ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

#1

Στο πλήρες τετράπλευρο του σχήματος, τα B, D

ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα A,C

.

Να αποδειχτεί ότι τα E, F

ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα B,D

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. (27-11-2015) Το πρόβλημα που τίθεται εδώ, σχετίζεται με το πρόβλημα που έχει τεθεί Εκεί .

#3

vittasko έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μη μας τρομάζουν οι Ελλείψεις...
Κώστας Βήττας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

rek2 έγραψε:Στο πλήρες τετράπλευρο του σχήματος, τα ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα .

Να αποδειχτεί ότι τα ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα .

Κώστα καλημέρα.

Μετά την όμορφη λύση του Γιώργου Βισβίκη στα ισοπεριμετρικά τρίγωνα εδώhttp://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=20&t=51961
παραθέτω μια λύση και στο πρόβλημα αυτό.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ισοπεριμετρικά τρίγωνα 1.PNG (21.66 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Αν τα τρίγωνα $\displaystyle{ABF}$ και $\displaystyle{AED}$ είναι ισοπεριμετρικά τότε θα είναι:

$\displaystyle{AB+BE+ED+DA=AB+BF+FD+DA}$

άρα:

$\displaystyle{BE+ED=FB+FD \ \ (1)}$

Η σχέση (1) δηλώνει ότι στα ισοπεριμετρικά αυτά τρίγωνα οι κορυφές $\displaystyle{E,F}$ ανήκουν σε έλλειψη με

εστίες τις $\displaystyle{B,D}$ .

Σύμφωνα με την απόδειξη του Γιώργου Βισβίκη θα είναι ακόμα:

$\displaystyle{AB+BC=AD+DC \ \ (2)}$

Η σχέση (2) λέει με την ίδια λογική ότι οι κορυφές $\displaystyle{B,D}$ ανήκουν σε μια άλλη έλλειψη

με εστίες τις $\displaystyle{A,C}$ , όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα:

: Ισοπεριμετρικά τρίγωνα 2.PNG (32.45 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Παρατηρήσεις:
1η) Σύμφωνα με το πρώτο σχήμα και την αντίστοιχη παρατήρηση διαπιστώνεται ότι

μπορούμε να κατασκευάσουμε πλειάδα ισοπεριμετρικών τριγώνων, ως εξής:

Θεωρούμε μια έλλειψη με εστίες τις $\displaystyle{B,D}$ και στη συνέχεια δύο σημεία αυτής τα $\displaystyle{E,F}$ .

Φέροντας τις ευθείες $\displaystyle{EB,FD}$ ορίζουμε την κορυφή $\displaystyle{A}$ του ζητούμενου τριγώνου.

2η) Οι κορυφές $\displaystyle{E,F}$ ανήκουν σε μια ακόμα έλλειψη(στο ακόλουθο σχήμα με στικτή γαλάζια γραμμή) με εστίες τα σημεία $\displaystyle{A,C}$

η οποία εφάπτεται στην πρώτη(απόδειξη;)

: Ισοπεριμετρικά τρίγωνα 3.PNG (31.05 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

3η) Την άσκηση την κυκλοφόρησε ο κ. Αντώνης Κυριακόπουλος και μάλιστα μου την έστειλε κάποια στιγμή.

Προσπάθησα να τη λύσω με διαφορετικό τρόπο συνδυάζοντας τα ανωτέρω με τις ελλείψεις, όμως ήθελε πολλές πράξεις κι απόκανα...

Η βοήθεια του Γιώργου Βισβίκη ήταν καθοριστική! Τον ευχαριστώ.

(*) Η ανωτέρω διαπραγμάτευση ξεκίνησε με δεδομένο ότι τα σημεία $\displaystyle{E,F}$ ανήκουν στην "κόκκινη" έλλειψη και

οδήγησε ότι και τα σημεία $\displaystyle{B,D}$ ανήκουν στην "πράσινη" έλλειψη. Το αντίστροφο δείχνεται παρόμοια.

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #5

rek2 έγραψε:Στο πλήρες τετράπλευρο του σχήματος, τα ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα .

Να αποδειχτεί ότι τα ανήκουν σε έλλειψη με εστίες τα .

Καλησπέρα,

Θα κάνουμε χρήση του παρακάτω λήμματος.

Λήμμα: Από τυχόν εξωτερικό σημείο

έλλειψης φέρουμε δύο εφαπτομένες προς αυτήν. Έστω ότι εφάπτονται στα σημεία

και

. Τότε η ευθεία $E_{1}P$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle XE_{1}Y$ (όπου $E_{1}, E_{2}$ οι εστίες της έλλειψης).

Απόδειξη:

: lhmma.png (34.96 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Έστω $E{'}_{1}, E{'}_{2}$ τα συμμετρικά σημεία των εστιών ως προς τις εφαπτομένες PX, PY

αντίστοιχα. Τότε $PE{'}_{1}=PE_{1}$ και $PE{'}_{2}=PE_{2}$ . Επίσης από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης τα σημεία $E_{1}, Y, E{'}_{2}$ είναι συνευθειακά καθώς επίσης και τα σημεία $E_{2}, X , E{'}_{1}$ . Έχουμε

$E_{2}E{'}_{1} = E_{2}X+XE_{1} = E_{2}Y+YE_{1}=E{'}_{2}E_{1}$

δηλαδή τα τρίγωνα $PE_{2}E{'}_{1}$ και $PE_{1}E{'}_{2}$ είναι ίσα (αντίστοιχες πλευρές ίσες). Άρα $\angle PE_{1}E{'}_{2} = \angle PE{'}_{1}X = \angle PE_{1}X$ και η $PE_{1}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $XE_{1}Y$ .

Στο πρόβλημά μας τώρα.

: plhres_tetrapleuro.png (108.78 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Φέρουμε τις εφαπτομένες της έλλειψης από τα σημεία

και

και έστω ότι τέμνονται στο σημείο

. Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης έχουμε ότι η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle EBF$ και η ευθεία

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle FDE$ . Επίσης από το παραπάνω λήμμα η

είναι διχοτόμος της γωνιάς $\angle BAD$ . Επομένως το

είναι το κέντρο των παρεγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABF

και

. Αν

το σημείο επαφής με τις ευθείες AE, ED, BF, AF

αντίστοιχα τότε ισχύει IK = IN

,

$\Rightarrow$ IK=IL=IM=IN

δηλαδή οι δυο κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες και ταυτίζονται.

Τελικά έχουμε

AE+EC = AE +EL+LC = AE +EK+LC =AK+LC

όμως

και

άρα

που συνεπάγεται το ζητούμενο.

#6

KDORTSI έγραψε:

2η) Οι κορυφές $\displaystyle{E,F}$ ανήκουν σε μια ακόμα έλλειψη(στο ακόλουθο σχήμα με στικτή γαλάζια γραμμή) με εστίες τα σημεία $\displaystyle{A,C}$

η οποία εφάπτεται στην πρώτη(απόδειξη;)

Κώστας Δόρτσιος

Απόδειξη με την γνωστή διχοτόμο να είναι κοινή εφαπτομένη...

ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Re: ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Re: ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Re: ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Re: ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Re: ΠΛΗΡΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Μέλη σε σύνδεση