Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

parmenides51 · #21

Στα ορισμένα ολοκληρώματα δεν μας απασχολεί το όνομα της μεταβλητής, δεν αλλάζει τίποτα όπως και να την αποκαλούμε δηλαδή $\displaystyle{\int\limits_a^b {f(t)dt}=\int\limits_a^b {f(y)dy}=\int\limits_a^b {f(x)dx}}$ .
Στην συνάρτηση ολοκλήρωμα ομοίως δεν αλλάζει τίποτα όπως και να την αποκαλούμε την μεταβλητή ολοκλήρωσης, δηλαδή $\displaystyle{\int\limits_a^x {f(t)dt}=\int\limits_a^x {f(y)dy}=\int\limits_a^x {f(w)dw}}$ , ο μόνος περιορισμός που έχουμε είναι η μεταβλητή ολοκλήρωσης να είναι διαφορετική από την μεταβλητή στο άκρο του ολοκληρώματος.

Στο αόριστο ολοκλήρωμα μας απασχολεί το όνομα της μεταβλητής γιατί μας δείχνει ως προς ποια συνάρτηση ολοκληρώνουμε και οποιαδήποτε αλλαγή μεταβλητής κάνουμε, είμαστε υποχρεωμένοι στο τέλος να επανέλθουμε στην αρχική μεταβλητή επαναλαμβάνοντας τις αντικαταστάσεις με την ανάποδη φορά.
Το λάθος στο παράθεμα από το βιβλίο είναι πως χάνεται η εξάρτηση των μεταβλητών στην πορεία.

Δες άλλο ένα αυτοσχέδιο παράδειγμα ''βρείτε το λάθος'' που βασίζεται στο ίδιο ακριβώς λάθος, για να φανεί καλύτερα το εν λόγω σημείο.
$\displaystyle{\int {e^xdx}\mathtop \limits{_{=}^{y=e^x} \int {dy}\mathtop \limits{_{=}^{y=x}\int {dx}=x+c_1}$
$\displaystyle{ \int {e^xdx}=e^x+c_2}$
άρα $\displaystyle{x+c_1=e^x+c_2}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$

.

Άλλα ''βρείτε το λάθος'' στα ολοκληρώματα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

killbill · #22

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
killbill έγραψε:σύμφωνοι, απλά νόμιζα μήπως ξέφευγε η συζήτηση, αλλά εντάξει είναι στα πλαίσια της συζήτησης. Λοιπόν το παράδειγμα είναι το παρακάτω:

ΑΣΚΗΣΗ
Να υπολογίσετε το $\int {e^{2x} } dx$

ΛΥΣΗ
θέτουμε και βρίσκουμε ότι αυτό ισούται με $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 (1)$

Τώρα ο μαθητής λέει το εξής:
Έχουμε $\int {e^{2x} } dx = \frac{1}{2}\int {e^y dy} = \frac{1}{2}\int { e^x dx} = \frac{1}{2} { e^x } + c_2 (2)$

Εξισώνοντας τις (1) & (2) έχουμε $\frac{1}{2}e^{2x} + c_1 = {e^x } + c_2$ όπου για έχουμε και άρα τελικά καταλήγουμε ότι $e^{2x} = {e^x }$ άτοπο.

Που είναι το λάθος; Απάντηση: το λάθος βρίσκεται ότι για να προκύψει η σχέση (2) ο μαθητής έθεσε ενώ μόλις πριν είχε θέσει
Νομίζω ότι η δεύτερη σχέση σου είναι λάθος, για δες την...

Ναι είναι λάθος, όπως εξάλλου αναφέρεται και στην απάντηση που δίνεται από το βιβλίο όπου την αντέγραψα. Το λάθος είναι ότι αφού θέσαμε y = 2 x

δεν μπορούμε στην συνέχεια να θέσουμε y = x

γιατί αυτό αναιρεί την πρώτη ανάθεση και έρχεται σε αντίφαση με την σχέση που έχουν τα χ και y. Θα έπρεπε να χρησιμοποιηθεί άλλο γράμμα.
κατά τα άλλα είναι σωστή!

Μάκης Χατζόπουλος · #23

k-ser έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ θα μείνω σε ένα άλλο σημείο, που χρειαζόταν το σύνολο τιμών της συνάρτηση στα δεδομένα;

Η λύση που πρότεινα δεν το έλαβε καθόλου υπόψιν, νομίζω ότι έχουμε περιττό δεδομένο, να ναι καλά ο Βασίλης που με την λύση του μου θύμισε αυτό το δεδομένο.

Κάτι ανάλογο έπραξαν και στο Γ3 (που δινόταν ότι η συνάρτηση είναι κυρτή, ενώ θα μπορούσαν να την αποδείξουν μέσω του τύπου της), απλά σε αυτή την περίπτωση η απόδειξη απαιτεί πολλές πράξεις, κόπο και χρόνο, κάτι που δεν περίσσευε στους μαθητές, οπότε σε αυτό το σημείο το δέχομαι πιο εύκολα, παρόλα αυτά είναι πατέντες που δεν κοσμούν τα θέματα των Πανελληνίων εξετάσεων.
Μάκη αυτό με το σύνολο τιμών τώρα το πρόσεξα ότι δινόταν! Λύνοντας τα θέματα, για το Δ4 χρειάστηκε να δείξω ότι η συνάρτηση είναι αρνητική, κάτι που απ' ότι βλέπω δινόταν! Όπως δινόταν και τα κοίλα της συνάρτησης στο Γ3, παρ' ότι προέκυπταν! Οι συνάδελφοι που έδωσαν τα θέματα είχαν την αίσθηση ότι τα ζητούμενα είναι πολλά. Έκριναν όμως απαραίτητο να ζητήσουν συγκεκριμένα πράγματα, όπως τα Γ4, Δ4 και συνεπώς κάποια αυτονόητα ζητούμενα έγιναν δεδομένα!

