Σημείου προσδιορισμός

S.E.Louridas · #1

Έστω γωνία xOy και δύο σημεία Α, Β στο εσωτερικό της.
Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί (κατασκευαστικά) σημείο C της Οx ώστε :
$OD \cdot OE = OC^2 - CD^2 ,$ όταν $\ D \equiv CA \cap Oy,E \equiv CB \cap Oy;$

S.E.Louridas

Ανδρέας Πούλος · #2

Ίσως είναι ειδική περίπτωση, αλλά βρήκα ότι αν η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην Οψ,
τότε το ζητούμενο σημείο C είναι το σημείο τομής της ΑΒ με την Οχ.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #3

Ναί φίλε Ανδρέα είναι ειδική, αποδεκτή περίπτωση.
Ομως έχουμε την γενικώτερη λύση και όταν η ΑΒ δεν είναι κάθετη στην πλευρά που αναφέρεις.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #4

Επειδή πιστεύουμε βαθύτατα, όπως εξ' άλλου και οι Μεγάλοι Μαθηματικοί που διαχειρίζονται τους διεθνείς Μαθηματικούς διαγωνισμούς (Αντρέσκου, Γκούτζμα, Μπεκεάνου, Γκρόστεφ ....) οτι η ενασχόληση με την ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ προπονεί
τον ΝΟΥ * για να φτάσει σε ψηλά επίπεδα απόδoσης γενικώτερα στα Μαθηματικά, τουλάχιστον γιά τους διαγωνισμούς αυτούς
( δυστυχώς κάποιοι αισθάνονται άβολα με τέτοιες απόψεις και είναι κατανοητό αφού......) ας μου επιτραπεί να δώσω μία υπόδειξη πρίν ανέβει η λύση.
Αρκεί να κατασκευαστεί σημείο C της Ox ώστε το τρίγωνο CDE να είναι ισοσκελές.

* νομίζω ότι τουλάχιστον ο φίλος μου ο Μπάμπης συμφωνεί

S.E.Louridas

dimitris pap · #5

Μετα από αρκετή ενασχόληση με το πρόβλημα δεν κατάφερα να βρω μια λύση...

Η προσέγγιση μου είχε ως εξής:

Ηξερα ότι ψάχνουμε σημείο

της

ώστε η διχοτομος της ACB

είναι κάθετη στη δοσμένη ευθεία

. Εφερα παράλληλες απ' τα A,B

προς την

και μια κάθετη

απ' το

στην

. Πλέον αυτό που έψαχνα ήταν σημεία A', B'

επί των 2 παραλλήλων αντίστοιχα, ώστε A'B'//AB

και

διχοτόμος της A'OB'

.
Αν τα έβρισκα αυτά τότε λόγω των παραλληλογράμμων που σχηματίζονταν θα έβρισκα και το

αφού

και

.

Πάντως δεν βρήκα κάποια λύση σε αυτό (ίσως κιόλας να το έμπλεξα περισσότερο αντί να το απλοποιήσω) οπότε σας ζητώ κύριε Λουρίδα αν μπορείτε να βάλετε τη λύση σε αυτό το ωραίο πρόβλημα!

S.E.Louridas · #6

Μέχρι να ανεβάσω την λύση και επειδή αυτό το καιρό έχω λίγο χρόνο αφού οι διακοπές τέλειωσαν,άν κάποιος επιθυμεί μπορεί να δεί την λύση στο mathlinks.ro στην στήλη των Ολυμπιάδων στά προτεινόμενα προβλήματα Γεωμετρίας όπου έχω προτείνει και εκεί το πρόβλημα (πιό πρίν από εδώ) κάτω από τον τίτλο Original Geo.problem.
Και βέβαια στο mathematica δεν επιθυμώ να αντιγράψω την λύση μου από εκεί χωρίς να την μεταφράσω στα Ελληνικά.

Ευχαριστώ

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #7

Για να ισχύει η δεδομένη σχέση θα πρέπει :
$OC > CD \Rightarrow \mathop {COD}\limits^ \wedge < \frac{\pi } {2}.$
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
${\rm O}{\rm A} \leqslant {\rm O}{\rm B},$
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο σημείο C. Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε κύκλο κέντρου C και ακτίνας CD που να τέμνει την Oy σε σημείο E΄. Τότε:
$OD \cdot OE{'} = OC^2 - CD^2 \Rightarrow E{'} \equiv E.$
Τελικά ζητάμε ένα σημείο C της Ox έτσι που το τρίγωνο
$\mathop {CDE}\limits^\vartriangle$
να είναι ισοσκελές (πάμε δηλαδή σε δύναμη σημείου). Έστω Α΄ το συμμετρικό του A ως προς την Ox.
$\mathop {CDE}\limits^ \wedge = a + \mathop {OCD}\limits^ \wedge = \frac{{\pi - \mathop {DCE}\limits^ \wedge }} {2}\;\left( {a = \mathop {xOy}\limits^ \wedge ,cons\tan t} \right),$ έτσι
$\;2a + 2\mathop {OCD}\limits^ \wedge = \pi - \mathop {DCE}\limits^ \wedge \Rightarrow$
$2\mathop {OCD}\limits^ \wedge + \mathop {DCE}\limits^ \wedge = \pi - 2a\;\left( {cons\tan t} \right) \Rightarrow \mathop {A{'} CA}\limits^ \wedge + \mathop {ACB}\limits^ \wedge = \pi - 2a\;\left( {cons\tan t} \right).$
Οπότε το σημείο C γράφει σταθερό τόξο , καθότι τα σημεία Α΄, B είναι σταθερά και
$\mathop {A{'} CB}\limits^ \wedge = \pi - 2a.$
Άρα το σημείο C είναι κατασκευάσιμο στην περίπτωση που
$\mathop {xOy}\limits^ \wedge < \frac{\pi } {2}.$

Σημείου προσδιορισμός

Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Re: Σημείου προσδιορισμός

Μέλη σε σύνδεση