ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

parmenides51 · #101

21 αποδείξεις πως ''τα τρία ύψη συντρέχουν'' βρίσκονται εδώ (στα Αγγλικά)

#102

parmenides51 έγραψε: 21 αποδείξεις πως ''τα τρία ύψη συντρέχουν'' βρίσκονται εδώ (στα Αγγλικά)

Φίλε "parmenides51"
Σε ευχαριστώ για την συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου αυτή, αλλά και για την παραπάνω βοήθειά σου.
Επειδή οι αποδείξεις που προτείνεις είναι γραμμένες στα Αγγλικά, δεν μπόρεσα να τις μελετήσω για να συμπεριλάβω στην εργασία αυτή εδώ, όσες δεν έχουν συμπεριληφθεί, αν φυσικά υπάρχουν τέτοιες.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

parmenides51 · #103

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 21 αποδείξεις πως ''τα τρία ύψη συντρέχουν'' βρίσκονται εδώ (στα Αγγλικά)

Φίλε "parmenides51"
Σε ευχαριστώ για την συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου αυτή, αλλά και για την παραπάνω βοήθειά σου.
Επειδή οι αποδείξεις που προτείνεις είναι γραμμένες στα Αγγλικά, δεν μπόρεσα να τις μελετήσω για να συμπεριλάβω στην εργασία αυτή εδώ, όσες δεν έχουν συμπεριληφθεί, αν φυσικά υπάρχουν τέτοιες.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Το εμπόδιο της αγγλικής γλώσσας στην παραπάνω σελίδα μπορεί να παρακαμφθεί ελαφρά με την χρήση της αυτόματης μετάφρασης του προγράμματος Google Chrome από εδώ. Πατήστε Λήψη του Google Chrome . Κατόπιν εγκαταστήστε το παραπάνω πρόγραμμα στον υπολογιστή και μπορείτε με αυτό να μπαίνετε στο ιντερνετ αντί του Internet Explorer ή του Mozilla Firefox.
Αν ανοίξετε με το παραπάνω πρόγραμμα την σελίδα της παραπομπής που έδωσα παραπάνω (αυτήν) θα εμφανιστεί στο πάνω μέρος μια ετικέτα που θα ρωτάει για να την μεταφράσει ολη την σελίδα από τα Αγγλικά το εξής μήνυμα ''Αυτή η σελίδα είναι στα Αγγλικά. Θέλετε να την μεταφράσετε; Μετάφραση , Οχι''
Επιλέγοντας το κουμπί ''Μετάφραση'', το μεταφράζει στα ελληνικά επι τόπου.
Μπορεί να μην είναι ακριβής μετάφραση αλλά με αντιπαραβολή (σε δυο διαφορετικά παράθυρα) της αρχικής σελίδας (για να μην χάνονται τα μαθηματικά) και της τελικής (για να βλέπουμε τι σημαίνουν οι αγγλικές λέξεις στο κείμενο) ίσως γίνει πιο κατανοητή η κάθε απόδειξη εκεί.
Για τις δύσκολες λέξεις που ίσως αποτύχει η μηχανική μετάφραση του παραπάνω προγράμματος υπάρχει και το Αγγλο-Ελληνικό Λεξικό Μαθηματικών όρων του καθηγητής του τμήματος Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου της Κύπρου Γ. Γεωργίου, που περιέχεται δωρεάν μέσω Ίντερνετ εδώ.
Ελπίζω να βοήθησα και περιμένω νέα.

φιλικά και με σεβασμό

#104

parmenides51 έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 21 αποδείξεις πως ''τα τρία ύψη συντρέχουν'' βρίσκονται εδώ (στα Αγγλικά)

Φίλε "parmenides51"
Σε ευχαριστώ για την συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου αυτή, αλλά και για την παραπάνω βοήθειά σου.
Επειδή οι αποδείξεις που προτείνεις είναι γραμμένες στα Αγγλικά, δεν μπόρεσα να τις μελετήσω για να συμπεριλάβω στην εργασία αυτή εδώ, όσες δεν έχουν συμπεριληφθεί, αν φυσικά υπάρχουν τέτοιες.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Το εμπόδιο της αγγλικής γλώσσας στην παραπάνω σελίδα μπορεί να παρακαμφθεί ελαφρά με την χρήση της αυτόματης μετάφρασης του προγράμματος Google Chrome από εδώ. Πατήστε Λήψη του Google Chrome . Κατόπιν εγκαταστήστε το παραπάνω πρόγραμμα στον υπολογιστή και μπορείτε με αυτό να μπαίνετε στο ιντερνετ αντί του Internet Explorer ή του Mozilla Firefox.
Αν ανοίξετε με το παραπάνω πρόγραμμα την σελίδα της παραπομπής που έδωσα παραπάνω (αυτήν) θα εμφανιστεί στο πάνω μέρος μια ετικέτα που θα ρωτάει για να την μεταφράσει ολη την σελίδα από τα Αγγλικά το εξής μήνυμα ''Αυτή η σελίδα είναι στα Αγγλικά. Θέλετε να την μεταφράσετε; Μετάφραση , Οχι''
Επιλέγοντας το κουμπί ''Μετάφραση'', το μεταφράζει στα ελληνικά επι τόπου.
Μπορεί να μην είναι ακριβής μετάφραση αλλά με αντιπαραβολή (σε δυο διαφορετικά παράθυρα) της αρχικής σελίδας (για να μην χάνονται τα μαθηματικά) και της τελικής (για να βλέπουμε τι σημαίνουν οι αγγλικές λέξεις στο κείμενο) ίσως γίνει πιο κατανοητή η κάθε απόδειξη εκεί.
Για τις δύσκολες λέξεις που ίσως αποτύχει η μηχανική μετάφραση του παραπάνω προγράμματος υπάρχει και το Αγγλο-Ελληνικό Λεξικό Μαθηματικών όρων του καθηγητής του τμήματος Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου της Κύπρου Γ. Γεωργίου, που περιέχεται δωρεάν μέσω Ίντερνετ εδώ.
Ελπίζω να βοήθησα και περιμένω νέα.

