Βρείτε το εμβαδόν (4)

Ιστοσελίδα · #1

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ δίνεται ΑΖ=3, ΓΔ=4, ΒΖ και ΒΔ διχοτόμοι των γωνιών ${\rm A}\widehat{\rm B}{\rm E}$ και ${\rm E}\widehat{\rm B}\Gamma$ αντίστοιχα. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΖ.

: area4.jpg (109.28 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

#2

Μιχάλη, βρίσκω εμβαδόν=15 (είναι τόσο ή μου έχει ξεφύγει κάτι ; ) ,περπατώντας στην τριγωνομετρική οδό
αν δε βρω κάτι πιο κομψό θα γράψω αυτό που έχω

#3

Δεν το πιστεύω! Εγώ παλεύω γεωμετρικά και η Φωτεινή κόβει δρόμο από τα μονοπάτια της τριγωνομετρίας...

Ίσως να έκανα άσκοπες βόλτες..., αλλά πάντως έφτασα στο 15 της Φωτεινής, δίχως ούτε ένα ημιτονάκι...

: 16-07-2010 Geometry b.png (98.06 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Από Θ. Διχοτόμων στο ΑΒΕ: $\displaystyle \frac{{ZE}}{3} = \frac{{BE}}{{AB}}$ (1)

Από Θ. Διχοτόμων στο ΒΕΓ: $\displaystyle \frac{{E\Delta }}{4} = \frac{{BE}}{{B\Gamma }}$ (2)

Άρα $\displaystyle \frac{{E\Delta }}{4} = \frac{{{\rm Z}{\rm E}}}{3}$ . Οπότε $\displaystyle {\rm E}\Delta = \frac{4}{7}\Delta {\rm Z}\;\;\;\;(3),\;\;\;\;\;{\rm Z}{\rm E} = \frac{3}{7}\Delta {\rm Z}\;\;\;(4)$

Είναι: $\displaystyle {\rm A}{\rm E} = 3 + \frac{3}{7}\Delta {\rm Z} = \frac{{3\left( {7 + \Delta {\rm Z}} \right)}}{7} = \frac{3}{7}{\rm A}\Gamma$
και $\displaystyle {\rm E}\Gamma = 4 + \frac{4}{7}\Delta {\rm Z} = \frac{{4\left( {7 + \Delta {\rm Z}} \right)}}{7} = \frac{4}{7}{\rm A}\Gamma$

Έστω Κ το μέσο του ΑΓ.
Αν ΑΓ = x, τότε $\displaystyle {\rm A}E = \frac{3}{7}x\; \Rightarrow \;EK = \frac{1}{2}x - \frac{3}{7}x = \frac{1}{{14}}x$

Ακόμα, είναι $\displaystyle BK = \frac{1}{2}x$ , οπότε στο ορθογώνιο ΒΕΚ είναι:
$\displaystyle BE^2 = \frac{{x^2 }}{{196}} + \frac{{x^2 }}{4} = \frac{{50x^2 }}{{196}}\; \Rightarrow \;BE = \frac{{5\sqrt 2 }}{{14}}x$

Από την (1) είναι $\displaystyle ZE = \frac{{3BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{{15\sqrt 2 x}}{{14}}}}{{\frac{x}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{15}}{7}$

και από την (2) είναι: $\displaystyle E\Delta = \frac{{4BE}}{{AB}} = \frac{{\frac{{20\sqrt 2 x}}{{14}}}}{{\frac{x}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{20}}{7}$

Άρα ΔΖ = 5, οπότε ΑΓ = 12 και ΒΚ = 6, άρα (ΒΔΖ) = 15.

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #4

Στρέφουμε το τργΒΔΓ κατά 90ο στη θέση ΒΗΑ. Τότε τργΗΑΖ ορθογώνιο ---- > ΗΖ=5.
Από π-γ-π *** προκύπτει εύκολα ότι τργΗΒΖ=ΔΒΖ --- > ΖΔ=5 ---- >ΑΓ=12 από Πυθαγόρειο --- >
B $\Gamma ^2$ =72 --- > (ΑΒΓ)=36
Τργ ΒΑΓ και ΔΒΖ ισοϋψή άρα (ΔΒΖ ) / (ΒΑΓ) = ΖΔ/ΑΓ ή (ΔΒΖ ) / 36 = 5/12 ή (ΔΒΖ )=15

***γωνΗΒΖ=45ο = γωνΖΒΔ

Ιστοσελίδα · #5

Ήμουνα σίγουρος ότι με τον math_finder (δεν γνωρίζω το όνομα...) θα είχα την ίδια λύση. Την ανεβάζω μόνο και μόνο για τον κόπο που έκανα...
Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση.

: area4-sol.jpg (72.98 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Δημήτρης Μυρογιάννης · #6

Μια λυση και απο εμενα....

: εμβαδον.PNG (72.13 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Βρείτε το εμβαδόν (4)

Βρείτε το εμβαδόν (4)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (4)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (4)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (4)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (4)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (4)

Μέλη σε σύνδεση