Κατασκευή τριγώνων

S.E.Louridas · #1

Δίνεται τρίγωνο ΔΕΖ.
Να προσδιορίσετε το πλήθος των ΚΑΤΑΣΚΕYAΣΙΜΩΝ τριγώνων ΑΒΓ με Δ,Ε,Ζ εσωτερικά σημεία αντίστοιχα των πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ, γωνΑ=2γωνΓ (<Α=2<Γ) και με την πλευρά ΑΓ ίση με δοθέν ευθύγραμμο τμήμα,έστω λ.

S.E.Louridas

#2

Ξεχασμένη από τα παλιά... :trial1:

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle DEZ$ και ζητείται να προσδιοριστεί το πλήθος των κατασκευάσιμων τριγώνων $\vartriangle ABC$ με $D,\ E,\ Z,$ εσωτερικά σημεία των πλευρών $BC,\ AC,\ AB$ αντιστοίχως, με $\angle A = 2\angle C$ και $AC = \lambda$ , όπου $\lambda$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

Έστω ότι έχει κατασκευαστεί ένα τρίγωνο $\vartriangle ABC$ ώστε να ισχύουν τα ζητούμενα της εκφώνησης.

Από έστω $\angle C = \angle \omega$ και $\angle A = 2\angle \omega$ έχουμε ότι τα σημεία $A,\ C,$ ανήκουν σε σταθερούς κύκλους έστω $(K),\ (L)$ , με χορδές τα σταθερά τμήματα $EZ,\ DE$ αντιστοίχως.

Έστω $M,\ N,$ τα μέσα των $AE,\ EC$ αντιστοίχως, ως οι προβολές των κέντρων $K,\ L$ των κύκλων $(K),\ (L)$ αντιστοίχως επί της ευθείας

και προφανώς ισχύει $\displaystyle MN = \frac{AC}{2} = \frac{\lambda}{2}\ \ \ ,(1)$ όπου $\lambda$ είναι το δοθέν τμήμα.

Έστω K',

η προβολή του

επί της

και από $\displaystyle KK'\parallel = MN = \frac{\lambda}{2}$ και $\angle KK'L = 90^{0},$ προκύπτει ότι το σημείο

είναι σταθερό, ως το σημείο τομής του κύκλου έστω (O)

με διάμετρο το τμήμα

, από τον κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα ίση με $\displaystyle \frac{\lambda}{2}$ και προκύπτει η ακόλουθη κατασκευή :

: Κατασκευή τριγώνων.; f=112_t=8073.PNG (36.24 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

$\bullet$ Στο εξωτερικό μέρος του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle DEZ,$ προσδιορίζουμε τυχόντα σημεία $P,\ Q,$ ώστε να είναι $\angle EPZ = 2\angle \omega$ και $\angle EQD = \angle \omega.$

Γράφουμε τους περίκυκλους έστω $(K),\ (L)$ των τριγώνων $\vartriangle PEZ,\ \vartriangle QDE$ αντιστοίχως και έστω (O),

ο κύκλος με διάμετρο το KL,

όπου $K,\ L$ είναι τα κέντρα των $(K),\ (L),$ αντιστοίχως.

Με κέντρο το

και ακτίνα ίση με $\displaystyle \frac{\lambda}{2}$ , όπου $\lambda$ το δοθέν τμήμα, γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τον (O)

στο σημείο έστω

.

Δια του σημείου

φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την KK',

η οποία τέμνει τους κύκλους $(K),\ (L)$ στα σημεία έστω $A,\ C,$ αντιστοίχως.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι στο τρίγωνο $\vartriangle ABC,$ όπου $B\equiv AZ\cap CD,$ ισχύουν $\angle A = 2\angle \omega$ και $\angle C = \angle \omega$ και $AC = 2KK' = \lambda$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

$\bullet$ Εάν $\displaystyle KL > \frac{\lambda}{2}$ ,το πρόβλημα έχει δύο λύσεις, καθώς ο κύκλος με κέντρο το

και ακτίνα ίση με $\displaystyle \frac{\lambda}{2}$ , τέμνει επίσης τον (O)

στο σημείο έστω

και η δια του

παράλληλη ευθεία προς την LL',

τέμνει τους κύκλους $(K),\ (L)$ στα σημεία $A',\ C'$ αντιστοίχως και για το τρίγωνο $\vartriangle A'B'C',$ όπου $B'\equiv A'Z\cap C'D,$ ισχύουν τα ζητούμενα της εκφώνησης και τα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C'$ είναι ίσα ( προφανές ).

Εάν $\displaystyle KL = \frac{\lambda}{2}$ ,το πρόβλημα έχει μία λύση.

Εάν $\displaystyle KL < \frac{\lambda}{2}$ ,το πρόβλημα δεν έχει λύση.

$\bullet$ Έχει θεωρηθεί ότι $\angle A + \angle C = 3\angle \omega < 180^{o}\ \Rightarrow$ $\angle \omega < 60^{o},$ γιατί εάν $\angle \omega = 60^{o}$ τότε $AZ\parallel CD$ και συμβατικά υπάρχει τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , με το

σημείο στο άπειρο ( = κατά εκδοχή σημείο τομής των $AZ\parallel CD$ ).

Επίσης, εάν $\angle \omega > 60^{ο}$ ,τότε υπάρχει τρίγωνο $\vartriangle ABC,$ αλλά δεν είναι όλες οι κορυφές του δοσμένου $\vartriangle DEZ$ , εσωτερικά σημεία των πλευρών του $\vartriangle ABC.$

Κώστας Βήττας.

S.E.Louridas · #3

Καλημέρα.
Ακριβώς Κώστα και επειδή τέτοιες γωνίες $\angle \omega$ υπάρχουν άπειρες σε συνδυασμό με τις δέουσες σχέσεις κατασκευής μεταξύ των

και $\;\lambda$ τέτοια κατασκευάσιμα τρίγωνα δυνατόν να υπάρχουν άπειρα, μία τελική απάντηση στην οποία στόχευε και το πρόβλημα αυτό.

Κατασκευή τριγώνων

Κατασκευή τριγώνων

Re: Κατασκευή τριγώνων

Re: Κατασκευή τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση