ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#1

Νέες Προτεινόμενες Προτάσεις Γεωμετρίας.
Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, φίλοι μου.
Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, σημαντικές κατά την γνώμη μας Προτάσεις -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, συνήθως με τις αποδείξεις τους, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, σαν Προτάσεις, στη γνωστή μας βιβλιογραφία (πρωτοεμφανιζόμενες).

Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνεxε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.

Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες μέχρι και πολύ απλές, Στη δεύτερη περίπτωση, καλό είναι οι κ. κ. Καθηγητές να τις αφήνουν για τους μαθητές, τουλάχιστον για ένα 24ωρο.

Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Προτάσεις, κτλ, μπορέσουμε και όχι τόσο η συμμετοχή. Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια. Δικές μας αποδείξεις-λύσεις, θα ακολουθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι σημειώνω εδώ ότι καλό είναι να γνωρίζετε ότι όπου, στα κείμενά μου που ακολουθούν, υπάρχουν οι παρακάτω μορφές συμβολισμών:
1α(ν), 1β(ν), 1γ(ν), 1δ(ν), 1ε(ν), 1ζ(ν), 2α(ν), 2β(ν), 2γ(ν), 2δ(ν), 2ε(ν), 2ζ(ν), 4 η(ν). 5θ(ν), 6ι(ν), 7ι(ν), 8ι(ν), 9ι(ν). 10ι(ν). 11(ν), 12(ν) (Όπου ν=1, 2, 3, 4, 5,……),
σημαίνει ότι αυτοί αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα - γ.τ, κτλ. του γράφοντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στα βιβλία μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨, κτλ, αποτελούν δε μέρος από τις 4.500 περίπου που έχω επινοήσει κατά το παρελθόν.

Μετά τα παραπάνω, κάνουμε την αρχή με την παρακάτω,
Πρόταση 1 (Πρόβλημα εγγραφής σε τρίγωνο Ισοδιαγώνιου Εξάγωνου).
7ι(187). «Σε τρίγωνο να εγγραφεί εξάγωνο του οποίου οι διαγώνιες (κύριες), να είναι ίσες (μεταξύ τους), να συντρέχουν και να είναι παράλληλες μία προς μία με τις αντίστοιχες πλευρές του δοσμένου τριγώνου».

Δηλαδή, «ζητείται να κατασκευασθεί μη κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ τέτοιο ώστε οι μία παρά μία πλευρές του ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ να βρίσκονται επάνω στις πλευρές ΚΛ, ΛΜ, ΜΚ αντίστοιχα, του δοσμένου τριγώνου ΚΛΜ και του οποίου οι διαγώνιες ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ, να είναι ίσες, να συντρέχουν και να είναι: ΑΔ//ΚΜ, ΒΕ//ΛΜ, ΓΖ//ΚΛ».

Αγαπητοί φίλοι, για την παραπάνω κατασκευή, περιμένουμε τις απαντήσεις σας, πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα.
Λύση ή λύσεις δικές μας θα δημοσιεύσουμε σύντομα.
[Την παραπάνω κατασκευή έχουμε επινοήσει το 2005 και την έχουμε συμπεριλάβει στο βιβλίο μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», στην παράγραφο 7ι(180) (τόμος 7), ενώ έχουμε επιτύχει τις παρακάτω τρεις λύσεις:
Λύσεις 1 και 2 στις παραγράφους 7ι(180) και 7ι(187) σελίδες 342 και 357 αντίστοιχα, τόμος 7 (2007),
λύση 3 στην παράγραφο 10ι(74), τόμος 10 (2008) (δεν έχει δημοσιευθεί),του ίδιου βιβλίου μου].

Καλή αρχή.

Χρόνια Πολλά και καλή Πρωτοχρονιά.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#2

Πρόταση 2.(Νέα Πρόταση Ορθογωνίων τριγώνων).
4η(32). «Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το γινόμενο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, επί τις δύο κάθετες πλευρές του, είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσάς του, επί τα δύο τμήματα που διαιρείται η υποτείνουσά του, από το παραπάνω ύψος».

[ Αγαπητοί φίλοι παρακαλούμε, όπως οι απαντήσεις σας γίνονται μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται στην αρχή του παρόντος χώρου. Είναι φανερό ότι η Πρόταση αυτή συνδέει με τη σχέση ΑΒ.ΑΓ.ΑΔ=ΒΓ.ΒΔ.ΓΔ, τα έξι τμήματα που περιέχονται σ’ αυτή. Έχει δημοσιευθεί στην παράγραφο 4η(32)(τόμος 4), ενώ έχουμε δώσει πέντε αποδείξεις στις παραγράφους 4η(32), 4η(185) και 5θ(8), του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας 1998» Δική μας ή δικές μας αποδείξεις θα δώσουμε αν χρειασθεί)].

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Για την Πρόταση 2

Έστω Α = 90 και το ύψος ΑΔ .
Ισχύουν $\displaystyle{ AB^2 = B\Gamma \cdot {\rm B}\Delta }$
$\displaystyle{ A\Gamma ^2 = B\Gamma \cdot \Gamma \Delta }$
$\displaystyle{ A\Delta ^2 = \Delta \Gamma \cdot {\rm B}\Delta }$
Με πολ/σμό κατά μέλη των παραπάνω προκύπτει η ζητούμενη .

Νίκο , δε θυμάμαι να την έχω συναντήσει κάπου την πρόταση . Έχω βέβαια πολλά χρόνια να διδάξω Γεωμετρία ...

#4

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Για την Πρόταση 2

Έστω Α = 90 και το ύψος ΑΔ .
Ισχύουν $\displaystyle{ AB^2 = B\Gamma \cdot {\rm B}\Delta }$
$\displaystyle{ A\Gamma ^2 = B\Gamma \cdot \Gamma \Delta }$
$\displaystyle{ A\Delta ^2 = \Delta \Gamma \cdot {\rm B}\Delta }$
Με πολ/σμό κατά μέλη των παραπάνω προκύπτει η ζητούμενη .

Νίκο , δε θυμάμαι να την έχω συναντήσει κάπου την πρόταση . Έχω βέβαια πολλά χρόνια να διδάξω Γεωμετρία ...

Φίλε Χρήστο ευχαριστώ για την απόδειξή σου και προπαντός για την πληροφορία σου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#5

Αγαπητοί φίλοι. Προκειμένου να εκπληρώσουμε υπόσχεσή μας, σας δίνουμε με το παρακάτω συνημμένο μας 10, μία λύση, δικής μας επινόησης, της Πρότασης 1 (κατασκευή εγγεγραμμένου σε τρίγωνο ισοδιαγώνιου εξάγωνου), την οποία έχουμε καταχωρήσει στην παράγραφο 7ι(187) του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Στο συνημμένο 10 δίνουμε ακόμη και τον γ.τ.7ι(186) ο οποίος προηγείται της Πρότασης 1, στον οποίο βασίζεται η παραπάνω ζητούμενη λύση και τον οποίο για το λόγο ακριβώς αυτό, επινοήσαμε.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#6

Πρόταση 3.(Σύγκλιση διαμέσου, διχοτόμου και συμμετροδιαμέσου, τριγώνου).

7ι(40). Ποία, ικανή και αναγκαία συνθήκη πρέπει να αληθεύει σε τρίγωνο, ώστε να συντρέχουν, μία διάμεσός του, μία διχοτόμος του και μία συμμετροδιάμεσός του, οι οποίες ανήκουν σε διαφορετικές κορυφές του;

[Παρακαλούμε οι απαντήσεις να είναι σύμφωνες με το πνεύμα που έχει τεθεί στην αρχή του παρόντος χώρου. Η παραπάνω Πρόταση με τη λύση της έχει δημοσιευθεί με το βιβλίο μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας 2007»,τόμος 7, παράγραφος 7ι(40). Δική μας ή δικές μας λύσεις θα δώσουμε αν χρειασθεί].

Καλή Χρονιά.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστας Παππέλης · #7

Όπως προκύπτει εύκολα από το θεώρημα του Ceva πρέπει μια πλευρά να είναι ο γεωμετρικός μέσος των άλλων δύο...

#8

Κώστας Παππέλης έγραψε:Όπως προκύπτει εύκολα από το θεώρημα του Ceva πρέπει μια πλευρά να είναι ο γεωμετρικός μέσος των άλλων δύο...

Αγαπητέ φίλε Κώστα,
Πραγματικά αυτή είναι η λύση της Πρότασης 3, σε γενικές γραμμές, και σε ευχαριστώ.
Όμως επειδή σε μένα αλλά και σε πολλούς φίλους αρέσει η πληρότητα μιας λύσης και επειδή άλλωστε την έχω έτοιμη, δίνω παρακάτω τη λύση αυτή, με το συνημμένο μου 11, στο οποίο αναφέρεται αυτή με κάθε λεπτομέρεια. Πιστεύω ότι τούτο ζητούν και πολλοί άλλοι φίλοι.
Ακόμη, επειδή μου αρέσει και η έρευνα γύρω από κάθε Πρόταση, άλλωστε αυτή προάγει τη Γεωμετρία, στις παρατηρήσεις που την ακολουθούν αναφέρω και τις σχετικές επεκτάσεις της, τις ειδικές περιπτώσεις της, κτλ, που προέκυψαν μετά από μελέτη.
Όμως φίλε Κώστα, στην απάντησή σου υπάρχει κενό, καθώς δεν είναι μέσα στο πνεύμα, που στην αρχή του χώρου τούτου αναφέρεται. Αναμένω λοιπόν συμπληρωματικό σου μήνυμα, αν δε σου δημιουργώ πρόβλημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#9

Νίκο, ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!
Η δική μου λύση για το ωραίο πρόβλημα που μας έθεσες:

#10

Πρόταση 4 (Συγχώνευση όλων των Θεωρημάτων ορθογώνιων τριγώνων).

4η(185). Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γωνία Α=1 ορθή) και το ύψος του ΑΔ. Να δειχθεί ότι:
(α). Αληθεύει η σχέση: $AB^{2}$ .ΓΔ= $A\Gamma^{2}$ .ΒΔ= $A\Delta^{2}$ .ΒΓ=ΒΓ.ΓΔ.ΔΒ=ΑΒ.ΑΓ.ΑΔ. (1).
(β). Από τη σχέση (1), προκύπτουν όλα τα γνωστά Θεωρήματα των ορθογώνιων τριγώνων (Ευκλείδεια, Πυθαγόρειο, Stwarte, Εμβαδού, κτλ, όπως και μερικά νέα.

{[Παρακαλούμε όπως οι απαντήσεις είναι σύμφωνες με το πνεύμα που αναφέρεται στην αρχή του παρόντος χώρου.
Η Πρόταση αυτή έχει δημοσιευθεί με το βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», παράγραφος 4η(185) τόμος 4/ 1998}.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστας Παππέλης · #11

Αγαπητέ κύριε Νίκο, ζητώ συγγνώμη για τη βιαστική απάντηση.

Η λύση μου είναι προφανώς όμοια με τη δική σας στο συνημμένο. Το μοναδικό που έχω να προσθέσω είναι το γεγονός ότι αν ισχύει ένα από τα υπόλοιπα τρία, ισχύουν και τα άλλα 2.

1) Η διχοτόμος της κορυφής Α, η διάμεσος από την κορυφή Β και η συμμετροδιάμεσος από την κορυφή Γ συντρέχουν.
2) Η διχοτόμος της κορυφής Α, η διάμεσος από την κορυφή Γ και η συμμετροδιάμεσος από την κορυφή Β συντρέχουν.
3) Η ΒΓ είναι μέση ανάλογος των ΑΒ και ΑΓ.

Άρα, πάνω στη διχοτόμο της Α έχουμε ή κανένα ή και τα δύο σημεία που προκύπτουν από την τομή μιας διαμέσου και μιας συμμετροδιαμέσου από τις άλλες δύο κορυφές.

#12

Αγαπητέ φίλε Ανδρέα. Σε ευχαριστώ για τις ευχές σου, αντευχόμενος «Καλή και δημιουργική χρονιά».
Ακόμη σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου στην Πρότασή μου 1.
Η λύση σου, σε γενικές γραμμές, είναι ωραία και απλή. Μου θύμισε τις γνωστές ωραίες κλασσικές λύσεις της ομοιοθεσίας που xρησιμοποιούμε για την εγγραφή τετραγώνου σε τρίγωνο, ή ορθογώνιου σε τρίγωνο, όμοιου με δοσμένο. Εδώ όμως η δυσκολία έγκειται στην κατάλληλη προσαρμογή της μεθόδου στην περίπτωση του εξάγωνου.
Οι λεπτομέρειες της λύσης σου όμως μου άφησαν κάποια κενά. Ήθελα περισσότερες διευκρινήσεις τις οποίες προφανώς δεν έδωσες από έλλειψη χρόνου.
Στο δεύτερο σχήμα σου η ΚΗΗ' φαίνεται ότι είναι ευθεία και δημιουργεί σύγχυση.
Η διερεύνησή σου δεν αναφέρεται στα τρία παρεγγεγραμμένα εξάγωνα που είναι δυνατό να εγγραφούν στο δοσμένο τρίγωνο.
Αυτά για την κριτική μου στη λύση σου. Ήθελα όμως και τη δική σου κριτική για την Πρόταση και τη δική μου λύση, όπως στην αρχή του χώρου αυτού ζητώ από τους φίλους μας.
Νομίζω ότι οι καλοπροαίρετες κριτικές και συζητήσεις επάνω σε Προτάσεις και λύσεις μας είναι ωφέλιμες και προάγουν, γι’ αυτό εγώ τις επιδιώκω.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

#13

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Στο δεύτερο σχήμα σου η ΚΗΗ' φαίνεται ότι είναι ευθεία και δημιουργεί σύγχυση.
Η διερεύνησή σου δεν αναφέρεται στα τρία παρεγγεγραμμένα εξάγωνα που είναι δυνατό να εγγραφούν στο δοσμένο τρίγωνο.

Αγαπητέ φίλε Νίκο,
Έχεις απόλυτο δίκιο πως η λύση μου χρειάζεται κάποιες διευκρινήσεις. Στο βασικό σχήμα της λύσης μου, το είδα και εγώ ότι τα Κ,Η,Κ΄μοιάζουν συνευθειακά, ενώ δεν είναι, (ούτε βέβαια χρησιμοποιείται κάτι τέτοιο στη λύση), και καλό είναι να αναφερθεί.
Όσον αφορά για τη δική σου λύση, πραγματικά είναι άψογα γραμμένη και φαίνεται καθαρά η ιδέα από όπου πηγάζει (οι έννοιες των ισοτομικών ευθειών και αντισυμπληρωματικών τριγώνων δεν μου ήταν ομολογώ γνωστές), θα ήθελα όμως λίγο χρόνο ακόμα να τη μελετήσω πιο διεξοδικά. Η αλήθεια είναι πως ποτέ δεν μελετάω κάποια λύση αν δε λύσω, (η έστω προσπαθήσω να λύσω) πρώτα ο ίδιος το πρόβλημα.
Πραγματικά η ιδέα της δικής μου λύσης, πηγάζει από τις ιδέες των κατασκευών που αναφέρεις.
Εκεί που διαφωνώ επί του παρόντος είναι ότι το πρόβλημα έχει πάντα λύση (για παράδειγμα, αν πάρουμε ένα τρίγωνο στο οποίο η μία πλευρά είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με τις δύο άλλες π.χ. α=1,β=10,γ=10). Η δική μου διερεύνηση αφορά την εύρεση του σημείου Η πάνω στη ΛΜ και η προκύπτουσα συνθήκη ισχύει κυκλικά για τις υπόλοιπες πλευρές. Διαφορετικά, το σημείο τομής των ίσων διαγωνίων θα βρεθεί εκτός του τριγώνου ΚΛΜ.
Θα κοιτάξω να γράψω μία πιό αναλυτική λύση και να ξαναδώ τις διερευνήσεις.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Ανδρέας

#14

Αγαπητέ φίλε Κώστα.
Σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκρισή σου στο μήνυμά μου, αλλά το «κύριε» τι το θέλεις; Πιο ωραίο δεν είναι το «φίλε»;
Πολύ σωστή και σημαντική, η παρατήρησή σου της τριπλής ισοδυναμίας.
Έχω όμως τη γνώμη, και εύκολα αποδεικνύεται, ότι σε κάθε τρίγωνο πάντοτε υπάρχουν οι δύο τομές και μάλιστα και οι δύο ανήκουν στο εσωτερικό της διχοτόμου αναφοράς, αν φυσικά η πλευρά που αντιστοιχεί στη διχοτόμο αυτή, είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#15

