Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Καλημέρα σε όλους. Μια τελευταία προσωπική σύνθεση .. όχι ουρανοκατέβατη βεβαίως.
Ας είναι τρίγωνο με και
Θεωρούμε το σημείο της πλευράς ώστε να ισχύει
και το σημείο επι της ώστε να είναι .
Να εξεταστεί αν είναι .
Η προσέγγισή μου είναι ,θα έλεγα Τριγωνο-Γεω-μετρική..
όμως δεν θεωρώ απίθανο να δούμε και Γεωμετρικές -άρα.. .. κατά κανόνα κομψότερες- αποδείξεις !
Εννοείται ότι κάθε λύση είναι ευπρόσδεκτη!
Ευχαριστώ , Γιώργος
Ας είναι τρίγωνο με και
Θεωρούμε το σημείο της πλευράς ώστε να ισχύει
και το σημείο επι της ώστε να είναι .
Να εξεταστεί αν είναι .
Η προσέγγισή μου είναι ,θα έλεγα Τριγωνο-Γεω-μετρική..
όμως δεν θεωρώ απίθανο να δούμε και Γεωμετρικές -άρα.. .. κατά κανόνα κομψότερες- αποδείξεις !
Εννοείται ότι κάθε λύση είναι ευπρόσδεκτη!
Ευχαριστώ , Γιώργος
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
[unparseable or potentially dangerous latex formula]ABCAB=AC\hat{BAC}=75^{0}EBC\dfrac{BE}{EC}=1+\sqrt{2}IAE\hat{ABI}=\hat{CAE}\hat{CIE}=30^{0}\hat{EAC}=\hat{ABI}=\omega ,\hat{EIC}=x,\hat{BIE}=75^{0},\hat{BAE}=75-\omega ,\hat{ICA}=x-\omega}
Στα τρίγωνα
με τους κατάλληλους περιορισμούς η λύση τις τριγωνομετρικής εξίσωσης και οι τριγωνομετρικοι΄αριθμοί της γωνίας των
είναι γνωστοί
Γιάννης
Στα τρίγωνα
με τους κατάλληλους περιορισμούς η λύση τις τριγωνομετρικής εξίσωσης και οι τριγωνομετρικοι΄αριθμοί της γωνίας των
είναι γνωστοί
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Kαλημέρα σε όλους.
Γιάννη σ' ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου , αλλά κυρίως για το ενδιαφέρον και τον χρόνο που διέθεσες.
Όταν δημοσίευσα το παρόν θέμα , στη λύση που είχα κατά νου έκανα χρήση
τριγ. τύπων για το άθροισμα ή τη διαφορά , όπως για παράδειγμα του .
Έτσι η προσέγγιση εκείνη , το ίδιο και η δική σου δεν θεωρείται- σύμφωνα με την κρατούσα άποψη- αμιγώς Γεωμετρική..
Τώρα όμως , ας κάνω την .. <<εκ του ασφαλούς πρόβλεψη >> ότι στο θέμα θα δοθεί
καθαρή Γεωμετρική λύση (είθε λύσεις !) στο επόμενο χρονικό διάστημα .
Φιλικά , Γιώργος .
Γιάννη σ' ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου , αλλά κυρίως για το ενδιαφέρον και τον χρόνο που διέθεσες.
Όταν δημοσίευσα το παρόν θέμα , στη λύση που είχα κατά νου έκανα χρήση
τριγ. τύπων για το άθροισμα ή τη διαφορά , όπως για παράδειγμα του .
Έτσι η προσέγγιση εκείνη , το ίδιο και η δική σου δεν θεωρείται- σύμφωνα με την κρατούσα άποψη- αμιγώς Γεωμετρική..
Τώρα όμως , ας κάνω την .. <<εκ του ασφαλούς πρόβλεψη >> ότι στο θέμα θα δοθεί
καθαρή Γεωμετρική λύση (είθε λύσεις !) στο επόμενο χρονικό διάστημα .
Φιλικά , Γιώργος .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Καλημέρα Γιώργο και Γιάννη! Καλημέρα σε όλους!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ...Τώρα όμως , ας κάνω την .. <<εκ του ασφαλούς πρόβλεψη >> ότι στο θέμα θα δοθεί
καθαρή Γεωμετρική λύση (είθε λύσεις !) στο επόμενο χρονικό διάστημα .
Φιλικά , Γιώργος .
Εικάζω ότι η εκ του ασφαλούς πρόβλεψη του Γιώργου πηγάζει από εδώ
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα σε όλους.
Γιάννη σ' ευχαριστώ πολύ για τη λύση σου , αλλά κυρίως για το ενδιαφέρον και τον χρόνο που διέθεσες.
Όταν δημοσίευσα το παρόν θέμα , στη λύση που είχα κατά νου έκανα χρήση
τριγ. τύπων για το άθροισμα ή τη διαφορά , όπως για παράδειγμα του .
Έτσι η προσέγγιση εκείνη , το ίδιο και η δική σου δεν θεωρείται- σύμφωνα με την κρατούσα άποψη- αμιγώς Γεωμετρική..
Τώρα όμως , ας κάνω την .. <<εκ του ασφαλούς πρόβλεψη >> ότι στο θέμα θα δοθεί
καθαρή Γεωμετρική λύση (είθε λύσεις !) στο επόμενο χρονικό διάστημα .
Φιλικά , Γιώργος .
Καλησπέρα σε όλους.
Πράγματι σε λίγο θα ανεβάσω λύση χωρίς ίχνος τριγωνομετρίας και χωρίς τη χρήση της παραπομπής του φίλου του Γιώργου του Βισβίκη.
Δίδουμε τη κατασκευή του σχήματος απ όπου πηγάζει μετά και η σχετική λύση .
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα με μέσο το στο οποίο «υψώνουμε» κάθετο
και γράφουμε τον κύκλο ο οποίος τέμνει την ευθεία στα
με το ανάμεσα στα .
Άμεσες συνέπειες :
1. και ( το «κλειδί»)
2. Τα σημεία αρμονικά συζυγή των
Τώρα κατασκευάζουμε ισοσκελές τρίγωνο με και φέρνουμε την . ( απλούστατο)
Επί πλέον κατασκευάζουμε κύκλο κέντρου που εφάπτεται στο της και διέρχεται από το .
( Προς τούτο φέρνουμε τη μεσοκάθετο στο και την κάθετο στο επί την και ορίζουμε από τη τομής τους το κέντρο του )
Η τομή ( εκτός του ) των δύο κύκλων μας ολοκληρώνει προφανέστατα τη κατασκευή του τριγώνου της άσκησης .
Ας είναι ακόμα η τομή της προέκτασης της με το κύκλο κέντρου
Επειδή και η θα είναι
Φιλικά Νίκος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Καλημέρα . Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες , ΥΓΕΙΑ σε όλους !
Η προσέγγιση που ακολουθεί δεν θα έλεγα ότι είναι μόνο προσωπική.. όπως θα φανεί στην πορεία. Στο σχήμα πήραμε ώστε να έχουμε τα τρίγωνα ίσα . Ας εστιάσουμε στο τρίγωνο .
ως παρ/κές ίσων ενώ .Θα υπολογίσουμε τον λόγο . Δίνεται
άρα και
επομένως οπότε .Τότε και .
Τώρα λοιπόν το ζητούμενο είναι : Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου όπου και .
Aς μου επιτραπεί εδώ να ευχαριστήσω τον Νίκο Φραγκάκη , αφού ..όχι μόνο στο παρελθόν φρόντιζε να μη χάνω ,όταν πόνταρα σε Γεωμετρική λύση.. αλλά και για τον παρακάτω λόγο : Στο δεύτερο σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με υποτείνουσα τη .Τότε και
δηλ. το είναι ισόπλευρο και το περίκεντρο του .
Συνεπώς και τελικά
Η λύση αυτή είναι στην ουσία η πρώτη από τις λύσεις που δώσαμε στο θέμα αυτό και ανήκει βεβαίως στο Νίκο !
Η πρόβλεψη λοιπόν ήταν << εκ του ασφαλούς >> .. ως αποθηκευμένη ήδη στο !!
Προτίθεμαι σε επόμενη δημοσίευση να προβάλω και άλλο τρόπο για το πως .. τιθασεύουμε το
(βρίσκουμε δηλαδή τις οξείες γωνίες του ) με την βοήθεια απαντήσεων που έχουν ήδη δοθεί σε ένα ακόμη θέμα !
Φιλικά Γιώργος .
Η προσέγγιση που ακολουθεί δεν θα έλεγα ότι είναι μόνο προσωπική.. όπως θα φανεί στην πορεία. Στο σχήμα πήραμε ώστε να έχουμε τα τρίγωνα ίσα . Ας εστιάσουμε στο τρίγωνο .
ως παρ/κές ίσων ενώ .Θα υπολογίσουμε τον λόγο . Δίνεται
άρα και
επομένως οπότε .Τότε και .
Τώρα λοιπόν το ζητούμενο είναι : Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου όπου και .
Aς μου επιτραπεί εδώ να ευχαριστήσω τον Νίκο Φραγκάκη , αφού ..όχι μόνο στο παρελθόν φρόντιζε να μη χάνω ,όταν πόνταρα σε Γεωμετρική λύση.. αλλά και για τον παρακάτω λόγο : Στο δεύτερο σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με υποτείνουσα τη .Τότε και
δηλ. το είναι ισόπλευρο και το περίκεντρο του .
Συνεπώς και τελικά
Η λύση αυτή είναι στην ουσία η πρώτη από τις λύσεις που δώσαμε στο θέμα αυτό και ανήκει βεβαίως στο Νίκο !
Η πρόβλεψη λοιπόν ήταν << εκ του ασφαλούς >> .. ως αποθηκευμένη ήδη στο !!
Προτίθεμαι σε επόμενη δημοσίευση να προβάλω και άλλο τρόπο για το πως .. τιθασεύουμε το
(βρίσκουμε δηλαδή τις οξείες γωνίες του ) με την βοήθεια απαντήσεων που έχουν ήδη δοθεί σε ένα ακόμη θέμα !
Φιλικά Γιώργος .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Κι' η Τριγωνομετρία .. βοηθός.
Καλημέρα σε όλους .
Ας υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου με τα στοιχεία :
Ο Ν. Ημιτόνων μας δίνει
Έστω άρα και . Σύμφωνα και με την τελευταία δημοσίευση στο θέμα ΕΔΩ ισχύουν :
Οπότε δηλ. προφανώς άτοπον.
Όμοια αποκλείουμε . Τελικά οι επαληθεύουν και συνεπώς γίνονται δεκτές.
Φιλικά , Γιώργος.
Ας υπολογίσουμε τις γωνίες του τριγώνου με τα στοιχεία :
Ο Ν. Ημιτόνων μας δίνει
Έστω άρα και . Σύμφωνα και με την τελευταία δημοσίευση στο θέμα ΕΔΩ ισχύουν :
Οπότε δηλ. προφανώς άτοπον.
Όμοια αποκλείουμε . Τελικά οι επαληθεύουν και συνεπώς γίνονται δεκτές.
Φιλικά , Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες