Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνεται ο κύκλος (O, R)

και μία ευθεία που διέρχεται από το

και τέμνει τον κύκλο στα σημεία

,

.
Θεωρούμε τυχαίο σημείο

της διαμέτρου

.
Σχεδιάζουμε τα τετράγωνα ABCD

και

με το

να είναι σημείο του κύκλου (O,R)

,
έτσι ώστε οι κορυφές των τετραγώνων να βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ευθεία

όπως στο συνημμένο σχήμα.
Ονομάζουμε

,

τα κέντρα των δύο τετραγώνων και

το μέσον του

.
Αν το σημείο

κινείται στο τμήμα

, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

.

#2

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Δίνεται ο κύκλος και μία ευθεία που διέρχεται από το και τέμνει τον κύκλο στα σημεία , .
Θεωρούμε τυχαίο σημείο της διαμέτρου .
Σχεδιάζουμε τα τετράγωνα και με το να είναι σημείο του κύκλου ,
έτσι ώστε οι κορυφές των τετραγώνων να βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την ευθεία όπως στο συνημμένο σχήμα.
Ονομάζουμε , τα κέντρα των δύο τετραγώνων και το μέσον του .
Αν το σημείο κινείται στο τμήμα , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου .

Αντρέα καλημέρα.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κινούμενα τετράγωνα 1.PNG (34.88 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε το μοναδιαίο κύκλο $\displaystyle{C(0,1):x^2+y^2=1}$

Έστω ότι

$\displaystyle{A=(x,0), -1\leq x\leq 1}$

Τότε εύκολα διαπιστώνεται ότι τα κέντρα των δύο αυτών τετραγώνων θα έχους τις ακόλουθες συντεταγμένες:

$\displaystyle{L=(\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2})}$ και $\displaystyle{M=(x+\frac{\sqrt{1-x^2}}{2},\frac{\sqrt{1-x^2}}{2})}$

Αν στη συνέχεια ονομάσουμε με $\displaystyle{X,Y}$ τις συντεταγμένες του μέσου $\displaystyle{N}$ των $\displaystyle{L,M}$ τότε θα είναι:

$\displaystyle \left.\begin{matrix} X=\displaystyle \frac{3x-1+\sqrt{1-x^2}}{4}\\Y=\displaystyle \frac{x+1+\sqrt{1-x^2}}{4} \end{matrix}\right\}\ \ (1)$

Απαλοίφοντας κατόπιν από τους τύπους (1) τα $\displaystyle{x,y}$ καταλήγουμε στην εξίσωση:

$\displaystyle{2X^2+10Y^2+3X-7Y-8XY+1=0\ \ (2)}$

Η εξίσωση αυτή παριστά έλλειψη και σχεδιάστηκε με το λογισμικό Geogebra όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στην περίπτωσή μας ο ζητούμενος γ.τόπος είναι η κόκκινη ανοικτή στα άκρα της $\displaystyle{B,S}$ καμπύλη.

Κώστας Δόρτσιος

Ανδρέας Πούλος · #3

Κώστα,
αυτή τη φορά η Αναλυτική Γεωμετρία έδειξε την ισχύ της και εσύ την άψογη τεχνική σου για την επίλυση τέτοιου τύπου γεωμετρικών προβλημάτων.
Παρόμοιο αποτέλεσμα έχουμε, αν αντί τετραγώνων θεωρήσουμε ισόπλευρα τρίγωνα, όπως στο νέο συνημμένο σχήμα.
Ανδρέας Πούλος

#4

Ναί! Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ισχύει η πρόταση και για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο. Αρκεί να
οριστεί ο τρόπος με τον οποίο ορίζονται κάθε φορά.
Δηλαδή:
Το πρώτο πολύγωνο έχει πλευρά το τμήμα $\displaystyle{BA}$ (στο σχήμα που ανάρτησα τη λύση) και το δεύτερο
έχει πλευρά το τμήμα που ορίζεται από το σημείο $\displaystyle{B}$ και το σημείο το οποίο ορίζει η κάθετος
στην $\displaystyle{AB}$ (στο σημείο $\displaystyle{B}$ ) στον κύκλο.

Το σχήμα που ανάρτησες Ανδρέα αφορά ισόπλευρα τρίγωνα όπου δημιουργούνται με διαφορετικό τρόπο
και ο οποίος μπορεί να γενικευθεί.

Έχω την άποψη ότι σ' όλες τις περιπτώσεις αυτές ο γ. τόπος του μέσου των κέντρων αυτών των κανονικών
πολυγώνων είναι τόξο έλλειψης.

(Αν βρώ χρόνο θα αναρτήσω σχήματα των δύο τρόπων κατασκευής των κανονικών πολυγώνων)

Κώστας Δόρτσιος

Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος κέντρων τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση