Γεωμετρείν 104

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Την έχουμε ξαναδεί με μοναδική λύση νομίζω.

Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD

με διαγώνιους τις AC,BD

.

Αν οι γωνίες DAC,CAB,ACB

έχουν αντίστοιχα μέτρο $2x,5x,{{30}^{0}}$ και επίσης είναι AD=AC,~~BA=BD

.

Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το

.

: geometrein-104.PNG (20.73 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές

Live Practice >>>>>>>

Ορέστης Λιγνός · #2

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Την έχουμε ξαναδεί με μοναδική λύση νομίζω.

Έστω κυρτό τετράπλευρο με διαγώνιους τις .

Αν οι γωνίες έχουν αντίστοιχα μέτρο $2x,5x,{{30}^{0}}$ και επίσης είναι .

Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το .

geometrein-104.PNG
Live Practice >>>>>>>

Καλησπέρα!
Από νόμο ημιτόνων ,έχουμε ότι

$\dfrac{BC}{\sin 5x}=\dfrac{AB}{\sin 30^0} \Leftrightarrow \dfrac{BC}{AB}=2\sin 5x$ (1),

$\dfrac{BD}{\sin (60+x)}=\dfrac{BC}{\sin \hat{BDC}} \Leftrightarrow \dfrac{BA}{\sin (60+x)}=\dfrac{BC}{\sin \hat{BDC}} \Leftrightarrow \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sin \hat{BDC}}{\sin (60+x)}$ (2).

Τα τρίγωνα BAD,CAD

είναι ισοσκελή, άρα $\hat{BDC}=\hat{ADC}-\hat{ADB}=90-x-7x=90-8x$ .

Άρα $\dfrac{\sin (90-8x)}{\sin (60+x}=2\sin 5x \Leftrightarrow \dfrac{2\sin 5x \sin (60+x)}{\cos 8x}=1$ .

Αυτή η σχέση επαληθεύεται για x=5^0

, και λόγω μονοτονίας, x=5^0

#3

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Την έχουμε ξαναδεί με μοναδική λύση νομίζω.

Έστω κυρτό τετράπλευρο με διαγώνιους τις .

Αν οι γωνίες έχουν αντίστοιχα μέτρο $2x,5x,{{30}^{0}}$ και επίσης είναι .

Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το .

geometrein-104.PNG

Live Practice >>>>>>>

Καλησπέρα!

: Γεωμετρείν 104.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 1884 φορές

Φέρνω $\displaystyle{BM \bot AC,BN \bot AD}$ . Είναι $\displaystyle{BM = \frac{{BC}}{2}}$ και $\displaystyle{MC = \frac{{\sqrt 3 BC}}{2}}.$ Είναι ακόμα:

$\displaystyle{\cos 5x = \frac{{AM}}{{AB}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AM=ABcos5x}$ (1)

$\displaystyle{\cos 7x = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{2AB}} = \frac{{AC}}{{2AB}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AC=2ABcos7x}$ (2)

$\displaystyle{\sin 5x = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BC}}{{2AB}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BC=2ABsin5x}$ (3)

Αφαιρώ τις (2),(1)

κατά μέλη: $\displaystyle{AC - AM = AB(2\cos 7x - \cos 5x) \Leftrightarrow MC = AB(2\cos 7x - \cos 5x) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\sqrt 3 BC}}{2} = AB(2\cos 7x - \cos 5x)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(3)} \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 5x + \frac{1}{2}\cos 5x = \cos 7x \Leftrightarrow \cos ({60^0} - 5x) = \cos 7x}$

απ' όπου προκύπτει ότι $\boxed{x=5^0}$

#4

Καλησπέρα Δημήτρη ,Ορέστη και Γιώργο.
-----------------------------------------------------
Σχηματίζουμε το ισόπλευρο $\vartriangle ACE \quad , (AC=CE=AE=AD)$ , $\hat {\zeta}=30^o$ , η

διχοτόμος της $A\hat CE$ , BE=BA=BD

Στο ισοσκελές $\vartriangle AED$ με AD=AE

έχουμε

,άρα η

είναι διχοτόμος και $B\hat AE=7x$

$C\hat AE=60^o\Rightarrow 12x=60^o \Rightarrow x=5^o$

: 104-.png (24.75 KiB) Προβλήθηκε 1712 φορές

#5

Φωτεινή έγραψε:Καλησπέρα Δημήτρη ,Ορέστη και Γιώργο.
-----------------------------------------------------
Σχηματίζουμε το ισόπλευρο $\vartriangle ACE \quad , (AC=CE=AE=AD)$ , $\hat {\zeta}=30^o$ , η διχοτόμος της $A\hat CE$ ,

Στο ισοσκελές $\vartriangle AED$ με έχουμε ,άρα η είναι διχοτόμος και $B\hat AE=7x$

$C\hat AE=60^o\Rightarrow 12x=60^o \Rightarrow x=5^o$
104-.png

Πολύ καλό Φωτεινή

Δημήτρης Μυρογιάννης · #6

Φωτεινή, Γιώργο και Ορέστη (Ορέστη τι ακριβώς είσαι δεν έχω καταλάβει) ευχαριστώ.

1. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία A,B,C

και έστω

το κέντρο του.

2. Φέρουμε τις FA,FB,FC

που φυσικά είναι FA=FB=FC

. Παρατηρούμε τη σχέση της εγγεγραμμένης $BCA={{30}^{0}}$

με την επίκεντρη AFB

που κατοχυρώνει το ισόπλευρο τρίγωνο ABF

.

3. Είναι λοιπόν (και από το δοσμένο ισοσκελές $\text{ABD}$ ): AB=AF=FB=FC=BD

.

4. Εύκολα πιστοποιούμε $\left( \Pi -\Pi -\Pi \right)$ τα ίσα τρίγωνα ABD,ACF

, κάτι που (και εδώ πολύ εύκολα)

κατοχυρώνει τη γωνία DAF

με μέτρο

και ουσιαστικά ολοκληρώνει τη λύση.

: geometrein-104-lysis.PNG (40.5 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

#7

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Φωτεινή, Γιώργο και Ορέστη (Ορέστη τι ακριβώς είσαι δεν έχω καταλάβει) ευχαριστώ.

Δημήτρη καλημέρα.

Ο Ορέστης είναι ένα 9χρονο αστέρι στα Μαθηματικά.!!!!!!!

(μαθητής της τετάρτης Δημοτικού)

Γεωμετρείν 104

Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Re: Γεωμετρείν 104

Μέλη σε σύνδεση