Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

#1

Με αφορμή αυτό το ποστ, και συγκεκριμένα τη λύση του συνάδελφου Χατζόπουλου, η οποία ήταν και δική εναρκτήρια προσέγγιση:

Αναπτύσοντας την παράσταση $(\alpha \eta\mu\theta+\beta\sigma\upsilon\nu\theta+\gamma)^{2}$ , χρησιμοποιώντας το $\sigma\upsilon\nu^{2}x=1-\eta\mu^{2}x$ και εξισώνοντας με την $(1+\eta\mu\theta)(3\eta\mu\theta+4\sigma\upsilon\nu\theta+5)$ , καταλήγουμε στη σχέση

$(\alpha^{2}-\beta^{2}-3)\color{red}{\eta\mu\theta^{2}}\color{black}+(2\alpha\beta-4)\color{red}\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta\color{black}+\\ (2\alpha\gamma-8)\color{red}\eta\mu\theta\color{black}+(2\beta\gamma-4)\color{red}\sigma\upsilon\nu\theta\color{black}+(\beta^{2}+\gamma^{2}-5)\cdot\color{red}1\color{black}=0$

Θα θέλαμε να εξισώσουμε τους αντίστοιχους συντελεστές των κοκκινισμένων ποσοτήτων με το 0, (κίνηση η οποία θα μας οδηγήσει και στις σωστές τιμές των $\alpha,\beta,\gamma$ ).

Σε ποιές περιπτώσεις μπορούμε να το κάνουμε αυτό;

Εδώ σκέφτεται κανείς το εξής θεώρημα:

Αν μια πολυωνυμική συνάρτηση μηδενίζεται για άπειρες τιμές μεταβλητήςτης, τότε είναι ταυτοτικά μηδέν

Είναι φανερό (έτσι όπως το είδα εγώ τουλάχιστον) ότι το πολυώνυμο που θα πρέπει να θεωρήσει κανείς προκείμένου να επικαλεστεί ένα τέτοιου τύπου θεώρημα είναι το

$f(x,y)=(\alpha^{2}-\beta^{2}-3)x^{2}+(2\alpha\beta-4)xy+(2\alpha\gamma-8)x+(2\beta\gamma-4)y+(\beta^{2}+\gamma^{2}-5)$ ,

Ισχύει όμως το παραπάνω θεώρημα όταν οι μεταβλητές του πολυωνύμου είναι περισσότερες από δυο;

Αντιπαράδειγμα (Κατσίπης)

Ας πάρουμε το $P(x,y)=3x+2y-5\in\mathbb{R}[X,Y]$ .

Το P(x,y)

φανερά έχει ρίζες τα (άπειρα) σημεία της ευθείας 3x+2y=5

. Παρ' όλα αυτά, δεν είναι το μηδενικό...

Το (γενικό) θεώρημα που έχω τουλάχιστον εγώ υπόψη μου είναι το εξής:

Έστω μια τυπική δυναμοσειρά $P(Χ_{1},\ldots,Χ_{n})\in\mathbb{R}[[X_{1},\ldots,X_{n}]]$ και ότι ισχύει
$P(x_{1},\ldots,x_{n})=0$ για κάθε $(x_{1},\ldots,x_{n})\in[-\varepsilon,\varepsilon]^{n}$ για κάποιο $\varepsilon>0$ , τότε $P(X_{1},\ldots,X_{n})\equiv0$ .

Έχει κανείς κάποια παραπομπή για την απόδειξή του;

Για την αρχίκή άσκηση τώρα και ξεφεύγοντας από κάποια σχολική προσέγγιση.

Προκειμένου να εφαρμόσουμε το παραπάνω, θα πρέπει να δείξουμε ότι η συνάρτηση $g(\theta)=(\sin\theta,\cos\theta)$ με $\theta\in\mathbb{R}$ είναι επί κάποιου τετραγώνου $[-\varepsilon,\varepsilon]^{2}$ γα κάποιο $\varepsilon>0$ .

Είναι;

Υπάρχει κάποιο επιχείρημα που να αποφεύγει τα παραπάνω και δεν το βλέπω;

#2

Ήθελα να αναφερθώ σε αυτή την απάντηση του Μάκη αλλά με πρόλαβες.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Αναπτύσοντας την παράσταση $(\alpha \eta\mu\theta+\beta\sigma\upsilon\nu\theta+\gamma)^{2}$ , χρησιμοποιώντας το $\sigma\upsilon\nu^{2}x=1-\eta\mu^{2}x$ και εξισώνοντας με την $(1+\eta\mu\theta)(3\eta\mu\theta+4\sigma\upsilon\nu\theta+5)$ , καταλήγουμε στη σχέση

$(\alpha^{2}-\beta^{2}-3)\color{red}{\eta\mu\theta^{2}}\color{black}+(2\alpha\beta-4)\color{red}\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta\color{black}+\\ (2\alpha\gamma-8)\color{red}\eta\mu\theta\color{black}+(2\beta\gamma-4)\color{red}\sigma\upsilon\nu\theta\color{black}+(\beta^{2}+\gamma^{2}-5)\cdot\color{red}1\color{black}=0$

Θα θέλαμε να εξισώσουμε τους αντίστοιχους συντελεστές των κοκκινισμένων ποσοτήτων με το 0, (κίνηση η οποία θα μας οδηγήσει και στις σωστές τιμές των $\alpha,\beta,\gamma$ ).

Σίγουρα χρειάζεται δικαιολόγηση για να το κάνουμε αυτό αλλιώς η απάντηση είναι λάθος.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Είναι φανερό (έτσι όπως το είδα εγώ τουλάχιστον) ότι το πολυώνυμο που θα πρέπει να θεωρήσει κανείς προκείμένου να επικαλεστεί ένα τέτοιου τύπου θεώρημα είναι το

$f(x,y)=(\alpha^{2}-\beta^{2}-3)x^{2}+(2\alpha\beta-4)xy+(2\alpha\gamma-8)x+(2\beta\gamma-4)y+(\beta^{2}+\gamma^{2}-5)$ ,

Υπάρχει ένα πρόβλημα με αυτήν την προσπάθεια. Το πολυώνυμο $f(x,y)=(\alpha^{2}-\beta^{2}-3)x^{2}+(2\alpha\beta-4)xy+(2\alpha\gamma-8)x+(2\beta\gamma-4)y+(\beta^{2}+\gamma^{2}-5)$ , είναι ταυτοτικά 0 αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές είναι 0. Αλλά δεν είναι αυτό που μας ενδιαφέρει. Άλλωστε το πολυώνυμο ax^2 + by^2 + c

είναι 0 αν και μόνο αν a=b=c=0

αλλά $a\sin^2x + b\cos^2x + c=0$ αν και μόνο αν a=b=-c

.

Αυτό που χρειάζεται να δείξει κάποιος σε αυτή την προσέγγιση είναι ότι τα 1,x,y,xy,x^2

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στο $\mathbb{R}[x,y]/(x^2 + y^2-1)$ όταν το θεωρήσουμε σαν διανυσματικό χώρο πάνω από το $\mathbb{R}$ .

#3

Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι η 6ς:

Θέτουμε $f_{1}(\theta)=1$ , $f_{2}(\theta)=\sigma\upsilon\nu\theta$ , $f_{3}(\theta)=\eta\mu\theta$ , $f_{4}(\theta)=\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta$ και $f_{5}(\theta)=\eta\mu^{2}\theta$ , και υπολογίζουμε τη $\color{blue}Wronskian$

$W(\theta)=\begin{displaymath} \left| \begin{array}{ccccc} f_{1}(\theta) & f_{2}(\theta) & f_{3}(\theta) & f_{4}(\theta) & f_{5}(\theta) \\ f_{1}{'}(\theta) & f_{2}{'}(\theta) & f_{3}{'}(\theta) & f_{4}{'}(\theta) & f_{5}{'}(\theta) \\ f_{1}^{(2)}(\theta) & f_{2}^{(2)}(\theta) & f_{3}^{(2)}(\theta) & f_{4}^{(2)}(\theta) & f_{5}^{(2)}(\theta) \\ f_{1}^{(3)}(\theta) & f_{2}^{(3)}(\theta) & f_{3}^{(3)}(\theta) & f_{4}^{(3)}(\theta) & f_{5}^{(3)}(\theta) \\ f_{1}^{(4)}(\theta) & f_{2}^{(4)}(\theta) & f_{3}^{(4)}(\theta) & f_{4}^{(4)}(\theta) & f_{5}^{(4)}(\theta) \\ \end{array} \right| \end{displaymath}=$

