Ισοτομική "μεσοτομική" συνευθειακότητα

#1

: Ισοτομική μεσοσύγκλιση.png (27.89 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Έστω τυχόντα σημεία των πλευρών τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι $F \equiv KM \cap K'L,Q \equiv LM \cap L'K$ , με τα ισοτομικά των ως προς

τις αντίστοιχες πλευρές και το μέσο της . Να δειχθεί ότι η ευθεία διέρχεται από την κορυφή του $\vartriangle ABC$ , όπου $S \equiv BF \cap CQ,T \equiv KL' \cap K'L$

Στάθης

#2

Έστω τα σημεία $E\equiv BC\cap K'L$ και $Z\equiv BC\cap KL'$ .

$\bullet$ Στο δοσμένο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα την LK'E

, σύμφωνα με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε $\displaystyle \frac{K'A}{K'B}\cdot \frac{EB}{EC}\cdot \frac{LC}{LA} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{EB}{EC} = \frac{K'B}{K'A}\cdot \frac{LA}{LC}\ \ \ ,(1)$

Ομοίως, στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα την KL'Z

έχουμε $\displaystyle \frac{L'A}{L'C}\cdot \frac{ZC}{ZB}\cdot \frac{KB}{KA} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{ZC}{ZB} = \frac{L'C}{L'A}\cdot \frac{KA}{KB}\ \ \ ,(2)$

Διαιρούμε τις ισότητες $(1),\ (2)$ κατά μέλη και παίρνουμε $\displaystyle \frac{EB}{EC} = \frac{ZC}{ZB}\ \ \ ,(3)$ λόγω της ισοτομικότητας των ζευγών των σημείων $K,\ K'$ και $L,\ L'$ ,

από όπου έχουμε KA = K'A

και

.

Από $(3)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{BE}{EC - BE} = \frac{CZ}{ZB - CZ}\Rightarrow$ $\boxed{BE = CZ}\ \ \ ,(4)$

: Ισοτομική "μεσοτομική" συνευθειακότητα.; f=112_t=46074.PNG (28.75 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\vartriangle TEZ$ με διατέμνουσα την KFM

, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Μενελάου, έχουμε $\displaystyle \frac{FT}{FE}\cdot \frac{ME}{MZ}\cdot \frac{KZ}{KT} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{FE}{FT} = \frac{KZ}{KT}\ \ \ ,(5)$

γιατί ισχύει ME = MZ

λόγω της

Ομοίως, στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα την LQM

, έχουμε $\displaystyle \frac{QT}{QZ}\cdot \frac{MZ}{ME}\cdot \frac{LE}{LT} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{QZ}{QT} = \frac{LE}{LT}\ \ \ ,(6)$

Ομοίως, στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα την KK'B

, έχουμε $\displaystyle \frac{KZ}{KT}\cdot \frac{K'T}{K'E}\cdot \frac{BE}{BZ} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{KZ}{KT}\cdot \frac{K'T}{K'E} = \frac{BZ}{BE}\ \ \ ,(7)$

Ομοίως, στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα την LL'C

, έχουμε $\displaystyle \frac{LE}{LT}\cdot \frac{L'T}{L'Z}\cdot \frac{CZ}{CE} = 1\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{LE}{LT}\cdot \frac{L'T}{L'Z} = \frac{CE}{CZ}\ \ \ ,(8)$

Από $(7),\ (8)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{KZ}{KT}\cdot \frac{K'T}{K'E} = \frac{LE}{LT}\cdot \frac{L'T}{L'Z}\ \ \ ,(9)$ γιατί ισχύει $\displaystyle \frac{BZ}{BE} = \frac{CE}{CZ}$ λόγω της (4)

Από $(5),\ (6),\ (9)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{FE}{FT}\cdot \frac{K'T}{K'E} = \frac{QZ}{QT}\cdot \frac{L'T}{L'Z}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{FE}{FT}\div \frac{K'E}{K'T} = \frac{QZ}{QT}\div \frac{L'Z}{L'T}}\ \ \ ,(10)$

$\bullet$ Από $(10)\Rightarrow$ $\boxed{(E,T,F,K') = (Z,T,Q,L')}\ \ \ ,(11)$

οι σημειοσειρές $T,\ F,\ K',\ E$ και $T,\ Q,\ L',\ Z$ δηλαδή, επί των ημιευθειών $TE,\ TZ$ αντιστοίχως, έχουν ίσους Διπλούς λόγους

Από

προκύπτει ότι οι ευθείες $EZ,\ K'L',\ FQ$

που συνδέουν τα ομόλογα σημεία αυτών των δύο σημειοσειρών

τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

Από $W\equiv EZ\cap K'L'\cap FQ$ τώρα, έχουμε ότι τα τρίγωνα $\vartriangle K'BF,\ \vartriangle L'CQ$ είναι προοπτικά και άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Desarques, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $A\equiv K'B\cap L'C$ και $S\equiv BF\cap CQ$ και $T\equiv K'F\cap L'Q$ ανήκουν στην ίδια ευθεία και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Ισοτομική "μεσοτομική" συνευθειακότητα

Ισοτομική "μεσοτομική" συνευθειακότητα

Re: Ισοτομική "μεσοτομική" συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση