Το έγκεντρο του τριγώνου

#1

: το έγκεντρο του τριγώνου.png (37.17 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Έστω τα κοινά εφαπτομενικά τμήματα του περίκυκλου $\left( O \right)$ και του παρεγγεγραμμένου κύκλου $\left( {{I}_{a}} \right)$ τριγώνου $\vartriangle ABC$ με $K,{K}'\in \left( O \right)$ .

Να δειχθεί ότι το $I\equiv BN\cap CM$ είναι το έγκεντρο του τρίγωνου $\vartriangle ABC$ με $M\equiv AB\cap K{K}',\,\,N\equiv AC\cap K{K}'$

Στάθης

panos misiakos · #2

: egkentro trigwnou.PNG (47.84 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Είναι σχεδόν ισοδύναμη με αυτή : viewtopic.php?f=112&t=48553.
Θεωρούμε M,N

τα ίχνη των διχοτόμων από τα C,B

αντίστοιχα .Τότε οι MN,BC

και η εξωτερική διχοτόμος της

συντρέχουν στο αρμονικό συζυγές

του ίχνους

της διχοτόμου από το

στη

ως προς τα B,C

. Έστω $K,K' \equiv (O) \cap MN$ . Για να δείξουμε το ζητούμενο , αρκεί η KK'

να είναι η πολική του κέντρου ομοιοθεσίας

των

ως προς τον (O)

,ή ισοδύναμα το

να βρίσκεται πάνω στην πολική του

ως προς τον (O)

. Θεωρούμε

το μέσο του τόξου

του

που περιέχει το

και $R \equiv BE \cap AC$ , $S \equiv AB \cap EC$ . Τότε η πολική του

είναι η

. Θεωρούμε

το σημείο επαφής του (I_A)

με την

. Προφανώς $Q \equiv OI_A \cap EF$ . Αρκεί λοιπόν οι RS ,EF ,OI_A

να συντρέχουν .Η

διέρχεται από το αρμονικό του

,το

. Οπότε αρκεί τα τρίγωνα ROE ,FDI_A

να είναι προοπτικά ως προς κέντρο . Θεωρούμε $G \equiv AD \cap RO$ . Από Desargues μένει να δείξουμε GB // FI_A//EE'

όπου

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον (O)

. Παρατηρούμε ότι

είναι το μέσο του EE'

, επομένως αν η δέσμη G(B,D,R,E)

είναι αρμονική έχουμε τελείωσει . Πράγματι αυτή είναι αρμονική , αφού και η A(B,D,R,E)

είναι αρμονική .

Το έγκεντρο του τριγώνου

Το έγκεντρο του τριγώνου

Re: Το έγκεντρο του τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση