Συλλέκτης πολύτιμων λίθων
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Συλλέκτης πολύτιμων λίθων
Για να ξεσπάσετε το θυμό σας, όταν δεν καταφέρνετε να λύσετε μια άσκηση, καταφεύγετε στο αγαπημένο σας shoot ‘em up βιντεοπαιχνίδι, όπου ξεσπάτε σκοτώνοντας τέρατα, κερδίζοντας πολύτιμους λίθους. Κάθε φορά που σκοτώνετε ένα τέρας, κερδίζετε έναν πολύτιμο λίθο, από τρία είδη λίθων: είτε έναν κοινό, είτε έναν ασυνήθιστο, είτε ένα σπάνιο. Οι πιθανότητες είναι σε αναλογία , δηλαδή τρεις κοινοί για κάθε δύο ασυνήθιστους για κάθε ένα σπάνιο πολύτιμο λίθο, κατά μέσο όρο. Επειδή όμως η άλυτη άσκηση δε φεύγει από το μυαλό σας, έχετε αποφασίσει τα διαλείμματα για εκτόνωση να είναι μικρά. Έτσι κάθε φορά παίζετε μέχρι να συλλέξετε τουλάχιστον έναν πολύτιμο λίθο από κάθε είδος και τότε διακόπτετε το παιχνίδι. Με πόσους κοινούς πολύτιμους λίθους καταλήγετε, κατά μέσο όρο;
Η διατύπωση του προβλήματος δεν είναι δικιά μου.
Η διατύπωση του προβλήματος δεν είναι δικιά μου.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συλλέκτης πολύτιμων λίθων
Μια λύση.
Έστω οι πιθανότητες να κερδίσουμε κοινό, ασυνήθιστο και σπάνιο λίθο αντίστοιχα. Από τα δεδομένα
του προβλήματος έχουμε:
Ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. όπου
αν κερδίσουμε κοινό λίθο, με πιθ.
αν κερδίσουμε ασυνήθιστο λίθο, με πιθ.
αν κερδίσουμε σπάνιο λίθο, με πιθ.
Επίσης, ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. η οποία καταμετρά το πλήθος των διαφορετικών λίθων που έχουμε στη διάθεσή μας μέχρι τη δοκιμή . Προφανώς,
Θα βρούμε πρώτα τον αναμενόμενο αριθμό δοκιμών μέχρι να σταματήσουμε. Έπειτα θα πολλαπλασιάσουμε αυτόν με την και το αποτέλεσμα θα είναι ο ζητούμενος Μ.Ο. . Για το σκοπό αυτό ορίζουμε (τρίτη και τελευταία) την τ.μ.
H είναι ο αριθμός δοκιμών που χρειάζεται μέχρι να σταματήσουμε. Έχουμε λοιπόν ότι για και για
.
Επομένως
Άρα ο ζητούμενος μέσος όρος είναι
Έστω οι πιθανότητες να κερδίσουμε κοινό, ασυνήθιστο και σπάνιο λίθο αντίστοιχα. Από τα δεδομένα
του προβλήματος έχουμε:
Ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. όπου
αν κερδίσουμε κοινό λίθο, με πιθ.
αν κερδίσουμε ασυνήθιστο λίθο, με πιθ.
αν κερδίσουμε σπάνιο λίθο, με πιθ.
Επίσης, ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. η οποία καταμετρά το πλήθος των διαφορετικών λίθων που έχουμε στη διάθεσή μας μέχρι τη δοκιμή . Προφανώς,
Θα βρούμε πρώτα τον αναμενόμενο αριθμό δοκιμών μέχρι να σταματήσουμε. Έπειτα θα πολλαπλασιάσουμε αυτόν με την και το αποτέλεσμα θα είναι ο ζητούμενος Μ.Ο. . Για το σκοπό αυτό ορίζουμε (τρίτη και τελευταία) την τ.μ.
H είναι ο αριθμός δοκιμών που χρειάζεται μέχρι να σταματήσουμε. Έχουμε λοιπόν ότι για και για
.
Επομένως
Άρα ο ζητούμενος μέσος όρος είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες