM$ . Εφόσον το σημείο

ανήκει
στον κύκλο (O,OP)

τότε $\Delta^{P}_{(O,OP)}=0$ .
Άρα $\Delta^{P}_{(O_1,R_1)}=2O_{1}O\cdot PM \Rightarrow O_{1}P^2-R_1^2=2R_{1}\cdot PM \Rightarrow PM=\frac{O_{1}P^2-R_1^2}{2R_1}$ .
Επομένως το σημείο

ανήκει στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας $\displaystyle \frac{O_{1}P^2-R_1^2}{2R_1}$ .

parmenides51 · #3

η άσκηση είναι η τελευταία πριν το παράρτημα (σελ. 301) από το βιβλίο του Γιάννη Ντάνη
Μεθοδολογία των Γεωμετρικών Τόπων, για το μαθητή του Λυκείου και τον υποψήφιο των θετικών επιστημών
έχει 351 σελίδες κι εκδόθηκε το 1977, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου
το βασικό του μέρος περιέχει ταξινόμηση των ασκήσεων των γεωμετρικών τόπων σε 7 κατηγορίες
περιέχει μεθοδολογίες, λυμένες με δικά της σχόλια σε καθεμία κι άλυτες
η οργάνωση κάθε κεφαλαίου καθώς και η μεθόδευση είναι υποδειγματική

τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

Re: τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

Re: τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

Μέλη σε σύνδεση