Κύκλος και χορδές !

[Μπάμπης Στεργίου]

Από σημείο Ρ εντός κύκλου φέρνουμε 3 χορδές που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 60 μοιρών και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α,Β, Γ,Δ,Ε,Ζ έτσι ώστε τα σημεία αυτά να βρίσκονται στον κύκλο με αυτή τη σειρά.
Να αποδειχθεί ότι ΡΑ + ΡΓ + ΡΕ = ΡΒ + ΡΔ + ΡΖ

Μπάμπης

[kritikos]

Στην ουσία το Ρ είναι το σημείο Fermat-Steiner για τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΒΔΖ ( Αφού η ΡΑ , η ΡΓ και η ΡΕ σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 120 μοιρών όμοια και οι ΡΒ ,ΡΔ και ΡΖ) .

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Aν Κ, Λ, Μ τα μέσα των ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ, (βρίσκονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΟΡ) τότε ισχύει ΡΚ+ΡΜ=ΡΛ (βλ. 4ο θέμα Αρχιμήδη μεγάλων 2009)

[Μπάμπης Στεργίου]

Aν Κ, Λ, Μ τα μέσα των ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ, (βρίσκονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΟΡ) τότε το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο , οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Van Schooten ισχύει ΡΚ+ΡΜ=ΡΛ

Ανδρέα !

Αυτή ακριβώς τη λύση έχω και γω. Πρόκειται για εξαιρετική εφαρμογή του θεωρήματος Van Schooten που δε λέει τίποτα άλλο παρά αυτό του έγραψες πιο πάνω !

Μπάμπης

[Γιώργος Ρίζος]

Είχα κάνει το σχήμα, αλλά δίχως την καθοδήγηση των υποδείξεων των Ανδρέα και Μπάμπη, δεν είχα καταφέρει να τη λύσω.

Δίνω πλήρη απάντηση, αποδεικνύοντας και το θεώρημα Van Schooten.
(Αν κάποιος γνωρίζει καλύτερα, ας ελέγξει την απόδειξη...)

Kyklos II.png (44.56 KiB) Προβλήθηκε 2665 φορές

Aν Κ, Λ, Μ τα μέσα των ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ, (βρίσκονται πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΟΡ), το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο τότε ισχύει ΡΚ + ΡΜ = ΡΛ, σύμφωνα με το θεώρημα Van Schooten.
Aνδρέας Βαρβεράκης, Μπάμπης Στεργίου

Πράγματι, οι ΟΚ, ΟΛ, ΟΜ είναι αποστήματα στις ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ αντίστοιχα, άρα τα Κ, Λ, Μ βλέπουν υπό ορθή γωνία την ΟΡ, άρα είναι σημεία του κύκλου με διάμετρο ΟΡ.
Είναι ∠ΛΡΚ = ∠ΛΜΚ = 60°, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο. Ομοίως, ∠ΛΡΜ = ∠ΛΚΜ = 60°, άρα ΚΜΛ ισόπλευρο.


Απόδειξη θεωρήματος Van Schooten

Kyklos IIΙ.png (33.75 KiB) Προβλήθηκε 2666 φορές

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο ΚΡΜΛ είναι:
ΡΛ∙ΜΚ = ΡΜ∙ΚΛ + ΡΚ∙ΜΛ ή ΡΛ = ΡΜ + ΡΚ, αφού ΜΚ = ΚΛ = ΜΛ.

Οπότε: ΡΑ + ΡΓ + ΡΕ = ΡΑ + ΡΓ + ΡΛ +ΛΕ =(ΡΑ + ΡΚ) + (ΡΓ + ΡΜ) +ΛΕ = ΑΔ/2 + ΓΖ/2 + ΒΕ/2 = ΡΒ + ΡΔ + ΡΖ.

Γιώργος Ρίζος

[rek2]

Μια χωρίς λόγια απόδειξη, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι τα δύο μεγάλα τρίγωνα είναι ιαόπλευρα και ίσα…

60-60-601.PNG (41.84 KiB) Προβλήθηκε 1823 φορές

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

ΠΟΛΥ ΩΡΑΙΑ Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΟΥ!
(Από τις αποδείξεις που πρέπει πάντα να αναζητά κανείς)
Ομολογώ πως αρχικά πήγε σε κάτι τέτοιο το μυαλό μου αλλά δεν μπόρεσα να το ολοκληρώσω. Όσον αφορά στην απόδειξη μου, παρόμοια ιδέα είχα χρησιμοποιήσει στο (γνωστό νομίζω) "Θεώρημα της πίτσας".

[rek2]

Χαίρομαι που άρεσε η απόδειξη, κυρίως γιατί σκεφτόμουν να μη την ανεβάσω!
Για όποιον ενδιαφέρεται, υπάρχει συνημμένο σε eogebra.
(αν μπορεί κάποιος διαχειριστής ας βάλει το σχήμα σε μικρότερες διαστάσεις)
Να είσαι καλά!

[p_gianno]

Καλησπέρα
Στο συνημμένο έχω μια απόδειξη στο ίδιο μήκος κύματος με την προηγούμενη.

[mathfinder]

Γεια και χαρά σε όλους
Στο συνημμένο άλλη μία λύση (αν δεν μου ξέφυγε τίποτα) στην εξαιρετική άσκηση που πρότεινε ο Μπάμπης .
Αθ . Μπεληγιάννης