Κορώνα ή γράμματα

Energy Engineer · #1

Κάνουμε το εξής πείραμα:

Ρίχνουμε το νόμισμα 100 φορές και μετράμε:
α) Πόσες φορές ήρθε η κορώνα
β) Πόσες φορές ήρθε η πλειοψηφία

Αυτό το κάνουμε άπειρες φορές.

Την πρώτη φορά, η κορώνα ήρθε 53 φορές και η πλειοψηφία (δηλαδή η κορώνα) 53.
Την δεύτερη φορά η κορώνα ήρθε 46 φορές και η πλειοψηφία (δηλαδή τα γράμματα) 54.
Την τρίτη φορά η κορώνα ήρθε 51 φορές και η πλειοψηφία (δηλαδή η κορώνα) 51.
Την τέταρτη φορά η κορώνα ήρθε 50 φορές και η πλειοψηφία 50.

Τα αποτελέσματα των πρώτων 10 φορών του πειράματος:

α) 53, 46, 51, 50, 57, 48, 48, 55, 50, 45, ...
β) 53, 54, 51, 50, 57, 52, 52, 55, 50, 55, ...

Μετά από άπειρες φορές αυτό το πείραμα, ο μέσος όρος του α είναι 50. Ο μέσος όρος του β μετά από άπειρες φορές θα είναι 53.97. Πως αποδεικνύεται;

#2

Θα το κάνω γενικά για

νομίσματα. (Η περίπτωση με 2n+1

νομίσματα είναι παρόμοια.)

Ας γράψουμε

για το πόσα νομίσματα υπάρχουν στην πλειοψηφία. Για $k \in \{n+1,\ldots,2n\}$ έχουμε

$\displaystyle P(X=k) = \binom{2n}{k} \cdot \frac{1}{2^k} \cdot \frac{1}{2^{2n-k}} + \binom{2n}{k} \cdot \frac{1}{2^{2n-k}} \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{\binom{2n}{k}}{2^{2n-1}}$

ενώ για k = n

έχουμε $\displaystyle P(X=n) = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$

Άρα

$\displaystyle \mathbb{E}X = \frac{n\binom{2n}{n}}{2^{2n}} + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{k\binom{2n}{k}}{2^{2n-1}} = \frac{n\binom{2n}{n}}{2^{2n}} + \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{2n \binom{2n-1}{k-1}}{2^{2n-1}} = \frac{n\binom{2n}{n}}{2^{2n}} + n$

αφού $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \binom{2n-1}{k-1} = \sum_{k=n+1}^{2n} \binom{2n-1}{k-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2n-1}$

Για 100

νομίσματα ( n=50

) έχουμε:

$\displaystyle \mathbb{E}X = 50 + \frac{50}{2^{100}} \binom{100}{50} \approx 53.979$

Ας σημειώσουμε επίσης ότι από Stirling

$\displaystyle \frac{n\binom{2n}{n}}{2^{2n}} \sim \frac{n\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2\pi n\left(\frac{n}{e}\right)^{2n} 2^{2n}} = \sqrt{\frac{n}{\pi}}$

Δηλαδή αναμένουμε ο μέσος όρος της πλειοψηφίας να είναι περίπου $C\sqrt{n}$ περισσότερος από τα μισά νομίσματα για κάποια σταθερά

.

Κορώνα ή γράμματα

Κορώνα ή γράμματα

Re: Κορώνα ή γράμματα

Μέλη σε σύνδεση