Βρείτε το εμβαδόν (3)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται Ε σημείο τομής των κάθετων τμημάτων ΑΓ και ΒΔ, $\Gamma \Delta = 8\sqrt 2$ , ${\rm A}\widehat{\rm B}\Delta = x$ , ${\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = 2x$ , ${\rm A}\widehat\Gamma \Delta = y$ και $\Gamma \widehat{\rm B}\Delta = 2y$ . Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ.

: area3.jpg (94.67 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

kostas136 · #2

Ισχύει $2x+2y=90^\circ$ από το ορθογώνιο $BE\Gamma.$ Άρα $x+y=45^\circ.$ Αυτό σημαίνει ότι $E\hat{\Delta }\Gamma =45^\circ+x$ (στο ορθογώνιο $E\Delta \Gamma$ ) και $B\hat{A}E=45^\circ+y$ (στο ορθογώνιο BAE

). Άρα $B\Delta =B\Gamma$ από $45^\circ+x=2x+y$ και $A\Gamma =B\Gamma$ από $x+2y=45^\circ+y$ . Το ζητούμενο εμβαδό θα είναι $\displaystyle E=\frac{A\Gamma \times \Delta E}{2}=\frac{B\Delta \times \Delta E}{2}=\frac{(BE+E\Delta )\times E\Delta }{2}=\frac{BE\times E\Delta +E\Delta ^{2}}{2}.$ Αλλά $\displaystyle B\Gamma =B\Delta \Rightarrow B\Gamma ^{2}=B\Delta ^{2}\Rightarrow BE^{2}+E\Gamma ^{2}=BE^{2}+2BE\times E\Delta +E\Delta ^{2}\Rightarrow E\Gamma ^{2}=2BE\times E\Delta +E\Delta ^{2}\Rightarrow E\Gamma ^{2}+E\Delta ^{2}=2BE\times E\Delta +2E\Delta ^{2}\Rightarrow (8\sqrt{2})^{2}=4\times E\Rightarrow E=32$

Έκανα 2 επεξεργασίες κοιτάζοντας τα posts φίλων ώστε να μάθω πώς γράφονται οι μοίρες. Πού θα πάει, θα το μάθουμε καλύτερα το latex.

#3

Μια διαφορετική λύση από την όμορφη και ταχύτατη λύση του Κώστα. Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί το ίδιο σχήμα.

Μιχάλη, το έφερα .... τούμπα γιατί στραβολαίμιασα κοιτώντας το αρχικό σχήμα σου

: 02-07-2010 Geometry.png (30.85 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Στο ΒΕΓ είναι $\displaystyle 2x + 2y = 90^\circ \; \Rightarrow \;y = 45^\circ - x$ . Σημειώνουμε τις γωνίες (συναρτήσει του x) στο σχήμα. Είναι ΑΓ = ΒΓ και ΒΔ = ΒΓ, οπότε ΒΔ =ΑΓ.

Έστω ΒΓ = ΑΓ = ΒΔ = α. Από Ν. Συνημιτόνων στο ΒΓΔ:
$\displaystyle 128 = 2\alpha ^2 \left( {1 - \sigma \upsilon \nu \left( {90^\circ - 2x} \right)} \right)\; \Leftrightarrow \;128 = 2\alpha ^2 \left( {1 - \eta \mu 2x} \right)\;$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;64 = \alpha ^2 \left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)^2 \; \Leftrightarrow \;8 = \alpha \left( {\sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;\;\eta \mu \left( {45^\circ - x} \right) = \frac{8}{{\alpha \sqrt 2 }}$
Αφού 0° < x < 45° είναι ημx < συνx.
Στο ΓΕΔ είναι $\displaystyle \eta \mu \left( {45^\circ - x} \right) = \frac{{\Delta {\rm E}}}{{8\sqrt 2 }}$ άρα $\displaystyle \frac{{\Delta {\rm E}}}{{8\sqrt 2 }} = \frac{8}{{\alpha \sqrt 2 }}\; \Leftrightarrow \;\alpha \cdot\Delta {\rm E} = 64\; \Leftrightarrow \;\frac{{\alpha \cdot \Delta {\rm E}}}{2} \Leftrightarrow \;\left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) = 32$

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #4

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις (είμαι σίγουρος ότι υπάρχουν κι άλλες) και Γιώργο... sorry για το στραβολαίμιασμα.

Να δώσω μια και εγώ.

Εφόσον $2x + 2y = {90^ \circ } \Leftrightarrow 4x + 4y = {180^ \circ }$ , αποδεικνύεται εύκολα ότι ${\rm B}\widehat\Delta \Gamma = 2x + y$ και ${\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma = x + 2y$ . Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα ${\rm B}\Gamma \Delta$ και $\Gamma {\rm A}{\rm B}$ είναι ισοσκελή με ${\rm B}\Delta = {\rm B}\Gamma = \Gamma {\rm A}$ . Φέρνω το συμμετρικό του τριγώνου ${\rm A}\Gamma \Delta$ ως προς ΓΔ. Τα τρίγωνα ${\rm A}\Gamma {\rm Z}$ και ${\rm B}\Delta \Gamma$ είναι ίσα (Π-Γ-Π). Άρα ${\rm A}{\rm Z} = \Gamma \Delta = 8\sqrt 2$ και λόγω συμμετρίας ${\rm A}{\rm H} = 4\sqrt 2$ .
Από το τρίγωνο ${\rm A}\Gamma \Delta$ έχουμε ότι:
${\rm E} = \displaystyle\frac{{\Gamma \Delta \cdot {\rm A}{\rm H}}}{2} = \displaystyle\frac{{8\sqrt 2 \cdot 4\sqrt 2 }}{2} = 32\tau .\mu .$

: area3-sol.jpg (43.66 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

kostas136 · #5

Καταπληκτική λύση Μιχάλη, πραγματικά σε ευχαριστούμε.

Βρείτε το εμβαδόν (3)

Βρείτε το εμβαδόν (3)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (3)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (3)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (3)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (3)

Μέλη σε σύνδεση