Ίσα γινόμενα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
Ίσα γινόμενα
Ευθεία , η οποία διέρχεται από το , τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα .
Αν είναι το σημείο τομής των , δείξτε ότι :
Re: Ίσα γινόμενα
Καλημέρα.KARKAR έγραψε:Τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών , του ισοπλεύρου τριγώνου .
Ευθεία , η οποία διέρχεται από το , τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα .
Αν είναι το σημείο τομής των , δείξτε ότι :
Έστω το σημείο τομής των και . Ας πούμε δε .
Από θεώρημα Μενελάου στο με διατέμνουσα την έχουμε:
και πάλι στο ίδιο τρίγωνο αλλά με διατέμνουσα έχουμε :
και άρα . Αν θέσουμε θα προκύψει .
Εύκολα τώρα έχουμε τα τρίγωνα ότι είναι ίσα () και άρα θα έχουν που μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία ομοκυκλικά
και κατ’ επέκταση η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο οπότε:
ομοίως και . Οπότε το ζητούμενο προφανές.
Φιλικά Νίκος
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσα γινόμενα
Εναλλακτικά, από τα ίσα τρίγωνα στην λύση του Νίκου, έχουμε
Από και λόγω προκύπτει ότι
Από συμπεραίνεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου τιου τριγώνου στο σημείο
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Κώστας Βήττας.
Από και λόγω προκύπτει ότι
Από συμπεραίνεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου τιου τριγώνου στο σημείο
Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και το ζητούμενο έπεται άμεσα.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσα γινόμενα
Μία άλλη σκέψη είναι η εξής :
Οι ευθείες εφάπτονται του περίκυκλου του τριγώνου στα σημεία αντιστοίχως ( φανερό ).
Άρα, ισχύει
Από
Από Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και άρα, έχουμε
Ομοίως αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και άρα, έχουμε
Από και συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Έτσι όπως είναι γραμμένη η απόδειξη έχει κενό τεκμηρίωσης, καθώς το σημείο έχει θεωρηθεί ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου το οποίο όμως πρέπει να αποδειχθεί και θα επανέλθω αργότερα.
Οι ευθείες εφάπτονται του περίκυκλου του τριγώνου στα σημεία αντιστοίχως ( φανερό ).
Άρα, ισχύει
Από
Από Από προκύπτει ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και άρα, έχουμε
Ομοίως αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται του περίκυκλου του τριγώνου στο σημείο και άρα, έχουμε
Από και συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Έτσι όπως είναι γραμμένη η απόδειξη έχει κενό τεκμηρίωσης, καθώς το σημείο έχει θεωρηθεί ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου το οποίο όμως πρέπει να αποδειχθεί και θα επανέλθω αργότερα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσα γινόμενα
Ορίζουμε το , ως το σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου από την ευθεία και αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.vittasko έγραψε:Έτσι όπως είναι γραμμένη η απόδειξη έχει κενό τεκμηρίωσης, καθώς το σημείο έχει θεωρηθεί ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου το οποίο όμως πρέπει να αποδειχθεί και θα επανέλθω αργότερα.
Θεωρούμε το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Από και γιατί και και επομένως τα , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Όπως γράφω κάπου αλλού, ο Pascal έχει την χάρη του ...
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ίσα γινόμενα
Για μια καλησπέρα στην καταπληκτική γεωμετρική παρέα!!! με μια γραμμική (χωρίς κύκλους) στοιχειώδη προσέγγιση του προβλήματος...KARKAR έγραψε:Τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών , του ισοπλεύρου τριγώνου .Ευθεία , η οποία διέρχεται από το , τέμνει τις ευθείες στα σημεία αντίστοιχα . Αν είναι το σημείο τομής των , δείξτε ότι :
Ας είναι τα σημεία τομής των εκ των παραλλήλων προς τις με την αντίστοιχα και έστω .
Τότε προφανώς τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα από κατασκευής.
Από
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι . Από (παράλληλες πλευρές) άρα .
[attachment=0]Ισα γινόμενα.png[/attachment]
Είναι και ομοίως έχουμε .
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Υ.Σ. Εναλλακτικά (ευκολότερα) η ισότητα (ομοίως και η ) προκύπτει από ισοσκελές τραπέζιο
- Συνημμένα
-
- Ισα γινόμενα.png (27.15 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης