Σε κάθε περίπτωση, ο πυρήνας του προβλήματος είναι πράγματι στοιχειώδης, καθώς πρόκειται για μιά μπουρδουκλωμένη άσκηση επαγωγής, και έτσι θα το παρουσιάσω. Άς επιληφθούν οι αρμόδιοι για τη μετακίνησή του, άν το θεωρήσουν σκόπιμο.
Τα προκαταρκτικά. Ας είναι ένα πεπερασμένο σύνολο και μία συνάρτηση (υπόψιν οτι εδώ συμπεριλαμβάνω το μηδέν στους φυσικούς). Θεωρούμε το σύνολο των πεπερασμένων ακολουθιών απο στοιχεία του : για παράδειγμα, άν τότε αλλα και (η κενή ακολουθία). Αυτό το σύνολο μπορούμε να το περιγράψουμε επαγωγικά ξεκινώντας απ' την κενή ακολουθία και προθέτοντας στοιχεία του :
- ·
- άν και τότε και .
- για κάθε με είναι (η ακολουθία με μόνο στοιχείο το )·
- άν με και , τότε και .
και τα λοιπά. Βοηθάει ίσως να το μαρτυρήσουμε οτι μπορούμε να φανταστούμε αυτές τις ακολουθίες σά δέντρα: πιχί η τελευταία αντιστοιχεί στην παράσταση
Ίσως βέβαια και να μή βοηθάει. Εντάξει.
Τώρα, το πρόβλημα. Ισχύει . Ανάποδα, ας είναι μιά οποιαδήποτε περατή ακολουθία· πώς μπορούμε να μάθουμε άν χρησιμοποιώντας το πολύ προσθαφαιρέσεις;
Για να το φέρω πιό πολύ σε άσκηση, να δώσω μία κατεύθυνση προς τη λύση που είχα βρεί προσωπικά. Θεωρήστε τη συνάρτηση με
- ,
- ,
άν και μόνο άν και για κάθε .
Κάτι που ξέχασα επάνω: για να βγάζουν όλ' αυτά νόημα, είναι καλό να απαιτήσουμε απο την να απεικονίζει ένα τουλάχιστον στοιχείο του στο .