φιλικά και με σεβασμό

Φίλε "parmenides51".
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και την προσπάθειά σου να με εξυπηρετήσεις.
Έχω χρησιμοποιήσει και άλλοτε την αυτόματη μετάφραση, αλλά για Μαθηματικά είναι πολύ χρονοβόρα, ακόμα και για μικρά κείμενα (όπως και εσύ μου γράφεις) και εγώ τώρα έχω άλλο πρόγραμμα, το οποίο δεν μου επιτρέπει να ασχοληθώ με το θέμα αυτό.
Με τούτο θα σχοληθώ αργότερα, όταν θα έχω χρόνο.
Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

nikolaos p. · #105

parmenides51 έγραψε:21 αποδείξεις πως ''τα τρία ύψη συντρέχουν'' βρίσκονται εδώ (στα Αγγλικά)

Φίλε parmenides, πολύ ενδιαφέρον το λινκ που παραθέτεις!
Ευχαριστώ εκ μέρους όλων, αλλά και προσωπικά!
Νίκος

Grigoris K. · #106

ΝΙΚΟΣ έγραψε: 1β(4). «Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν», ή για την ακρίβεια: « Οι φορείς των υψών κάθε τριγώνου, περνούν από το ίδιο σημείο».

Καλησπέρα κ. Κυριαζή. Επαναφέρω το παρόν θέμα παραθέτοντας 2 αποδείξεις που βρήκα χθες το βράδυ.
Δύσκολα, βέβαια, να είναι πρωτοεμφανιζόμενες και ιδιαίτερα η πρώτη.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ D,E,Z }$ η πόδες των υψών που άγονται από τα $\displaystyle{ A,B,C }$ αντίστοιχα.

Απόδειξη 1: Έστω $\displaystyle{ H \equiv BE \cap CZ }$ . Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ AEHZ }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EAH = \angle EZH \equiv \angle EZC }$ .
Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ZECB }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EZC = \angle EBC }$ και από το εγγράψιμο $\displaystyle{ DEAB}$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EBC \equiv \angle EBD = \angle EAD }$ .
Από τις παραπάνω ισότητες έπεται ότι $\displaystyle{ \angle EAH \equiv \angle EAD \implies A,H,D }$ συνευθειακά, που είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη 2: Έστω $\displaystyle{ H \equiv BE \cap CZ }$ . Θεωρώ $\displaystyle{ S,T }$ τις ορθές προβολές του $\displaystyle{ D }$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{ AB,AC }$ αντίστοιχα.
Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ZECB }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle AEZ = \angle ABC }$ . Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ATDS}$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle ATS = \angle SDA }$ .
Όμως $\displaystyle{ \angle SDA = \angle ABC }$ ως οξείες με κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύει $\displaystyle{ \angle AEZ = \angle ABC = \angle ATS \implies ZE \parallel ST }$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ZHE }$ και $\displaystyle{ \triangle SDT }$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες άρα είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το $\displaystyle{ A }$ .
Συνεπώς τα σημεία $\displaystyle{ A,H,D }$ είναι συνευθειακά, που είναι το ζητούμενο.

Σημείωση: Οι παραπάνω αποδείξεις ισχύουν και για τα αμβλυγώνια τρίγωνα. Π.χ. σε περίπτωση που το $\displaystyle{ \triangle ABC }$ είναι αμβλυγώνιο στο $\displaystyle{ A }$
μπορούμε ισοδύναμα να εργαστούμε στο οξυγώνιο $\displaystyle{ \triangle BHC }$ και να αποδείξουμε (όπως παραπάνω) ότι τα ύψη αυτού του τριγώνου συντρέχουν.

#107

Grigoris K. έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε: 1β(4). «Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν», ή για την ακρίβεια: « Οι φορείς των υψών κάθε τριγώνου, περνούν από το ίδιο σημείο».

Καλησπέρα κ. Κυριαζή. Επαναφέρω το παρόν θέμα παραθέτοντας 2 αποδείξεις που βρήκα χθες το βράδυ.
Δύσκολα, βέβαια, να είναι πρωτοεμφανιζόμενες και ιδιαίτερα η πρώτη.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ D,E,Z }$ η πόδες των υψών που άγονται από τα $\displaystyle{ A,B,C }$ αντίστοιχα.

Απόδειξη 1: Έστω $\displaystyle{ H \equiv BE \cap CZ }$ . Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ AEHZ }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EAH = \angle EZH \equiv \angle EZC }$ .
Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ZECB }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EZC = \angle EBC }$ και από το εγγράψιμο $\displaystyle{ DEAB}$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle EBC \equiv \angle EBD = \angle EAD }$ .
Από τις παραπάνω ισότητες έπεται ότι $\displaystyle{ \angle EAH \equiv \angle EAD \implies A,H,D }$ συνευθειακά, που είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη 2: Έστω $\displaystyle{ H \equiv BE \cap CZ }$ . Θεωρώ $\displaystyle{ S,T }$ τις ορθές προβολές του $\displaystyle{ D }$ πάνω στις πλευρές $\displaystyle{ AB,AC }$ αντίστοιχα.
Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ZECB }$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle AEZ = \angle ABC }$ . Από το εγγράψιμο $\displaystyle{ ATDS}$ προκύπτει $\displaystyle{ \angle ATS = \angle SDA }$ .
Όμως $\displaystyle{ \angle SDA = \angle ABC }$ ως οξείες με κάθετες πλευρές. Επομένως ισχύει $\displaystyle{ \angle AEZ = \angle ABC = \angle ATS \implies ZE \parallel ST }$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ZHE }$ και $\displaystyle{ \triangle SDT }$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες άρα είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το $\displaystyle{ A }$ .
Συνεπώς τα σημεία $\displaystyle{ A,H,D }$ είναι συνευθειακά, που είναι το ζητούμενο.

Σημείωση: Οι παραπάνω αποδείξεις ισχύουν και για τα αμβλυγώνια τρίγωνα. Π.χ. σε περίπτωση που το $\displaystyle{ \triangle ABC }$ είναι αμβλυγώνιο στο $\displaystyle{ A }$
μπορούμε ισοδύναμα να εργαστούμε στο οξυγώνιο $\displaystyle{ \triangle BHC }$ και να αποδείξουμε (όπως παραπάνω) ότι τα ύψη αυτού του τριγώνου συντρέχουν.

Αγαπητέ φίλε Grigoris K.
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου σε αυτή εδώ την παλαιότερη προσπάθειά μου.

Οι αποδείξεις σου εκ πρώτης όψεως, φαίνονται ότι είναι νέες και σωστές. Όμως για να πάρω οριστική θέση, θέλω λίγο χρόνο να το ερευνήσω καλύτερα [σύγκριση με εξήντα έξι $\left(66 \right)$ άλλες αποδείξεις], καθώς τώρα έχω κάποιες άλλες επείγουσες υποχρεώσεις.

Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ και καλή Χρονιά.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#108

Αγαπητέ φίλε Grigoris K.
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι με την παραπάνω η απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη.
Σε ευχαριστούμε πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας εδώ.

Όσο για την η, από τις παραπάνω αποδείξεις σου, ομολογώ ότι με έχει προβληματίσει πολύ, καθώς αυτή μοιάζει πολύ με άλλες τρεις αποδείξεις από τις και δεν μπόρεσα μέχρι τώρα να πάρω θέση. Απαιτείται περισσότερη μελέτη.

Και τώρα συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την η απόδειξη.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#109

Αγαπητέ φίλε Grigoris K.
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι με την παραπάνω η απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την η πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη.
Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας εδώ.

Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας για την η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την η.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Grigoris K. · #110

Καλησπέρα κ. Νίκο. Παραθέτω δύο ακόμη αποδείξεις που βρήκα χθες πριν τον ύπνο:

Απόδειξη 3: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκεντρο $\displaystyle{ O }$ και βαρύκεντρο $\displaystyle{ G }$ . Επίσης έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ H \equiv AD \cap OG }$ , όπου $\displaystyle{ AD }$ ύψος.
Ισχύει φανερά $\displaystyle{ AH \parallel OM }$ άρα από Θ. Θαλή προκύπτει ότι $\displaystyle{ \frac{HG}{GO} = \frac{AG}{GM} = 2 }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι τα ύψη $\displaystyle{ BE,CZ }$ διαιρούν εξωτερικά
το τμήμα $\displaystyle{ GO }$ στον ίδιο λόγο άρα τα τρία ύψη συντρέχουν στο $\displaystyle{ H }$ .

Απόδειξη 4: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκυκλο $\displaystyle{ (O) }$ και ύψη $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ . Έστω $\displaystyle{ P \equiv EZ \cap BC }$ . Το τετράπλευρο $\displaystyle{ BZEC }$ είναι εγγράψιμο
άρα ισχύει $\displaystyle{ PZ\cdot PE = PB \cdot PC }$ . Επομένως το $\displaystyle{ P }$ ανήκει στο ριζικό άξονα $\displaystyle{(\zeta) }$ των κύκλων $\displaystyle{ (O) }$ και $\displaystyle{ (DEZ) }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι τομές
$\displaystyle{ Q \equiv DZ \cap CA }$ και $\displaystyle{ R \equiv DE \cap AB }$ ανήκουν στο ριζικό άξονα $\displaystyle{ (\zeta) }$ . Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ \triangle DEZ }$ είναι προοπτικά ως προς άξονα, τον $\displaystyle{ (\zeta) }$ ,
άρα από το Θ. Desargues έπεται ότι είναι προοπτικά και ως προς κέντρο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ συντρέχουν που είναι και το ζητούμενο.

#111

Βιαστικά γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας. Άλλωστε σε λίγες μέρες έχω ταξίδι στο εξωτερικό για να κάνω
πολλές ομιλίες σε διαφορετικά θέματα, και πρέπει να κάνω προετοιμασία.

Ο λόγος που γράφω είναι ο εξής: Θέλω να επισημάνω ότι πολλές από τις φερόμενες παραπάνω ως
πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις απέχουν πολύ από το να είναι πρωτοεμφανιζόμενες. Υπάρχουν σε Γεωμετρίες
τουλάχιστον πριν από 250 χρόνια.

Είχα υποσχεθεί ένα άρθρο με την ιστορία του θεωρήματος σύγκλισης των υψών. Δεν έχω
βρει χρόνο να το γράψω, αν και ουσιαστικά έχω διεκπεραιώσει την απαιτούμενη έρευνα. Ελπίζω
να το γράψω το καλοκαίρι, οπότε θα τεκμηριώσω αυτά που επισημαίνω τώρα βιαστικά.

Ένα δείγμα: Η απόδειξη 1 του Grigoris K. είναι η αρχαία απόδειξη, στην οποία κάνει νύξη
ο Johanes Müller (1434-1476), γνωστότερος ως Regiomontanus, στην Τριγωνομετρία του De triangulis omnimondis libri V η οποία τυπώθηκε το 1533 αλλά κυκλοφορούσε από το 1464.
Το πλήρες κείμενο με την αρχαία απόδειξη δεν σώζεται. Όμως η ίδια απόδειξη υπάρχει πλήρης στον
Samuel Marolois (1572-1627) στο έργο του Oevvres mathématicqves που τυπώθηκε το 1628.

Επίσης η απόδειξη 3 του Grigoris K. υπάρχει (με ελάχιστη παραλλαγή προς το απλούστερο) από το 1932 (αν όχι νωρίτερα) στο Triumph der Mathematik (γνωστότερο από την αγγλική του μετάφραση 100 Great problems of Elementary Mathematics, σελίς 141) του Heinrich Dorrie.

Σε Γεωμετρίες προ του 1850 (και μερικές είναι στα Λατινικά προ του 1750) έχω βρει κάπου 25 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος ότι τα ύψη συγκλίνουν. Μερικές είναι μεταξύ των παραπάνω φερόμενων ως πρωτοεμφανιζόμενων ενώ υπάρχουν άλλες που είναι διαφορετικές από όλες τις αναφερόμενες.

Φιλικά,

Μιχάλης

#112

Grigoris K. έγραψε:Καλησπέρα κ. Νίκο. Παραθέτω δύο ακόμη αποδείξεις που βρήκα χθες πριν τον ύπνο:

Απόδειξη 3: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκεντρο $\displaystyle{ O }$ και βαρύκεντρο $\displaystyle{ G }$ . Επίσης έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ H \equiv AD \cap OG }$ , όπου $\displaystyle{ AD }$ ύψος.
Ισχύει φανερά $\displaystyle{ AH \parallel OM }$ άρα από Θ. Θαλή προκύπτει ότι $\displaystyle{ \frac{HG}{GO} = \frac{AG}{GM} = 2 }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι τα ύψη $\displaystyle{ BE,CZ }$ διαιρούν εξωτερικά
το τμήμα $\displaystyle{ GO }$ στον ίδιο λόγο άρα τα τρία ύψη συντρέχουν στο $\displaystyle{ H }$ .

Απόδειξη 4: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκυκλο $\displaystyle{ (O) }$ και ύψη $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ . Έστω $\displaystyle{ P \equiv EZ \cap BC }$ . Το τετράπλευρο $\displaystyle{ BZEC }$ είναι εγγράψιμο
άρα ισχύει $\displaystyle{ PZ\cdot PE = PB \cdot PC }$ . Επομένως το $\displaystyle{ P }$ ανήκει στο ριζικό άξονα $\displaystyle{(\zeta) }$ των κύκλων $\displaystyle{ (O) }$ και $\displaystyle{ (DEZ) }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι τομές
$\displaystyle{ Q \equiv DZ \cap CA }$ και $\displaystyle{ R \equiv DE \cap AB }$ ανήκουν στο ριζικό άξονα $\displaystyle{ (\zeta) }$ . Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ \triangle DEZ }$ είναι προοπτικά ως προς άξονα, τον $\displaystyle{ (\zeta) }$ ,
άρα από το Θ. Desargues έπεται ότι είναι προοπτικά και ως προς κέντρο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ συντρέχουν που είναι και το ζητούμενο.

Αγαπητέ Grigoris K.
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου σε αυτή εδώ την παλαιότερη προσπάθειά μου.

Οι αποδείξεις σου εκ πρώτης όψεως, φαίνονται ότι είναι νέες, για την εργασία αυτή, και σωστές (για την όμως, καλό θα ήταν, να είναι πιο λεπτομερής, ώστε να ήταν εύκολο να την καταλάβουν και εκείνοι που δεν έχουν πολύ ασχοληθεί με τη Γεωμετρία).
Όμως για να πάρω οριστική θέση, θέλω λίγο χρόνο να το ερευνήσω καλύτερα [σύγκριση με εξήντα εννέα $\left(69 \right)$ άλλες αποδείξεις], καθώς τώρα έχω κάποιες άλλες επείγουσες υποχρεώσεις.