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Στο δεύτερο σχήμα σου η ΚΗΗ' φαίνεται ότι είναι ευθεία και δημιουργεί σύγχυση.
Η διερεύνησή σου δεν αναφέρεται στα τρία παρεγγεγραμμένα εξάγωνα που είναι δυνατό να εγγραφούν στο δοσμένο τρίγωνο.
Αγαπητέ φίλε Νίκο,
Έχεις απόλυτο δίκιο πως η λύση μου χρειάζεται κάποιες διευκρινήσεις. Στο βασικό σχήμα της λύσης μου, το είδα και εγώ ότι τα Κ,Η,Κ΄μοιάζουν συνευθειακά, ενώ δεν είναι, (ούτε βέβαια χρησιμοποιείται κάτι τέτοιο στη λύση), και καλό είναι να αναφερθεί.
Όσον αφορά για τη δική σου λύση, πραγματικά είναι άψογα γραμμένη και φαίνεται καθαρά η ιδέα από όπου πηγάζει (οι έννοιες των ισοτομικών ευθειών και αντισυμπληρωματικών τριγώνων δεν μου ήταν ομολογώ γνωστές), θα ήθελα όμως λίγο χρόνο ακόμα να τη μελετήσω πιο διεξοδικά. Η αλήθεια είναι πως ποτέ δεν μελετάω κάποια λύση αν δε λύσω, (η έστω προσπαθήσω να λύσω) πρώτα ο ίδιος το πρόβλημα.
Πραγματικά η ιδέα της δικής μου λύσης, πηγάζει από τις ιδέες των κατασκευών που αναφέρεις.
Εκεί που διαφωνώ επί του παρόντος είναι ότι το πρόβλημα έχει πάντα λύση (για παράδειγμα, αν πάρουμε ένα τρίγωνο στο οποίο η μία πλευρά είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με τις δύο άλλες π.χ. α=1,β=10,γ=10). Η δική μου διερεύνηση αφορά την εύρεση του σημείου Η πάνω στη ΛΜ και η προκύπτουσα συνθήκη ισχύει κυκλικά για τις υπόλοιπες πλευρές. Διαφορετικά, το σημείο τομής των ίσων διαγωνίων θα βρεθεί εκτός του τριγώνου ΚΛΜ.
Θα κοιτάξω να γράψω μία πιό αναλυτική λύση και να ξαναδώ τις διερευνήσεις.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Ανδρέας

Αγαπητέ φίλε Ανδρέα.
Μου λες ότι η δική μου λύση είναι άψογα γραμμένη. Πιστεύω ότι αυτό είναι υπερβολικό. Είναι γεγονός ότι γενικά στις αποδείξεις μου προσπαθώ, κατά το δυνατό να μην υπάρχουν κενά ή ασάφειες, έστω κι’ αν γίνομαι υπερβολικά σχολαστικός ή κι’ αν ακόμα πλατειάζω. Επίσης είναι γεγονός ότι στις εργασίες μου υπάρχουν και λάθη, τα οποία όμως προσπαθώ να είναι κατά το δυνατό περιορισμένα. Φίλε Ανδρέα, το ότι προσπαθείς να δώσεις λύση σε Προτάσεις πριν μελετήσεις άλλες λύσεις, είναι μεγάλο προσόν, το οποίο όπως εγώ βλέπω, σου αποδίδει ήδη καρπούς.
Όσο για το αν το Πρόβλημά μου 1 έχει πάντα λύση ή όχι, θέλει πιο πολύ μελέτη με τον δικό σου τρόπο. Πάντως το σημείο Ο δεν είναι υποχρεωτικό να βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο ΚΛΜ. Γιατί θέτεις σαν υποχρεωτικό τον όρο αυτό; Αν κάνεις το σχήμα του παραδείγματος που αναφέρεις, θα δεις ότι το σημείο σύγκλισης Ο, βρίσκεται πραγματικά έξω από το τρίγωνο, αλλά και τότε έχουμε λύση, μόνο που το εξάγωνο θα είναι μη κυρτό, με δύο κορυφές του στις προεκτάσεις δύο πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ.
Αν κάνεις την έρευνα με τον δικό μου τρόπο θα διαπιστώσεις ξεκάθαρα ότι το πρόβλημα έχει πάντα τέσσερις λύσεις, καθώς είναι ξεκάθαρο ότι τέσσερα είναι και τα ισοτομικά των τεσσάρων έγκεντρου και τριών παράκεντρων του αντισυμπληρωματικού τριγώνου Α'Β'Γ'. Το Κ δεν μας ενδιαφέρει αν βρίσκεται έξω από το τρίγωνο ΑΒΓ.[βλέπε σχήματα 7ι(137) και 7ι(138)].

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#16

Αγαπητέ Νίκο
Αν η λέξη "εγγραφή" περιλαμβάνει και την περίπτωση που αναφέρεις (μη κυρτό εξάγωνο με κορφές και στις προεκτάσεις των πλευρών), τότε σαφώς και το πρόβλημα έχει πάντα λύση και δεν χρειάζεται η συνθήκη που αναφέρω. Για περισσότερες λεπτομέρειες στο πλήθος λύσεων θα το ξαναδώ αργότερα.
Καληνύχτα προς το παρόν,
Φιλικά , Ανδρέας

#17

Πρόταση 5 (Τριάδα Όμοιων Τριγώνων).

