Κατασκευή με κανόνα

[dimitris pap]

Να τονίσω ότι το παρακάτω θέμα δεν είναι θέμα Ολυμπιάδων αλλά δεν ήξερα που έπρεπε να το βάλω (ίσως στα γενικά )

Εστω ότι έχουμε 2 σημεία σε μία απόσταση (ας πούμε) cm. Και έχουμε ένα κανόνα που όμως είναι μόνο cm (ή οτιδήποτε θέλετε μικρότερο του 20 ). Πώς θα φτιάξουμε την ευθεία που ενώνει τα δύο σημεία?

Την άσκηση μου την πρότεινε ένας φίλος μου, και για να είμαι ειλικρινής δεν είμαι και πολύ ικανοποιημένος με τη λύση μου, για αυτό περιμένω ωραίες ιδέες

Edited! (έχουμε μόνο ένα κανόνα με τον οποίο δεν μπορούμε να μετράμε ενδιάμεσα μήκη)

[Στέλιος Μαρίνης]

Μια ιδέα: Αν φέρουμε από το Α δύο ευθείες τέτοιοες που να μπορούμε να φερουμε από το Β κάθετες προς αυτές στα Γ,Δ οι μεσοκάθετες των ΑΓ και ΑΔ τέμνονται σε άλλο ένα σημείο της ΑΒ. ΑΝ φτάνει ο χάρακάς μας την κατασκευάζω, αλλιώς επαναλαμβάνω τη διαδικασία.

[vittasko]

Μία άλλη ιδέα είναι να κατασκευάσουμε διαδοχικά παράλληλα, αντίρροπα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα, με αφετηρίες τα δοσμένα σημεία και κατεύθυνση από το ένα προς το άλλο, ώστε κάποια στιγμή τα δύο ελεύθερα άκρα τους να έχουν μικρότερη απόσταση από το διαθέσιμο μήκος.

Το μέσον αυτών των δύο άκρων, είναι και μέσον του δοσμένου τμήματος

Με επανάληψη βρίσκουμε τα μέσα των μέσων, που κείνται προφανώς πάνω στην ευθεία μέχρις ότου το να έχει διαιρεθεί σε ακέραιο αριθμό ίσων τμημάτων, μικρότερων από το διαθέσιμο μήκος ( ).

Τώρα Δημήτρη, θα μου πεις πως φέρνουμε παράλληλα τμήματα με ένα μόνο διαθέσιμο χάρακα ...

Κώστας Βήττας.

[Ανδρέας Πούλος]

Ερώτηση:
Διαβήτη διαθέτουμε;
Στην περίπτωση, αυτή η λύση είναι απλή ακόμα και αν έχουμε κανόνα (όχι χάρακα) μήκους οσοδήποτε μικρότερου από την απόσταση των σημείων.
Αλλιώς πρέπει να ψάξουμε στα "πονηρά" βιβλία, κατασκευές μόνο με κανόνα κλπ.
Φιλικά,
Ανδρέας

[dimitris pap]

Ισως δεν εξήγησα καλά το πρόβλημα (ή δεν κατάλαβα
καλά τις απαντήσεις) αλλά κ. Μαρίνη, πώς θα φέρουμε κάθετες έχοντας μόνο έναν κανόνα (δεν θεωρείται επιτρεπτό!).
Επίσης κ. Βήττα, αυτό με τα παράλληλα τμήματα φαίνεται πολύ ωραίο, (αν και δεν έχω σκεφτεί ακόμα τρόπο να το κάνουμε μόνο με κανόνα) αλλά και πάλι δεν καταλαβαίνω πώς θα βρούμε μετά το μέσο αυτόυ του τμήματος που θα έχουμε φτιάξει!


Edit: Υ.Γ1 Νομίζω κατάλαβα γιατί δεν εξήγησα καλά το πρόβλημα Αντί για χάρακα έπρεπε να πω κανόνα! (το οποίο και διορθώνω τώρα στο αρχικό μου μήνυμα)
Υ.Γ.2 Δεν έχουμε διαβήτη !

[achilleas]

Μια λύση υπάρχει στο

Straightedge Constructions, Given a Parabola
Peter Y. Woo
The College Mathematics Journal, Vol. 31, No. 5 (Nov., 2000), pp. 362-372

σελ. 362-363.

http://www.jstor.org/pss/2687451

Ο Woo ευχαριστεί τον Klamkin για την κατασκευή, που περιέχεται (?) στο βιβλίο του Howard Eves, College Geometry, p. 188.

Χωρίς το σχήμα επαναλαμβάνω την κατασκευή:

Φέρνουμε δυο ημιευθείες , προς την μεριά του από το (φανταστείτε το μέσα στην κυρτή γωνία που σχηματίζεται).

Από ένα σημείο εκτός της γωνίας (αλλά κοντά στο φέρνουμε τρεις ευθείες.

Έστω ότι η πρώτη (αυτή προς τη μεριά του ) τέμνει τις , στα , , αντίστοιχα, και
η δεύτερη (προς τη μεριά του ) στα σημεία , , αντίστοιχα. Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα , που τέμνουν τη τρίτη ευθεία από το , αυτή που είναι ανάμεσα από τις άλλες δυο, στα σημεία , , αντίστοιχα.

Φέρνουμε τις ευθείες , που τέμνονται στο . Τότε από Desargues, η ευθεία θα διέρχεται από το .

Φιλικά,

Αχιλλέας

[cretanman]

Αχιλλέα ευχαριστούμε πολύ!! Εκπληκτική λύση και εκπληκτικό το άρθρο που παραθέτεις. Έχει πολλές όμορφες κατασκευές με τη χρήση μόνο του κανόνα. Δημήτρη μοιάζει με την παραπάνω η δική σου λύση στο πρόβλημα?

Αλέξανδρος

[dimitris pap]

Ωραία λύση Αχιλλέα! Και εμένα η λύση μου κειμένεται στα ίδια πλαίσια. Βασικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δίαφορες μορφές της ίδιας ιδέας (π.χ. πολικές, Desargues, Pappus Theorem).

Με πολικές ας πούμε, φτιάχνουμε τις 2 εμιευθείες στις οποίες αναφέρεται ο Αχιλλέας (αρκούντως κοντά στο Α). Μετά φέρουμε 2 τυχαίες ευθείες που περνάνε απ' το και έστω ότι τέμνουν τις ημιευθείες στα σημεία . Τότε το σημείο , είναι στην πολική του Α ως προς τις ημιευθείες. Φέρουμε μετά μια τυχαία ευθεία απ' το Κ που τέμνει τις ημιευθείες στα σημεία ( στην ίδια μεριά με τα ). Τότε το σημείο τομής των ανήκει στην ευθεία που ψάχνουμε

[Ανδρέας Πούλος]

Καλά θυμόμουν ότι την είχα ξαναδεί αυτήν την κατασκευή και ότι έπρεπε να ψάξουμε σε "πονηρά" βιβλία.
Υπάρχει το σπάνιο για τις μέρες μας, αλλά παλαιότερα αποτελούσε μία "Βίβλο" των γεωμετρών έως και τη δεκετία του 1970, σχετικά μικρό, αλλά πρωτότυπο βιβλίο, το "Procedes Origianux de Constructions Geometrique" (μην περιμένετε να γράφω και τους τόνους στα γαλλικά είναι δύσκολο χωρίς την κατάλληλη γραμματοσειρά) του E. Fourrey, εκδόσεις Librairie Vuibert, Παρίσι, 1924. Το βιβλίο αυτό έχει κατασκευές μόνο με κανόνα, μόνο με διαβήτη, με κανόνα και διαβήτη σταθερής ακτίνας, κλπ. Στη σελίδα 7 λοιπόν, περιέχει και τη ζητούμενη κατασκευή μας, που όπως γράφει την έχει πάρει από μία έκδοση του γεωμέτρη M. de Longchamps του 1890 με τίτλο "Essai sur la geometrie de la regle et de l' equerre".
Πλήρη περιγραφή της κατασκευής θα δώσω αύριο, αν υπάρχει έστω και ένας ενδιαφερόμενος, αφού συμβουλευτώ τις φιλολόγους της γαλλικής γλώσσας για να μην δίνω λάθος πληροφορίες.
Φιλικά,
Ανδρέας

[vittasko]

Αν καταλαβαίνω καλά, το πρόβλημα δεν ζητάει την κατασκευή της ευθείας που συνδέει τα δοσμένα σημεία, με τη χρήση μόνο του κανόνα, δηλαδή μόνο με ευθείες όπως αυτές εννοούνται γεωμετρικά, αλλά με κάποιον κανόνα που μπορεί μόνο να μας δώσει ευθύγραμμα τμήματα, αρκετά μικρότερα από την απόσταση των δοσμένων σημείων και

Νομίζω ότι έτσι, το πρόβλημα δεν είναι γεωμετρικό αλλά τεχνικό.

Όταν αναφέρθηκα πιο πάνω στα διαδοχικά παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα, είχα στο νου τον αρθρωτό εκείνο ''διπλοχάρακα'', που χρησιμοποιούν οι ναυτικοί για να μεταφέρουν παράλληλες διευθύνσεις και τμήματα, από μία περιοχή ενός χάρτη σε κάποια άλλη.

Kώστας Βήττας.

ΥΓ. Βέβαια, αυτός ο ''διπλοχάρακας'', ουσιαστικά χρησιμοποιεί τον διαβήτη αφού η παράλληλη μεταφορά πραγματοποιείται με στροφή μέσω των αρθρώσεων. Η χρήση του επομένως, δεν είναι έγκυρη τελικά.