Χαρακτηρισμός Τετραπλεύρου

[achilleas]

Να δειχθεί ότι το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου στο εσωτερικό τετραπλεύρου από τις τέσσερις πλευρές του είναι ανεξάρτητο από τη θέση του αν και μόνο αν το είναι παραλληλόγραμμο.

Σχόλιο: Δείτε ένα σχετικό πρόβλημα εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

[nsmavrogiannis]

Αχιλλέα μία προσέγγιση για την περίπτωση που το τετράπλευρο είναι κυρτό. Ακολουθώντας την ίδια τεχνική που είδαμε εδώ καταλήγουμε ότι το άθροισμα θα είνα σταθερό αν και μόνο αν τα μοναδιαία διανύσματα από την αρχή των αξόνων που είναι κάθετα στις πλευρές του τετραπλεύρου έχουν άθροισμα μηδέν. Ας πούμε ότι αυτά είναι (διανύοντας τον κύκλο κατά την θετική φορά)τα , , , . Θα πρέπει το άθροισμα των , να είναι αντίθετο του αθροίσματος των , . Αλλά το άθροισμα των , έχει την διεύθυνση της διχοτόμου της και το άθροισμα των , . της διχοτόμου της . Οι δύο διχοτόμοι είναι αντικείμενες και τα ζεύγη και είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία των διχοτόμων. Όμοια τα ζεύγη και είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία των διχοτόμων των , Ένας εύκολος υπολογισμός με γωνίες δείχνει ότι οι δύο άξονες συμμετρίας είναι κάθετοι και ότι τα ζεύγη και είναι ζεύγη αντιδιαμετρικών σημείων. Το αρχικό τετράπλευρο θα έχει ένα ζεύγος πλευρών κάθετων στην και ένα στην άρα είναι παραλληλόγραμμο.

quadril.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

[S.E.Louridas]

Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που το άθροισμα των αποστάσεων τους από τις πλευρές της γωνίας είναι ευθεία που μαζί με τις πλευρές σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο, τότε το πρόβλημα επιλύεται αρκεί να σταθεροποιήσουμε κυκλικά το άθροισμα των αποστάσεων του, από δύο διαδοχικές πλευρές του, οπότε το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου από τις άλλες πλευρές του τριγώνου θα είναι επίσης σταθερό, και το ζητούμενο έπεται με απλό πλέον τρόπο, αφού οι γεωμετρικοί τόποι του ίδιου σημείου που προκύπτουν, θα πρέπει να ταυτίζονται.