Σειρά με συνημίτονα

∫ot.T. · #1

Αν $a,b\neq 2k\pi$ να αποδειχθεί ότι
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{cos(an)-cos(bn)}{n}=ln\left (\left | \frac{sin\frac{b}{2}}{sin\frac{a}{2}} \right |\right)$

Tolaso J Kos · #2

Μα είναι έτοιμη ... σειρά Fourier και πολύ γνωστή θα έλεγα.

Για κάθε $x \in (0, \pi]$ ισχύει $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n} = -\log 2 \sin \frac{x}{2}$ .

Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n} &= \mathfrak{Re} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{in x}}{n} \\ &=- \mathfrak{Re} \log \left ( 1 - e^{ix} \right ) \\ &=-\log \left | 1-e^{ix} \right | \end{aligned}}$
Όμως,

$\displaystyle{\log \left | 1-e^{ix} \right | = \frac{1}{2} \log \left ( \left ( 1 - \cos x \right )^2 + \sin^2 x \right ) = \frac{1}{2} \log \left ( 2 - 2 \cos x \right ) = \log 2 \sin \frac{x}{2}}$
και το αποτέλεσμα έπεται. $\blacksquare$

Το αποτέλεσμα της άσκησης, πλέον, έπεται.

∫ot.T. · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 10:02 pm
Μα είναι έτοιμη ... σειρά Fourier και πολύ γνωστή θα έλεγα.

Για κάθε $x \in (0, \pi]$ ισχύει $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nx}{n} = -\log 2 \sin \frac{x}{2}$ .

Δεν γνώριζα αυτήν την πρόταση, αλλά κατέληξα σε αυτήν με άλλον τρόπο. Δεν το περίμενα ότι θα ήταν τόσο γνωστή.

Σειρά με συνημίτονα

Σειρά με συνημίτονα

Re: Σειρά με συνημίτονα

Re: Σειρά με συνημίτονα

Μέλη σε σύνδεση