Και πάλι σε ευχαριστώ πολύ.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#113

Mihalis_Lambrou έγραψε:Βιαστικά γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας. Άλλωστε σε λίγες μέρες έχω ταξίδι στο εξωτερικό για να κάνω
πολλές ομιλίες σε διαφορετικά θέματα, και πρέπει να κάνω προετοιμασία.

Ο λόγος που γράφω είναι ο εξής: Θέλω να επισημάνω ότι πολλές από τις φερόμενες παραπάνω ως
πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις απέχουν πολύ από το να είναι πρωτοεμφανιζόμενες. Υπάρχουν σε Γεωμετρίες
τουλάχιστον πριν από 250 χρόνια.

Είχα υποσχεθεί ένα άρθρο με την ιστορία του θεωρήματος σύγκλισης των υψών. Δεν έχω
βρει χρόνο να το γράψω, αν και ουσιαστικά έχω διεκπεραιώσει την απαιτούμενη έρευνα. Ελπίζω
να το γράψω το καλοκαίρι, οπότε θα τεκμηριώσω αυτά που επισημαίνω τώρα βιαστικά.

Ένα δείγμα: Η απόδειξη 1 του Grigoris K. είναι η αρχαία απόδειξη, στην οποία κάνει νύξη
ο Johanes Müller (1434-1476), γνωστότερος ως Regiomontanus, στην Τριγωνομετρία του De triangulis omnimondis libri V η οποία τυπώθηκε το 1533 αλλά κυκλοφορούσε από το 1464.
Το πλήρες κείμενο με την αρχαία απόδειξη δεν σώζεται. Όμως η ίδια απόδειξη υπάρχει πλήρης στον
Samuel Marolois (1572-1627) στο έργο του Oevvres mathématicqves που τυπώθηκε το 1628.

Επίσης η απόδειξη 3 του Grigoris K. υπάρχει (με ελάχιστη παραλλαγή προς το απλούστερο) από το 1932 (αν όχι νωρίτερα) στο Triumph der Mathematik (γνωστότερο από την αγγλική του μετάφραση 100 Great problems of Elementary Mathematics, σελίς 141) του Heinrich Dorrie.

Σε Γεωμετρίες προ του 1850 (και μερικές είναι στα Λατινικά προ του 1750) έχω βρει κάπου 25 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος ότι τα ύψη συγκλίνουν. Μερικές είναι μεταξύ των παραπάνω φερόμενων ως πρωτοεμφανιζόμενων ενώ υπάρχουν άλλες που είναι διαφορετικές από όλες τις αναφερόμενες.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αγαπητέ Μιχάλη Καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου εδώ για τρίτη φορά αλλά και για τις πολύτιμες πληροφορίες που μας δίνεις.

Και προ δύο ή τριών ετών περίπου είχα ζητήσει εδώ να μας δώσεις όλες τις αποδείξεις που αναφέρεις ότι έχεις και που είχες πει ότι θα εύρισκες ευκαιρία και θα μας τις έδινες. Όμως μέχρι τώρα δεν σου δόθηκε η ευκαιρία. Τούτο όμως είναι ανάγκη να υλοποιηθεί, καθώς τότε θα ξεκαθαρίσει η κατάσταση. Θα μπορούσαμε δηλαδή έτσι να αποφανθούμε ποίες από αυτές πραγματικά υπάρχουν στη βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αναθεωρήσουμε και τη θέση μας, για όσες από αυτές προϋπάρχουν, όπως έγινε και με μια από αυτές τις αποδείξεις, που μας έδωσες προ μηνών του Νεύτωνα.
Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που έχουμε προβεί στη δημοσίευσή τους στο mathematica, καθώς εδώ είναι δυνατό να ξεκαθαρίσουν πραγματικά ποίες αποδείξεις είναι νέες και πρωτοεμφανιζόμενες.

Πάντως τώρα εδώ «νέες και πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις» χαρακτηρίζουμε εκείνες που ΕΔΩ εμείς μέχρι τώρα βλέπουμε για πρώτη φορά. Μέχρι τότε που θα μας δοθούν παλιές αποδείξεις θα συνεχίζουμε να τις χαρακτηρίζουμε όπως πρώτα, μετά θα αναθεωρήσουμε τον χαρακτηρισμό αυτό για κάποιες από αυτές που ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ προϋπήρχαν στη βιβλιογραφία.

Ας σημειωθεί εδώ ότι μεταξύ άλλων, προσπαθούμε να συγκεντρώσουμε όσο γίνεται περισσότερες νέες αποδείξεις, καθώς ένας από τους στόχους μας είναι, αφού ξεκαθαρίσουν τα πράγματα, να τις στείλουμε και στο βιβλίο Γκίνες, με τα ονόματα φυσικά εκείνων που πρώτοι τις επινόησαν (νέων, παλαιών, αρχαίων, αν υπάρχουν).

Για να επιτευχθούν όμως τα παραπάνω απαιτείται μεγάλη συλλογική προσπάθεια και βοήθεια από τους φίλους, για αυτό άλλωστε τις δημοσιεύουμε και στο mathematica, όπως και παραπάνω είπαμε.

Όσο για τις δικές μου αποδείξεις, πιστεύω ότι οι περισσότερες είναι νέες, καθώς πολλές έχουν βασισθεί σε νέα λήμματα που επινόησα ειδικά για να στηριχθούν οι αποδείξεις αυτές.

Ακόμη, θέλω να επισημάνω ότι και όλες οι αποδείξεις που θα μας δώσεις, αν συμπίπτουν με κάποιες από τις , πάλι ο αριθμός αυτός δεν αλλάζει, που είναι αριθμός σημαντικός.

Μετά τα παραπάνω, ζητάμε από το φίλο Μιχάλη να δώσει τις αποδείξεις, ώστε να λυθεί το πρόβλημά μας αυτό εδώ για να μη διαιωνίζεται.

Επειδή είμαι πεπεισμένος ότι θα ανταποκριθεί στο κάλεσμά μας αυτό, τον ευχαριστούμε εκ των προτέρων.

Με μεγάλη εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής

dimitris pap · #114

Θέλω κι εγώ να υποβάλλω μια απόδειξη που σκέφτηκα, αλλά επειδή δεν έχω διαβάσει όλες τις προηγούμενες αποδείξεις, θα με συγχωρέσετε αν έχει ξαναδιατυπωθεί!

Εστω ότι τα ύψη AD,BE,CF

τέμνουν τον περιγεγραμμένο του ABC

στα

αντίστοιχα. Εχουμε: AF'=AE'

αφού τα τόξα τους βλέπουν ίσες γωνίες (ίσες με 90-Α). Ομοια και για τα άλλα. Ετσι, στο D'E'F'

οι

είναι διχοτόμοι, κι άρα συντρέχουν στο έγκεντρο του D'E'F'

. Με άλλα λόγια, τα ύψη του ABC

συντρέχουν

#115

dimitris pap έγραψε:Θέλω κι εγώ να υποβάλλω μια απόδειξη που σκέφτηκα, αλλά επειδή δεν έχω διαβάσει όλες τις προηγούμενες αποδείξεις, θα με συγχωρέσετε αν έχει ξαναδιατυπωθεί!

Εστω ότι τα ύψη τέμνουν τον περιγεγραμμένο του στα αντίστοιχα. Εχουμε: αφού τα τόξα τους βλέπουν ίσες γωνίες (ίσες με 90-Α). Ομοια και για τα άλλα. Ετσι, στο οι είναι διχοτόμοι, κι άρα συντρέχουν στο έγκεντρο του . Με άλλα λόγια, τα ύψη του συντρέχουν

Η απόδειξη αυτή υπάρχει σε πολλά μέρη. Σίγουρα στα παραπάνω αλλά και στο QUANTUM τεύχος
Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου 1999, σελίς 37.

Μ.

#116

Grigoris K. έγραψε:Καλησπέρα κ. Νίκο. Παραθέτω δύο ακόμη αποδείξεις που βρήκα χθες πριν τον ύπνο:

Απόδειξη 3: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκεντρο $\displaystyle{ O }$ και βαρύκεντρο $\displaystyle{ G }$ . Επίσης έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ H \equiv AD \cap OG }$ , όπου $\displaystyle{ AD }$ ύψος.
Ισχύει φανερά $\displaystyle{ AH \parallel OM }$ άρα από Θ. Θαλή προκύπτει ότι $\displaystyle{ \frac{HG}{GO} = \frac{AG}{GM} = 2 }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι τα ύψη $\displaystyle{ BE,CZ }$ διαιρούν εξωτερικά
το τμήμα $\displaystyle{ GO }$ στον ίδιο λόγο άρα τα τρία ύψη συντρέχουν στο $\displaystyle{ H }$ .

Απόδειξη 4: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκυκλο $\displaystyle{ (O) }$ και ύψη $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ . Έστω $\displaystyle{ P \equiv EZ \cap BC }$ . Το τετράπλευρο $\displaystyle{ BZEC }$ είναι εγγράψιμο
άρα ισχύει $\displaystyle{ PZ\cdot PE = PB \cdot PC }$ . Επομένως το $\displaystyle{ P }$ ανήκει στο ριζικό άξονα $\displaystyle{(\zeta) }$ των κύκλων $\displaystyle{ (O) }$ και $\displaystyle{ (DEZ) }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι τομές
$\displaystyle{ Q \equiv DZ \cap CA }$ και $\displaystyle{ R \equiv DE \cap AB }$ ανήκουν στο ριζικό άξονα $\displaystyle{ (\zeta) }$ . Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ \triangle DEZ }$ είναι προοπτικά ως προς άξονα, τον $\displaystyle{ (\zeta) }$ ,
άρα από το Θ. Desargues έπεται ότι είναι προοπτικά και ως προς κέντρο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ συντρέχουν που είναι και το ζητούμενο.

Αγαπητέ φίλε Grigoris K.
σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου, τη σωστή και ωραία απόδειξη σου με αριθμό 3.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με την 51 απόδειξή, που έχει δοθεί από τον φίλο teo, o οποίος ανέφερε ότι η απόδειξη αυτή είναι επινόηση του Euler.

Για την απόδειξή σου με αριθμό 4, θα σου απαντήσω αργότερα.
Ευχές …

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#117

Grigoris K. έγραψε:Καλησπέρα κ. Νίκο. Παραθέτω δύο ακόμη αποδείξεις που βρήκα χθες πριν τον ύπνο:

Απόδειξη 3: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκεντρο $\displaystyle{ O }$ και βαρύκεντρο $\displaystyle{ G }$ . Επίσης έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ H \equiv AD \cap OG }$ , όπου $\displaystyle{ AD }$ ύψος.
Ισχύει φανερά $\displaystyle{ AH \parallel OM }$ άρα από Θ. Θαλή προκύπτει ότι $\displaystyle{ \frac{HG}{GO} = \frac{AG}{GM} = 2 }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι τα ύψη $\displaystyle{ BE,CZ }$ διαιρούν εξωτερικά
το τμήμα $\displaystyle{ GO }$ στον ίδιο λόγο άρα τα τρία ύψη συντρέχουν στο $\displaystyle{ H }$ .

Απόδειξη 4: Έστω σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ \triangle ABC }$ με περίκυκλο $\displaystyle{ (O) }$ και ύψη $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ . Έστω $\displaystyle{ P \equiv EZ \cap BC }$ . Το τετράπλευρο $\displaystyle{ BZEC }$ είναι εγγράψιμο
άρα ισχύει $\displaystyle{ PZ\cdot PE = PB \cdot PC }$ . Επομένως το $\displaystyle{ P }$ ανήκει στο ριζικό άξονα $\displaystyle{(\zeta) }$ των κύκλων $\displaystyle{ (O) }$ και $\displaystyle{ (DEZ) }$ . Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι τομές
$\displaystyle{ Q \equiv DZ \cap CA }$ και $\displaystyle{ R \equiv DE \cap AB }$ ανήκουν στο ριζικό άξονα $\displaystyle{ (\zeta) }$ . Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{ \triangle ABC }$ και $\displaystyle{ \triangle DEZ }$ είναι προοπτικά ως προς άξονα, τον $\displaystyle{ (\zeta) }$ ,
άρα από το Θ. Desargues έπεται ότι είναι προοπτικά και ως προς κέντρο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ AD,BE,CZ }$ συντρέχουν που είναι και το ζητούμενο.

Αγαπητέ φίλε Grigoris K.
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
είναι γεγονός ότι με την παραπάνω απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την η πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη.

Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας εδώ.

Ακόμη θέλω να σημειώσω ότι το πρώτο μέλος της απόδειξής σου, που αναφέρεται στο ότι τα τρία ριζικά κέντρα P, Q, R , που αναφέρεις, είναι συνευθειακά, αναφέρεται αναλυτικά, στο βιβλίο. της Γεωμετρίας του Αναστασίου Σκιαδά σελίδα . Τούτο προφανώς δεν μειώνει καθόλου την αξία και την πρωτοτυπία της απόδειξής σου. Απλά το αναφέρω για να ανατρέξουν οι ενδιαφερόμενοι φίλοι και να δουν μια πιο λεπτομερή απόδειξή του πρώτου μέλους αυτής.

Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι για την ανεύρεση της ης απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την η.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#118

dimitris pap έγραψε:Θέλω κι εγώ να υποβάλλω μια απόδειξη που σκέφτηκα, αλλά επειδή δεν έχω διαβάσει όλες τις προηγούμενες αποδείξεις, θα με συγχωρέσετε αν έχει ξαναδιατυπωθεί!

Εστω ότι τα ύψη τέμνουν τον περιγεγραμμένο του στα αντίστοιχα. Εχουμε: αφού τα τόξα τους βλέπουν ίσες γωνίες (ίσες με 90-Α). Ομοια και για τα άλλα. Ετσι, στο οι είναι διχοτόμοι, κι άρα συντρέχουν στο έγκεντρο του . Με άλλα λόγια, τα ύψη του συντρέχουν

Αγαπητέ φίλε dimitris pap,
σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου, τη σωστή και ωραία απόδειξη σου.

Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με την απόδειξή, που έχει δοθεί από τον υποφαινόμενο. Την απόδειξη αυτή θεωρώ δική μου, μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου, καθώς:

Ιστορικό της Απόδειξης αυτής.
-Την επινόησα το .
-Την την έστειλα με επιστολή μου στην ΕΜΕ για δημοσίευση στο περιοδικό Ευκλείδης Β, με άλλες τέσσερες αποδείξεις μου.
-Το την δημοσιεύω στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» τόμος , παράγραφος $4\eta \left(121 \right)$ .
-Τον Νοέμβριο του , την είδα γραμμένη στο περιοδικό Quantum, όπως και ο φίλος Μιχάλης αναφέρει.
-Τέλος την , με επιστολή μου την στέλνω, μαζί με άλλες αποδείξεις, στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» (της Χαλκίδας), στο οποίο και δημοσιεύονται στο Τεύχος 10/2001 σελίδα .
Ευχές…

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#119

Όπως ανέφερα εδώ, βάζω μία απόδειξη ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Είναι από την Γεωμετρία του Hofmann, Teutscher Euclides, σελίδες 66-68, που εκδόθηκε το 1653

στα Γερμανικά. Μπορείτε να δείτε αντίτυπο του βιβλίου εδώ. Προσοχή, είναι γραμμένο σε γοτθικό αλφάβητο, όπως συνηθιζόταν τότε.

Σχεδόν όλες οι αποδείξεις του θεωρήματος στο παρόν θρεντ υπάρχουν στα παλιά και παμπάλαια βιβλία, στα οποία βρίσκει κανείς και άλλες ακόμη, όπως αυτή που ακολουθεί. Είναι πολλή δουλειά να δώσω μία προς μία τις παραπομπές (και έχω αργό ιντερνέτ), αλλά θα το κάνω για τις σημαντικότερες στην επικείμενη ομιλία μου (βλέπε τον παραπάνω σύνδεσμο).

Αντιγράφω από τον Hofmann:

Φέρνουμε τα ύψη AD, CE

του τριγώνου ABC

τα οποία τέμνονται στο

. Θα δείξουμε ότι το

είναι κάθετο στην

.

Φέρνουμε από τα F,B

τις παράλληλες NO, LM

προς την βάση

. Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα AIC, ACH

είναι όμοια, όπως επίσης τα ACK, ACG

. Άρα

$\frac {AI}{AC}= \frac {AC}{AH}$ και $\frac {CK}{AC}= \frac {AC}{AG}$ .

Με διαίρεση κατά μέλη των δύο έπεται

$\frac {AI}{CK}= \frac {AC}{AH}$ και $\frac {CK}{AC}= \frac {AG}{CH}$ .

Αλλά το μεν $\frac {AI}{CK}= \frac {FN}{FO}$ και το $\frac {AG}{CH}= \frac {BL}{BM}$ .
Άρα $\frac {FN}{FO}= \frac {BL}{BM}$ , οπότε και (προσθέτουμε τον αριθμητή στον παρονομαστή) είναι
$\frac {FN}{NO}= \frac {BL}{LM}$ .

Αλλά NO=LM

, οπότε

. Έπεται ότι το NFBL

έχει τις

ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Ειδικά η

είναι παράλληλη της

και άρα κάθετη στην

, όπως θέλαμε.

(αμέσως από κάτω από το σχήμα που ακολουθεί βάζω ένα pdf με δύο σχετικές σελίδες από το εν λόγω βιβλίο του Hofmann)

#120

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Την απόδειξη αυτή θεωρώ δική μου, μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου, καθώς:

Όπως έχω αναφέρει πολλές φορές, τις περισσότερες (αν όχι όλες) αποδείξεις στο παρόν θρεντ τις έχω εντοπίσει σε παλιά βιβλία, αρχίζοντας στην αρχαιότητα.

Πιστέψτε με ότι έχω κάνει ΤΕΡΑΣΤΙΟ ψάξιμο στις παλιές Γεωμετρίες, εννοώ βιβλία τουλάχιστον 300 ετών, σκαλίζοντας μεγάλο αριθμό σημαντικών Βιβλιοθηκών (Λονδίνο, Οξφόρδη, Παρίσι, Βενετία και λοιπά και λοιπά). Και αυτά σχετικά με την έρευνά μου για το Ορθόκεντρο αλλά όχι μόνο (ασχολούμαι παράλληλα και με άλλα ιστορικά θέματα της Γεωμετρίας, αλλά δεν είναι της ώρας). Τα κύρια αποτελέσματα για το Ορθόκεντρο θα τα ανακοινώσω στην επικείμενη ομιλία μου.

Οι Γεωμετρίες του 17ου και 18ου αιώνα είναι αληθινό χρυσορυχείο, και οποιοσδήποτε ισχυρισμός για προτεραιότητα στις αποδείξεις θεωρημάτων ερήμην των πηγών και της πλουσιότατης βιβλιογραφίας, είναι επισφαλής.

Ένα άλλο χρυσορυχείο πηγών είναι τα άρθρα από τα μέσα του 19ου αιώνα σε περιοδικά όπως τα Νouvelles Αnnales de Μathématiques, Annales de Gergone, Mathesis, American Mathematical Monthly, Quarterly Journal of Mathematics και μύρια άλλα.

Στο θέμα μας:

Η παραπάνω απόδειξη υπάρχει σε ΠΟΛΛΑ σημεία προ 150 και βάλε ετών. Για παράδειγμα υπάρχει σε άρθρο του Davies στο Philosophical Magazine έτους 1827, σελίς 29 (το άρθρο αρχίζει στην σ. 26 ενώ το σχήμα είναι στο τέλος του τόμου). Βλέπε

http://www.biodiversitylibrary.org/item ... 9/mode/1up

Ο ίδιος ο Davies αναφέρεται εκ νέου σε αυτήν σε άλλο άρθρο του το 1850, σελίς 206-207 του ιδίου περιοδικού.

Επίσης η απόδειξη υπάρχει σε άρθρο του Mackey τον 19 αιώνα και σε άλλες πηγές, Γαλλικές και Γερμανικές.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 67η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 68η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 68η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 69η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ

Μέλη σε σύνδεση