ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέα Άσκηση 1α(59).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 381, αναρτώ μία άλλη νέα μου Άσκηση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=57414
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

1α(59)_.jpg (161.68 KiB) Προβλήθηκε 2768 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Άσκηση 1α(59). συνημμένο με αριθμό 381.

Κάνω δύο σχήματα επειδή η άσκηση είναι πολύ απλή, αλλά αν ήταν όλα τα βήματα σε ένα σχήμα ίσως θα ήταν κάπως δύσκολο σε έναν νεαρό μαθητή να ακολουθήσει τον συλλογισμό αφού κάποιες γωνίες πέφτουν η μία πάνω στην άλλη.

Από το αριστερό σχήμα, είναι και . Οπότε η ζητούμενη ισότητα θα προκύψει από την ισότητα των δεξιών μελών. Έχουμε λοιπόν:

Τα τρίγωνα είναι όμοια (άμεσο από τις δύο ίσες αντίστοιχες γωνίες, ως υπό χορδή και εφαπτομένη). Άφου οι είναι διάμεσοι στα τρίγωνα αυτά, έπεται ότι οι ομόλογες γωνίες είναι ίσες, εδώ .

Από το δεξί σχήμα είναι γιατί και οι δύο είναι διπλάσιες της (διότι οι επίκεντρες γωνίες είναι διπλάσιες των αντίστοιχων εγγεγραμμένων). Έπεται ότι .

Από τις με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο, όπως αναφέρθηκε στην πρώτη παράγραφο.

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέα Άσκηση 1α(59).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 381, αναρτώ μία άλλη νέα μου Άσκηση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=57414
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α(59)_.jpg

Απόδειξη της Άσκησης 1α(59).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 381, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Άσκησης, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=5323
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (169.64 KiB) Προβλήθηκε 2422 φορές

Σελίδα 2.jpg (175.38 KiB) Προβλήθηκε 2422 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

[quote=ΝΙΚΟΣ post_id=362123 time=1699185231 user_id=1655]
[size=150][b][u]Νέα Πρόταση 1α(61).[/u][/b]

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 382, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/size]
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=22&t=74420&p=361674#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyriazis/e/B07HDDXTGF/
[attachment=0]1α(61)_.jpg[/attachment]

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Πρόταση 1α(61).
... συνημμένο μου, με αριθμό 382

.
H άσκηση αυτή έχει ήδη τεθεί στο ποστ # και την έχω απαντήσει στο #. Ακριβέστερα, στο # έκανα επιπλέον λεκτική επαναδιατύπωση επί το απλούστερον και κομψότερον της ερώτησης, την οποία αναδιατύπωση την ξαναβλέπουμε στο παραπάνω ποστ #. Όπως έγραψα στην εν λόγω απάντησή μου, απόδειξη του ζητούμενου είναι απλούστατη. Δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβω εδώ αλλά για διευκόλυνση του αναγνώστη παραθέτω εκ νέου το σχήμα της απάντησής μου.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(61).
... συνημμένο μου, με αριθμό 382

.
H άσκηση αυτή έχει ήδη τεθεί στο ποστ # και την έχω απαντήσει στο #. Ακριβέστερα, στο # έκανα επιπλέον λεκτική επαναδιατύπωση επί το απλούστερον και κομψότερον της ερώτησης, την οποία αναδιατύπωση την ξαναβλέπουμε στο παραπάνω ποστ #. Όπως έγραψα στην εν λόγω απάντησή μου, απόδειξη του ζητούμενου είναι απλούστατη. Δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβω εδώ αλλά για διευκόλυνση του αναγνώστη παραθέτω εκ νέου το σχήμα της απάντησής μου.

Στα ποστ 172 και 174 [(Συνημμένο 380, σημείωση (1) διευκρινίεται], η άσκηση 1α(60)
αναφέρεται σε τρίγωνο, ενώ εδώ (ποστ 184) η άκηφηση 1α(61) αναφέρεται σε τετράεδρο.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(61).
... συνημμένο μου, με αριθμό 382

.
H άσκηση αυτή έχει ήδη τεθεί στο ποστ # και την έχω απαντήσει στο #. Ακριβέστερα, στο # έκανα επιπλέον λεκτική επαναδιατύπωση επί το απλούστερον και κομψότερον της ερώτησης, την οποία αναδιατύπωση την ξαναβλέπουμε στο παραπάνω ποστ #. Όπως έγραψα στην εν λόγω απάντησή μου, απόδειξη του ζητούμενου είναι απλούστατη. Δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβω εδώ αλλά για διευκόλυνση του αναγνώστη παραθέτω εκ νέου το σχήμα της απάντησής μου.

Στα ποστ 172 και 174 [(Συνημμένο 380, σημείωση (1)] διευκρινίζεται, πως η άσκηση 1α(60)
αναφέρεται σε τρίγωνο, ενώ εδώ (ποστ 184) η άσκηση 1α(61) αναφέρεται σε τετράεδρο.

