Τελευταία ενημέρωση: 29/12/2012
==========================================
Συνεχίζω την ενημέρωση των θεμάτων με Αντιστροφή.
Τελευταία ενημέρωση 1-12-2015
Φωτεινή
============================================
Εισαγωγή
επί της Αντιστροφής από Σεραφείμ Τσιπέλη
Σχετιζόμενα
γεωμετρικος τόπος από Κώστα Βήττα
ομοιοθεσία, αντιστροφή, πολικές σε γεωμετρικούς τόπους από Ροδόλφο Μπόρη
για τον μετασχηματισμό του Möbius από Ροδόλφο Μπόρη
με άρωμα Αντιστροφής
με άρωμα Αντιστροφής 2
ΕΜΕ 2010 (1η)
z και 1/z
Οι ασκήσεις (με λύση από)
2009
ορθογώνιοι κύκλοι από Γιάννη Μανίκα (4 κύκλοι, περίκεντρο)
ορθή γωνία από Γιάννη Μανίκα (ημικύκλιο + 2 κύκλοι)
ίσοι κύκλοι που διέρχονται από ένα σημείο - ορθόκεντρο από Γιάννη Μανίκα (3 ίσοι κύκλοι διερχόμενοι από ίδιο σημείο. ορθόκεντρο)
ομοκυκλικά σημεία από Δημήτρη Παπαδημητρίου
κατασκευή από Σεραφείμ Τσιπέλη (κατασκευή κύκλου διερχόμενου από σημείο κι εφαπτόμενου σε ευθεία και κύκλο)
2010
ενδιαφέρουσα ομοκυκλικότητα από Κώστα Παππέλη (4 κύκλοι, διχοτόμος)
δροσερή γεωμετρία 2 από Στέφανο Αρετάκη (κατασκευή τριγώνου με γνωστά R, a,b(b+c))
διδακτικό- Ναί (Geo) από Σωτήρη Λουρίδα (κατασκευή κύκλου εφαπτόμενου σε 2 ευθείες και κύκλο, έκκεντρο) (σχετικό)
ένα θέμα με ονοματεπώνυμο από Φωτεινή Καλδη (Θεώρημα Euler)
κύκλοι τεμνόμενοι ορθογωνίως από Κώστα Παππέλη (εγγεγραμμένο τετράπλευρο, ορθογώνιοι κύκλοι)
σταθερό σημείο από Σεραφείμ Τσιπέλη (τεμνόμενοι κύκλοι) (πρόβλημα 1991 του Crux) (σχετικό)
σταθερό σημείο 2 από Κώστα Δόρτσιο (σταθερό άθροισμα αποστάσεων σε πλευρές γωνίας)
από Ρουμανία.. από Μπάμπη Στεργίου (3 κύκλοι, 2 εφαπτόμενοι εξωτερικά, κοινή εφαπτομένη) (σχετικό)
καθετότητα από Σεραφείμ Τσιπέλη (παραλληλόγραμμο, 1 κύκλος, χορδή, τέμνουσα)
ημικύκλιο και κύκλοι εκκρεμεί (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος εσωτερικά σε κύκλο και 2 ευθείες) (σαν περί Λημμάτων)
σταθερό σημείο (έξυπνη) από Σεραφείμ Τσιπέλη (σταθερό άθροισμα αποστάσεων σε πλευρές γωνίας)
εφαπτόμενοι κύκλοι εγγράψιμο τετράπλευρο από Σεραφείμ Τσιπέλη (4 εφαπτόμενοι κύκλοι)
εφαπτόμενοι κύκλοι από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, εξωτερικά κι εσωτερικά - σε διάμετρο) (σαν περί Λημμάτων) (άλυτα ερωτήματα)
γωνία OMB ορθή από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, ανά 2 τεμνόμενοι) (ΙΜΟ 1985)
2011
Θεώρημα Feuerbach - αποδείξεις από Κώστα Δόρτσιο (ο κύκλος του Euler εφάπτεται του εγγεγραμμένου και των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου)
εφαπτόμενοι κύκλοι από Σωτήρη Λουρίδα (κατασκευή κύκλου εφαπτόμενου σε 2 ευθείες και κύκλο, έκκεντρο)
Θεώρημα Πτολεμαίου από Μιχάλη Λάμπρου (σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών)
παλαιό θέμα από Κώστα Δόρτσιο (κύκλος, χορδή διάμετρος) (εισαγωγικές 1960)
ζητάμε απλή και σύντομη απόδειξη από Σεραφείμ Τσιπέλη (4 κύκλοι, 2 κύκλοι διερχόμενοι από 2 σταθερά σημεία και εφαπτόμενοι σε ευθεία, διερχόμενη από σταθερό σημείο)
κύκλοι Ο,Ο΄ από Φωτεινή Καλδη (2 εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι)
μια ωραία άσκηση από το καινούργιο βιβλίο από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 τεμνόμενοι κύκλοι, κοινή εξωτερική εφαπτομένη, ορθόκεντρο) (σαν ΒΜΟ 2002)
ΑΒ,ΕΖ, ΓΗ συντρέχουν από Κώστα Δόρτσιο (2 κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε ευθεία, ριζικό κέντρο)
εφαπτόμενοι κύκλοι πάλι από Κώστα Δόρτσιο και Σεραφείμ Τσιπέλη (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, εξωτερικά κι εσωτερικά) (σαν περί Λημμάτων)
γεωμετρία από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 τεμνόμενοι κύκλοι, συμμετρικό , περίκυκλος) (USAMO 2008)
4 κύκλοι από Κωνσταντίνο Ρεκούμη (4 κύκλοι, ομοκυκλικά) (σχετικό)
μια ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 κύκλοι, ισοσκελές τραπέζιο)
γεωμετρία απο τα παλιά από Jurie Boreico (περίκεντρο τριγώνου κινείται σε σταθερή υπερβολή)
τέσσερις κύκλοι - εγγράψιμα τετράπλευρα από Κωνσταντίνο Ρεκούμη (4 κύκλοι, ομοκυκλικά)
εφαπτόμενοι κύκλοι - ομοκυκλικά σημεία από Κώστα Δόρτσιο, Σεραφείμ Τσιπέλη, Κώστα Βήττα και Σωτήρη Λουρίδα
(μια συσχέτιση αντιστροφής - ομοιοθεσίας, απόδειξη πως υπάρχει αντιστροφή που κάνει κύκλους ομόκεντρους) (αλυσίδα του Steiner)
2 κύκλοι... ναί από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 τεμνόμενοι κύκλοι, σταθερός λόγος)
και αυτά είναι συνευθειακά από Σεραφείμ Τσιπέλη (ορθόκεντρο, 3 κάθετες)
κύκλος εφαπτόμενος κύκλου από Σωτήρη Λουρίδα και Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε 2 ευθείες και 2 κύκλους)
ορθή γωνία από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, ανά 2 τεμνόμενοι)
γεωμετρία από Σωτήρη Λουρίδα (κατασκευή τριγώνου με γνωστή γωνία και γινόμενο 2 πλευρών) (BMO 1997, BMO 2000)
ίσοι εφαπτόμενοι κύκλοι από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά σε 3 ημικύκλια έκαστος) (σαν Περί Λημμάτων)
ευθεία μεταβλητής χορδής κύκλου, δια σταθερού σημείου από Παναγιώτη Λώλα (Παναγιώτης 1729) (σταθερό σημείο, κύκλος, τεμνόμενες χορδές, ριζικός άξονας
14Β- γεωμετρία από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε 2 κύκλους κι ευθεία) (σαν Περί Λημμάτων)
ορθογωνίως από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 τεμνόμενοι κύκλοι, ορθογώνιοι κύκλοι)
για την ιστορία (και όχι μόνο) από Σωτήρη Λουρίδα (# 39) (ΕΜΠ περίπου 1950) (στον χώρο)
κύκλος και ημικύκλια εκκρεμεί (3 κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε 2 κύκλους κι ευθεία) (σαν Περί Λημμάτων)
γεωμετρικός τόπος Γιάννη Ντάνη (2) από Δημήτρη Παπαδημητρίου (παράλληλες ευθείες, ορθογώνιο τρίγωνο)
κατασκευή κύκλου 1 από Σεραφείμ Τσιπέλη (κατασκευή κύκλου διερχόμενου από σημείου κι εφαπτόμενου σε δυο ευθείες)
για την ιστορία (και όχι μόνο) από liolios19 (# 48) (Χημικοί Μηχανικοί ΕΜΠ, 1958)
σημεία συνευθειακά από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι, εφαπτομένη)
για την ιστορία (και όχι μόνο) από Σεραφείμ Τσιπέλη (# 45) (Χημικοί Μηχανικοί ΕΜΠ, 1958)
ομοκυκλικά σε διαφορετικούς κύκλους από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 τεμνόμενοι κύκλοι, συμπληρωματικές, ομοκυκλικά)
και άλλα ίσα τμήματα από Κωνσταντίνο Ρεκούμη εκκρεμεί (ίσα εφαπτόμενα τμήματα)
συνευθειακές τομές περικυκλίων από Κωνσταντίνο Ρεκούμη (5 κύκλοι διερχόμενοι από το ίδιο σημείο, 2 τεμνόμενοι και 3 περίκυκλοι)
θεωρούμε τρίγωνο από Σωτήρη Λουρίδα (ορθόκεντρο)
συνευθειακές τομές 2 από Δημήτρη Σκουτέρη (dement) (4 κύκλοι διερχόμενοι από το ίδιο σημείο, 3 περίκυκλοι κι 1 τυχαίος)
σημείο επαφής από Φωτεινή Καλδη, Κώστα Βήττα, Μπάμπη Στεργίου, και Κώστα Δόρτσιο (3 κύκλοι, 2 ζεύγη εσωτερικών εφαπτόμενων κύκλων)
ορθόκεντρα από Κωνσταντίνο Ρεκούμη (3 κύκλοι, εγγεγραμμένος, περίκυκλος και Euler)
ομοκυκλικά από Παναγιώτη Λώλα (Παναγιώτης 1729)(μεσοκάθετοι τριγώνου) (USAMO 2008)
ανα-πληρωματική από Φωτεινή Καλδη (εφαπτόμενες σε διάμετρο κύκλου)
κοινή εφαπτόμενη από Σεραφείμ Τσιπέλη
πάνω στην κάθετη από Σεραφείμ Τσιπέλη (ορθογώνιοι κύκλοι, συνευθειακά)
μετρική διχοτόμηση από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 τεμνόμενοι κύκλοι, περίκυκλος)
συνευθειακά από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, ένας εφαπτόμενος εξωτερικά σε δυο τεμνόμενους)
πολική ευθεία ως προς μεταβλητό κύκλο, δια σταθερού σημείου από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, ένας εφαπτόμενος εξωτερικά σε δυο τεμνόμενους διερχόμενους από σταθερά σημεία)
2012
συνευθειακά από Σεραφείμ Τσιπέλη (ισοσκελές τρίγωνο, 2 τεμνόμενοι κύκλοι)
άλλη μια γεωμετρία από Alex1994 και Σεραφείμ Τσιπέλη (5 κύκλοι, εγγεγραμμένος περίκυκλος και 3 περίκυκλοι μικροί)
καθετότητα από Σεραφείμ Τσιπέλη (τετράπλευρο, 2 ισες πλευρές, 2 ορθές) (Ρωσία 1995)
ορθογώνιοι κύκλοι από Φωτεινή Καλδη (ορθογώνιοι κύκλοι, εφαπτομένη)
αναπάντεχη (;) διάμεσος από Φωτεινή Καλδη (εξωτερική ευθεία παράλληλη σε εφαπτομένη κύκλου)
παραπληρώνουμε από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 ορθογώνιοι κύκλοι)
σταθερός κύκλος Π.Σ 3 από Φωτεινή Καλδη (περίκυκλος εφάπτεται σταθερού κύκλου)
πονηρή καθετότητα από Σεραφείμ Τσιπέλη (ημικύκλιο με διάμετρο πλευρά τριγώνου)
κατασκευή τριγώνου από Φωτεινή Καλδη (κατασκευή τριγώνου με γνωστά
)CD εφαπτομένη δύο κύκλων από Φωτεινή Καλδη (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, εξωτερικά κι εσωτερικά)
το ισόπλευρο κάνει τη διαφορά από Φωτεινή Καλδη (εγγεγραμμένο τρίγωνο, ισόπλευρο, 60 μοίρες)
μήπως υπερβάλλουμε ; από Σεραφείμ Τσιπέλη
σταθερό σημείο από Σεραφείμ Τσιπέλη (τεμνόμενοι κύκλοι) (πρόβλημα 1991 του Crux)
παράλληλο προς τη διάκεντρο από Φωτεινή Καλδη (2 τεμνόμενοι κύκλοι, ορθόκεντρο)
CD εφαπτομένη κύκλου από Σεραφείμ Τσιπέλη και Κώστα Δόρτσιο (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, οι 2 εσωτερικά) (IMO 1999)
εφαπτομένη περιγεγραμμένου από Antonis_Z και Μπάμπη Στεργίου (3 κύκλοι, 2 εφαπτόμενοι εξωτερικά, κοινή εφαπτομένη)
μεταβλητός κύκλος σταθερής χορδής από Σεραφείμ Τσιπέλη (3 κύκλοι, 2 εφαπτόμενοι εξεωτερικά, σταθερό σημείο, σταθερό άθροισμα διακέντρου)
κάθετα τμήματα από Σεραφείμ Τσιπέλη (ημικύκλιο εφαπτόμενο σε πλευρές τριγώνου)
συνευθειακά και ομοκυκλικά επί 2 από Antonis_Z (τεμνόμενοι κύκλοι)
29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (28-04-2012) από Φωτεινή Καλδη (3 κύκλοι) (ΒΜΟ 2012 1ο)
επί τη βάσει από Φωτεινή Καλδη (τεμνόμενοι κύκλοι, ίσες γωνίες, συνευθειακά)
n+1 σημεία στο επίπεδο από Βαγγέλη Μουρούκο
μια εισαγωγική σε ... από Φωτεινή Καλδη (2 εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε κύκλο και ευθεία)
κοινή εφαπτόμενη από Φωτεινή Καλδη και Σεραφείμ Τσιπέλη (3 εφαπτόμενοι κύκλοι, εξωτερικά κι εσωτερικά, κοινή εφαπτομένη) (σαν περί Λημμάτων)
τρισεφαπτόμενος κύκλος από Antonis_Z (3 κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενες σε 2 ευθείες και κύκλο)
8 κύκλοι από Κώστα Βήττα (8 κύκλοι, 3 ίσοι κύκλοι εφαπτόμενοι εσωτερικά σε τέταρτο κύκλο)
και μία από Μαρόκο... από Δημήτρη Παπαδημητρίου (σταθερό άθροισμα αντίστροφων αποστάσεων σε πλευρές γωνίας, σταθερό σημείο)
διπλή σταθερότητα από Φωτεινή Καλδη (τεμνόμενοι κύκλοι, σταθερό σημείο, σταθερό μήκος)
εφαπτομένη από ... νότιο πόλο από Σεραφείμ Τσιπέλη (2 εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι, κύκλος εφαπτόμενος σε κύκλο και ευθεία)
κι εδώ εφαπτομένη από Φωτεινή Καλδη (τεμνόμενοι κύκλοι)
κάθετη στη διάμετρο από Σεραφείμ Τσιπέλη (ορθογώνιοι κύκλοι)
καθετότητα με αιτία από Σεραφείμ Τσιπέλη (περίκεντρο, προβολές)
κοινές εφαπτόμενες από Φωτεινή Καλδη (3 κύκλοι, ανα 2 εφαπτόμενοι)
περνά κι εφάπτεται από Φωτεινή Καλδη (τεμνόμενοι κύκλοι, ορθές)
χορδή που διχοτομεί από Φωτεινή Καλδη
εφάπτεται σε εφαπτόμενους από Φωτεινή Καλδη
ας κάνουμε έναν κύκλο από Φωτεινή Καλδη
περιβάλλουσα από Σεραφείμ Τσιπέλη
εύκολη καθετότητα από Antonis_Z
αρμονικός μέσος από Δημήτρη Παπαδημητρίου
z και 1/z ... από Κώστα Δόρτσιο
ίσες αποστάσεις από το σημείο επαφής από Φωτεινή Καλδη
7η ΕMO 1990-1991 Β' Λυκείου 2ο από Antonis_Z
ο κόκκινος κύκλος από Antonis_Z
έστω σημείο ... από Σωτήρη Λουρίδα και Κώστα Βήττα
η μια (επαφή) φέρνει την άλλη από Φωτεινή Καλδη
εφαπτόμενος σε εγγεγραμμένο και παρεγγεγραμμένο από Φωτεινή Καλδη
συμφωνούμε κάθετα από Φωτεινή Καλδή
=================
2013
Βρήκα νέο μέσον
Γεωμετρία
Ορθογώνιοι κύκλοι
Ικάρων 1979
Άσκηση -Λήμμααναπάντητη
Ομοκυκλική μεσοπολική τομή
Εφαπτόμενοι κύκλοι
012-Κύκλοι εφαπτόμενοι σε σταθερό κύκλο
Τρεις κύκλοι κι ένα μέσο
Συγκλίσεις ή παραλληλίες
Κύκλος και κλίση
Κύκλοι εφαπτόμενοι και τεμνόμενοι
Σ.Μ.Α 1972-Γεωμετρία
Κύκλοι από Ιράν
Προκριματικός 1987-88 (2η φάση)
Δυο κύκλοι
Μια καθετότητα
Αρμονικό τετράπλευρο
Συμπτωματικά ορθογώνιοι
Λύσεις στο Απολλώνιο πρόβλημα
Γεωμετρία Δύσκολη-4-
Κύκλοι και ευθείες
Θεία παραλληλία
Σπάνια συνευθειακότητα
Ίσα γινόμενα
Πάλι καθετότητα-2-
Κατασκευή
Κατά τόπους...