4η(178)(α). Κάθε τριάδα όμοιων τριγώνων, έχει ίσα τα έξι γινόμενα, που το καθένα αποτελείται από μη ομόλογες πλευρές τους, λαμβανόμενες ανά τρεις με όλους τους δυνατούς τρόπους και που η καθεμία ανήκει σε διαφορετικό τρίγωνο, από τα τρίγωνα αυτά.

Δηλαδή, θεωρούμε την τριάδα των όμοιων τριγώνων: $A_{1}B_{1}\Gamma_{1}$ , $A_{2}B_{2}\Gamma_{2}$ , $A_{3}B_{3}\Gamma_{3}$ .

Θέτουμε όπου: $B_{1}\Gamma _{1}=\alpha _{1}$ , $\Gamma _{1}A _{1}=\beta _{1}$ , $A_{1}B _{1}=\gamma _{1}$ , $B_{2}\Gamma _{2}=\alpha _{2}$ ,..., $A_{3}B _{3}=\gamma _{3}$ .

Ζητείται να δειχθεί ότι είναι: $\alpha _{1}\beta _{2}\gamma_{3}=\alpha _{2}\beta _{3}\gamma_{1}=\alpha _{3}\beta _{1}\gamma_{2}=\alpha _{1}\beta _{3}\gamma_{2}=\alpha _{2}\beta _{1}\gamma_{3}=\alpha _{3}\beta _{2}\gamma_{1}$ . (1).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#18

Αγαπητοί φίλοι,
σας δίνουμε με το παρακάτω συνημμένο μας 12, μία απόδειξη της Πρότασης 5 (Τριάδας Όμοιων Τριγώνων), δικής μας επινόησης, την οποία έχουμε καταχωρήσει στην παράγραφο 4η(178)(α), του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» (τόμος 4/1998). Η Πρόταση αυτή, έχει μεγάλη αξία, καθώς, όπως έχουμε διαπιστώσει, βρίσκει πολλές εφαρμογές, .

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#19

Αγαπητοί φίλοι,
σας δίνουμε με το παρακάτω συνημμένο μας 13, μία απόδειξη της Πρότασης 4 (Συγχώνευση Όλων των Θεωρημάτων Ορθογώνιων Τριγώνων), η οποία αποτελεί μια απλή εφαρμογή της παραπάνω Πρότασης 5[ή 4η(178) (α)]. Tην Πρόταση 4 έχουμε καταχωρήσει στην παράγραφο 4η(185), του βιβλίου μας «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» (τόμος 4/1998). Η Πρόταση αυτή είναι σημαντική, καθώς απ’ αυτή απορρέουν όλα τα Θεωρήματα των ορθογώνιων τριγώνων (Ευκλείδεια, Πυθαγόρειο, κτλ) και όχι μόνο.
Ακόμη από την απόδειξη αυτή προκύπτει και μία άλλη απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 2.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#20

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Πρόταση 2.(Νέα Πρόταση Ορθογωνίων τριγώνων).
4η(32). «Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το γινόμενο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, επί τις δύο κάθετες πλευρές του, είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσάς του, επί τα δύο τμήματα που διαιρείται η υποτείνουσά του, από το παραπάνω ύψος».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
σας δίνουμε αμέσως παρακάτω μία ακόμη απόδειξη της Πρότασης 2 (Νέα Πρόταση Ορθογώνιων Τριγώνων).
Αν 2(ΑΒΓ)=Ε και Δ η προβολή του Α στην ΒΓ [Σχήμα 4η(195) του συνημμένου μας 13], θα έχουμε:
(ΑΒ.ΑΓ).ΑΔ=Ε.ΑΔ. (1).
ΒΓ.(ΒΔ. ΔΓ)=ΒΓ. $A\Delta ^{2}$ =(ΒΓ.ΑΔ).ΑΔ=Ε.ΑΔ. (2).
Τα δεύτερα μέλη των (1), (2), είναι ίσα, οπότε θα είναι και:
ΑΒ.ΑΓ. ΑΔ=ΒΓ.ΓΔ.ΔΒ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Μέλη σε σύνδεση