[Mihalis_Lambrou]

Στα ποστ 172 και 174 [(Συνημμένο 380, σημείωση (1) διευκρινίεται], η άσκηση 1α(60)
αναφέρεται σε τρίγωνο, ενώ εδώ (ποστ 184) η άκηφηση 1α(61) αναφέρεται σε τετράεδρο.

Για να ακριβολογούμε (δεδομένου ότι ήδη έχω γράψει λύση), στο συνημμένο 380 αναφέρει (αντιγράφω)

"σημείο Ο στο χώρο, ή στο επίπεδο του τριγώνου Α'ΒΓ' ".

Όχι ότι έχει διαφορά, επίπεδο ή χώρος, στην συγκεκριμένη άσκηση. Το ένα είναι τετριμμένη παραλλαγή/γενίκευση του άλλου με ολόϊδια απόδειξη. Και διατυπώθηκε συγχρόνως ως δισδιάστατο και τρισδιάστατο πρόβλημα, και ως τέτοια ερώτηση απαντήθηκε το θέμα.

[Mihalis_Lambrou]

ν

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(61).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 382, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α(61)_.jpg
[/quote]

Απόδειξη της Άσκησης 1α(61).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 382, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Άσκησης, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (218 KiB) Προβλήθηκε 1383 φορές

Σελίδα 2.jpg (193.95 KiB) Προβλήθηκε 1383 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟ

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(62).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 383, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (238.29 KiB) Προβλήθηκε 1362 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Πρόταση 1α(62)., ... συνημμένο μου, με αριθμό 383

(α) Είναι σχεδόν αυτονόητο. Βασίζεται στο ότι τρία τεμνόμενα επίπεδα έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Ας δούμε λοιπόν γιατί οι συντρέχουν: Εξετάζουμε τα επίπεδα και έστω το μοναδικό τους κοινό σημείο. Επειδή η βρίσκεται στα (άμεσο) σημαίνει ότι . Άρα . 'Ομοια και . Συνεπώς το βρίσκεται και στις τρεις αυτές ευθείες (και είναι το μοναδικό κοινό σημείο των ευθειών αυτών ανά ζεύγη). Για τον ίδιο λόγο το ανήκει στην , που ολοκληρώνει την απόδειξη.

(β) Το αντίστροφο είναι άμεσο από το ευθύ.

(γ) Άμεσο από από το (α) αφού το σημείο βρίσκεται και στα έξι αυτά επίπεδα, έκαστο των οποίων περιέχει κάποιες τις παραπάνω συντρέχουσες ευθείες.

(δ) Αυτονήητο από τα προηγούμενα.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(62).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 383, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Σελίδα 1.jpg

Απόδειξη της Άσκησης 1α(62).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 383, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.
Υπόψη ότι το σχήμα 1α(55) που αναφέρεται στην απόδειξη αυτή υπάρχει στο συνημμένο μου 382 (ποστ 190) παραπάνω.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Άσκηση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=45&t=7687&start=120
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (238.29 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Σελίδα 2.jpg (347.52 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Σελίδα 3.jpg (355.13 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(64).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 384, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (135.66 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Πρόταση 1α(64) ... συνημμένο μου, με αριθμό 384

Επειδή α) οι δύο εφαπτόμενες από σημείο προς κύκλο είναι ίσες και β) η εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες με τις αντίστοιχες υπό χορδής και εφαπτομένης έχουμε , όπως θέλαμε.

Η πρόταση απέχει πολύ από το να είναι νέα, αλλά ας είναι.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(64).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 384, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Σελίδα 1.jpg

Απόδειξη της Άσκησης 1α(64).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 384, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 2.jpg (263.82 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(65), Πέντε Διχοτόμων Γωνιών Δέσμης.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 385, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση Πέντε Διχοτόμων Γωνιών Δέσμης.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Εύχομαι από καρδιάς ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλο τον κόσμο του mathematica.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (189.58 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(65), Πέντε Διχοτόμων Γωνιών Δέσμης.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 385, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση Πέντε Διχοτόμων Γωνιών Δέσμης.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Εύχομαι από καρδιάς ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλο τον κόσμο του mathematica.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Σελίδα 1.jpg

Απόδειξη της Άσκησης 1α(65).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 385, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Εύχομαι από καρδιάς ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ σε όλο τον κόσμο του mathematica.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=6&t=5323
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (189.58 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Σελίδα 2.jpg (254.91 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Σελίδα 3.jpg (315.14 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Σελίδα 4.jpg (279.24 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Σελίδα 5.jpg (210.47 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Δεν έγραψα λύση της άσκησης στο προηγούμενο ποστ επειδή είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια με την αντίστοιχη λύση που έγραψα στο post # (και νωρίτερα στο #). Η μόνη διαφορά είναι ότι τώρα αντί για σημεία σε ευθεία τα βάζουμε σε ένα τόξο. Για διευκόλυνση του αναγνώστη επισυνάπτω το σχήμα που είχα παραθέσει για ευθεία αλλά η οποία τώρα προσαρμόζεται κατά τετριμμένο τρόπο και για την περίπτωση του τόξου. Θεώρησα ότι δεν υπήρχε λόγος της επανάληψης απλού θέματος που είχε ουσιαστικά διευθετηθεί.
.

“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.

.
Θα συμφωνήσω απόλυτα με τη φράση του Riemann. Όμως ας σημειώσω ότι με την έννοια "θεώρημα" εννοούμε ένα ευρύ φάσμα προτάσεων των Μαθηματικών. Από τη μία μεριά έχουμε απλά θεωρήματα όπως α) το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος ή β) τα σημεία της μεσοκαθέτου τμήματος ισαπέχουν από τα άκρα του, που δεν χρειάζονται φαντασία να τα επινοήσεις. Από την άλλη έχουμε θεωρήματα με μεγάλο βάθος και σπουδαιότητα όπως για παράδειγμα α) το Θεώρημα μη πληρότητας του Godel, β) τα όρια των κατασκευών με κανόνα και διαβήτη όπως στα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας (τετραγωνισμός κύκλου, τριχοτήμηση γωνίας κατασκευές κανονικών πολυγώνων και λοιπά), γ) η ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων, δ) η αριθμησιμότητα ή μη των διάφορων υποσυνόλων του , ε) Το θεώρημα των πρώτων αριθμών σχετικά με την ασυμπτωτική τους συμπεριφορά, στ) το Θεώρημα Schroeder-Bernstein και η διάταξη πληθαρίθμων. Και λοιπά.

Με τέτοια ουσιαστική διαφορά των δύο πρώτων θεωρημάτων που κατάγραψα, από τα υπόλοιπα, ας δούμε τι εννοούσε ο ίδιος ο Riemann με την παραπάνω περίφημη φράση του. Σίγουρα τα δύο πρώτα δεν εμπίπτουν σε αυτό που έχει κατά νου. Για να δούμε τι εννοεί, δεν υπάρχει ασφαλέστερος οδηγός από μία καταγραφή μερικών δικών του θεωρημάτων. Ακολουθεί ένας μικρός κατάλογος αλλά αν θέλουμε περισσότερα μπορούμε να δούμε το σύνολο των έργων του στο Gesammelte Μathematische Werke του (1876).

α) Θεωρήματα για το γένος επιφανειών πολυωνύμων με δύο μιγαδικές μεταβλητές και επιφάνεια Riemann. β) Θεωρήματα σε manifolds για γεωδεσιακές, με έννοια απόστασης διαφορετική από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, στην Ελλειπτική Γεωμετρία. γ) Ιδιότητες της συνάρτησης ζ και η σχέση της με την κατανομή των πρώτων αριθμών και, γενικότερα η σύνδεση Μιγαδικής Ανάλυσης με την Θεωρία Αριθμών. δ) Ιδιότητες της αναδιάταξης σειρών που συγκλίνουν υπό συνθήκη αλλά όχι απόλυτα. ε) Αναπτύγματα σε σειρές Fourier για ασυνεχείς συναρτήσεις και η σχέση τους με το άθροισμα των εν λόγω σειρών. στ) Θεωρήματα σχετικά με Διαφορικές Εξισώσεις μιγαδικής μεταβλητής και εφαρμογές τους στα shock waves. ζ) Θεωρήματα πάνω στις ελλειπτικές συναρτήσεις. Και λοιπά.

Ο κατάλογος των θεωρημάτων του Riemann δεν έχει τέλος με προτάσεις της πρώτης γραμμής και με ουσιαστικές εφαρμογές σε κλάδους όπως η Διαφορική Γεωμετρία, η Αλγεβρική Τοπολογία, οι Μιγαδικές Μεταβλητές, οι Διαφορικές Εξισώσεις, ο Λογισμός Μεταβολών, η Θεωρία Σχετικότητας και λοιπά.

Για τέτοια θεωρήματα μιλάει Riemann στην φράση του. Πρόκειται για θεωρήματα με μεγάλη εμβέλεια, βάθος, προσαρμοστικότητα, δυσκολία, σπουδαιότητα και λοιπά. Είναι το είδος των θεωρημάτων που εκμαίευσαν από τον Gauss, όταν είδε την Διδακτορική Διατριβή του Riemann, το σχόλιο ότι χαρακτηρίζεται ως «ένδοξα γόνιμη πρωτοτυπία» (gloriously furtile originality).

Συνοψίζοντας, θα συμφωνήσω απόλυτα με τον Riemann, όταν μιλάμε για καθοριστικά θεωρήματα, με την πλήρη σημασία της λέξης.

΄