Ίσα τμήματα-Διχοτόμος
Ορθογώνιοι κύκλοι
Τρία συνευθειακά και μία κάθετη
Ίσες γωνίες
Σταθερό σημείο
Έγκεντρο από Φωτεινή Καλδή
Αναπάντεχα ισοσκελές
Θέμα φετίχ από Σεραφείμ Τσιπέλη
2014
Τρία συνευθειακά σημείααπό Σιλουανό Μπραζιτίκο
Συνευθειακές τομές παραλλήλων και εφαπτομένων
Όμορφη γωνιακή ισότητα
Καθετότητα με χορδή
Συντρέχουν
"Αντίστροφη" Erdős–Mordell!
Κύκλος ορθοκέντρου
Κακοτοπιές
ΙΜΟ 2014-Πρόβλημα -3-
Βόρειο ημικύκλιο
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα
ΕΜΠ 1963
Αντιδιαμετρικό-2-
Δύσκολη από MR
Από εγγεγραμμένο τραπέζιο σε συνευθειακότητα
Ευκλείδης 2014-Γ- Λυκείου
Γωνία σε τετράπλευρο από Βαγγέλη Μουρούκο
Τρία συνευθειακά σημεία από Σιλουανό Μπραζιτίκο
Ακτίνα κύκλου-εφαπτόμενου σε 3 ημιλύκλια από Φωτεινή Καλδή
Σταθερή γωνία 45 μοιρών από Φωτεινή Καλδή
2015
Κι αυτή κάθετη
Εύρεση Αντιστροφής
Θεώρημα Nagel με Αντιστροφή
Τετράπλευρο και περίκυκλοι
Μεσοκάθετος-Εφαπτομένηαπό Φωτεινή Καλδή
Ισότητα από κυκλοτομές
Το μέσο διακέντρου, έγκεντρο τριγώνου...
ΙΜΟ 2015
Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο
Ορθογώνιοι κύκλοι
Διχοτόμος γωνίας
Επαφές από Θανάση Καλογεράκη (sakis1963)
Ορθογώνιοι κύκλοι 5 από Φωτεινή Καλδή
Παραλληλίααπό Φωτεινή Καλδή
Επί της αντιστροφής ;
Εσωτερική επαφή
Γεωμετρικός τόπος του Fuss
Γεωμετρικός τόπος με δύναμη
Με αντιστροφή
Γιαπωνέζικη από Αμερικήαπό Φωτεινή Καλδή
Πολλαπλές επαφές
Άξια Αναφοράς
η Γεωμετρία της Αντιστροφής: Ιστορική αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές του Μιχαήλ Κακούρη
μετασχηματισμός αντιστροφής του Πάμφιλου
το Απολλώνιο πρόβλημα στον χώρο
online
Πάρις Πάμφιλος
Whistler Alley
Wilson Stothers
Dušan Djukić
Kyle Schultz
James King
Cut The Knot
Finish The Shot
Wikipedia
Wolfram
Xahlee
Πηγή: Όλο το mathematica
Η σειρά είναι αυστηρά χρονολογική.
Τα κόκκινα γράμματα υποδηλώνουν ότι εκκρεμεί λύση με αντιστροφή, υπάρχει αλλά αναζητείται.
Παράρτημα (Ασκήσεις που ίσως λύνονται με αντιστροφή)
για τους λάτρεις της Γεωμετρίας