$\begin{displaymath} \left| \begin{array}{ccccc} 1 & \sigma\upsilon\nu\theta & \eta\mu\theta & \eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta & \eta\mu^{2}\theta \\ 0 & -\eta\mu\theta & \sigma\upsilon\nu\theta & \sigma\upsilon\nu^{2}\theta-\eta\mu^{2}\theta & 2\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta \\ 0 & -\sigma\upsilon\nu\theta & -\eta\mu\theta & -4\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta & 2(\sigma\upsilon\nu^{2}\theta-\eta\mu^{2}\theta) \\ 0 & \eta\mu\theta & -\sigma\upsilon\nu\theta & -4(\sigma\upsilon\nu^{2}\theta-\eta\mu^{2}\theta) & -8\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta \\ 0 & \sigma\upsilon\nu\theta & \eta\mu\theta & 16\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta & -8(\sigma\upsilon\nu^{2}\theta-\eta\mu^{2}\theta) \\ \end{array} \right| \end{displaymath}=\ldots=\\$

$18\eta\mu\theta(2\eta\mu^{2}\theta\sigma\upsilon\nu^{2}\theta+\sigma\upsilon\nu^{4}\theta+\eta\mu^{4}\theta)$ .

Για $\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}$ , είναι $\displaystyle W(\frac{\pi}{2})=18\neq0$ συνεπώς οι
$f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητες.

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι η 6ς:

Θέτουμε $f_{1}(\theta)=1$ , $f_{2}(\theta)=\sigma\upsilon\nu\theta$ , $f_{3}(\theta)=\eta\mu\theta$ , $f_{4}(\theta)=\eta\mu\theta\sigma\upsilon\nu\theta$ και $f_{5}(\theta)=\eta\mu^{2}\theta$ ,

Άλλος τρόπος να δεις την γραμμική ανεξαρτησία είναι από την ορθογωνιότητα.

Συγκεκριμένα, αντί της $f_{5}$ μπορούμε να πάρουμε, ισοδύναμα, την συν(2θ) (απλό).

Βλέπουμε τώρα εύκολα (το γνωστό αποτέλεσμα από τις σειρές Fourier) ότι για $k\ne j$ είναι

$\int _0^{2 \pi}f_k(x)f_j(x)dx = 0$

και άρα γραμμικές ανεξάρτητες.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Ο πιο απλός τρόπος όμως (χωρίς να χρειάζονται ιδιαίτερες γνώσεις) είναι αυτός που έδωσε ο Αντώνης Κυριακόπουλος εδώ.

#6

Demetres έγραψε:Ο πιο απλός τρόπος όμως (χωρίς να χρειάζονται ιδιαίτερες γνώσεις) είναι αυτός που έδωσε ο Αντώνης Κυριακόπουλος εδώ.

Δημήτρη αυτό είναι σίγουρο, αλλά όπως είπα και παραπάνω έχουμε ξεφύγει από τη σχολική προσέγγιση και το τόπικ αυτό καλύπτει τις "φιλοσοφικές ανησυχίες του καθηγητή". Γι΄αυτό αλλώστε και τοποθετήθηκε στον αντίστοιχο φάκελο.

Νομίζω πως είναι πολύ χρήσιμο να γνωρίζει κανείς τι κρύβεται π= από κινήσεις που ενίοτε κάνει κανείς "μηχανικά".

#7

Νομίζω, ότι το θεώρημα που που απαντάει στο ερώτημα του Αναστάση, είναι το εξής:

Έστω πολυώνυμο

,

μεταβλητών με συντελεστές από ένα σώμα

.
Υποθέτουμε ότι ο βαθμός της μεταβλητής $x_{i}, 1\leq i\leq n$ είναι το πολύ $d_{i}$ .
Έστω $S_{i}$ υποσύνολα του

με τουλάχιστον $d_{i}+1$ στοιχεία.
Αν $f(s_{1},\ldots,s_{n})=0$ για όλα τα $(s_{1},\ldots,s_{n})\in S_{1}\times\cdots \times S_{n}$ ,
τότε $f\equiv0.$

(Το παραπάνω θεώρημα χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος Combinatorial Nullstellensatz που ανέφερε ο Δημήτρης σε άλλο post).

Νίκος Κατσίπης

Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Re: Σκέψεις-Διατύπωση Θεωρήματος-Αναζήτηση Απόδειξης

Μέλη σε σύνδεση