Κώστα εντάξει με το Γ3, η απόδειξη της κυρτής προϋποθέτει πολλές πράξεις και χρόνο που δεν έχουμε... αλλά το σύνολο τιμών της συνάρτησης του Δ θέματος μου είναι δύσκολο να το δεκτό, αφού η απόδειξη της θέλει μόνο λίγες γραμμές. Τουλάχιστον να έλεγε "αποδείξτε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) \le 0}$ για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της" και στο ίδιο ερώτημα να πρόσθετε ότι άλλο ήθελε. Ας έδινε μια μονάδα γι αυτό και οι άλλες για το υπόλοιπο ερώτημα. Δεν θα ήταν καλύτερο έτσι;

Καταλαβαίνω την λογική τους, απλά δεν την δέχομαι ως τακτική...

killbill · #24

Δ2 Εσπερινού χωρίς χρήση θεωρήματος Fermat:

είναι $\frac{{g(x) - g(0)}}{{x - 0}} = \frac{{g(x) + 3}}{x}$

Για $x>0 , \frac{{g(x) + 3}}{x} \le \beta$ οπότε και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{g(x) + 3}}{x} \le \beta$

ομοίως για $x<0 , \frac{{g(x) + 3}}{x} \ge \beta$ οπότε και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{g(x) + 3}}{x} \ge \beta$

Επειδή η g(x)

είναι παραγωγίσιμη στο

, οι δύο σχέσεις συναληθεύουν για την τιμή β οπότε και το ζητούμενο

Μάκης Χατζόπουλος · #25

killbill έγραψε:Δ2 Εσπερινού χωρίς χρήση θεωρήματος Fermat:

είναι $\frac{{g(x) - g(0)}}{{x - 0}} = \frac{{g(x) + 3}}{x}$

Για $x>0 , \frac{{g(x) + 3}}{x} \le \beta$ οπότε και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{g(x) + 3}}{x} \le \beta$

ομοίως για $x<0 , \frac{{g(x) + 3}}{x} \ge \beta$ οπότε και $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{g(x) + 3}}{x} \ge \beta$

Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο , οι δύο σχέσεις συναληθεύουν για την τιμή β οπότε και το ζητούμενο

Μου θύμισες την απόδειξη του Fermat!!

pito · #26

Τα θέματα των επαναληπτικών της κατεύθυνσης όπως και της γενικής παιδείας μου φάνηκαν καλά αλλά πιο εύκολα από τα αντίστοιχα του ΜαΪου, ειδικά το δεύτερο και τρίτο θέμα. Μου άρεσαν περισσότερο το Β4 και το Δ1.Επίσης νομίζω ότι εδώ ο χρόνος έφτανε καλύτερα σε σύγκριση με τα θέματα του Μαϊου.
Είναι αλήθεια ότι έχει ατονίσει το ενδιαφέρον κάποιων για τα θέματα των επαναληπτικών , πράγμα που καταλαβαίνω κυρίως λόγω της κούρασης από όλη τη χρονιά αλλά και το γεγονός ότι για τους βαθμολογητές των πανελληνίων ο χρόνος είναι περιορισμένος. Εμένα προσωπικά και στην κατεύθυνση και στην γενική μου άρεσαν πάντα περισσότερο τα θέματα των επαναληπτικών από αυτά του ΜαΪου, ιδίως της γενικής είναι συνήθως πιο πρωτότυπα.

Όσο για το εκτός θέματος:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #27

Κάποια σχόλια για όλα όσα ειπωθηκαν παραπάνω από τους συναδέλφους:

1ον) Σε ότι αφορά την ποιότητα, το είδος και την ποσότητα των θεμάτων: Ανοίγει μια μεγάλη κουβέντα που η μαθηματική κοινότητα οφείλει να την κάνει με ειλικρίνεια και τόλμη .Έχω την αίσθηση ότι τόσα χρόνια έχουμε συνηθίσει σε όλο και περισσότερο δύσκολα θέματα με αποτέλεσμα και εμείς, ως εκπαιδευτικοί, να έχουμε εθιστεί στο είδος αλλά και στην ποσότητα( χρονικό όριο). Δεν μας απασχολεί πλέον, ή μας απασχολεί λιγότερο από όσο θα έπερεπε να μας απασχολεί,η διδακτική διαδικασία αλλά τα"τεχνάσματα" των εξετάσεων, η δυσκολία κ.α.Μια σειρά ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα ακόμα και από τα θεσμικά όργανα και ενώσεις μαθηματικών. Τι διδάσκουμε, γιατί το διδάσκουμε,πως το διδασκουμε,πόσο θα το διδάξουμε, πως το εξετάζουμε ,πως το αξιολογούμε κ.α.Αλήθεια σε πόσους από εμας έχει τύχει μαθητές μας να γράφουν σχετικά καλό βαθμό στις πανελλήνιες εξετάσεις και μετά λίγο καιρό να μην μπορούν να ερμηνεύσουν μια απλή μαθηματική έννοια;. Πράγμα που σημαίνει ότι δεν έμαθαν (δεν κατανόησαν στην πραγματικότητα) μαθηματικά αλλά όμως, έμαθαν καλά τις "τεχνικές των εξετάσεων" και την "μεθοδολογία".Μετά από αυτές τις παρατηρήσειςθα συμφωνήσω σχεδόν στο σύνολο των γραφομένων από τον Κώστα Σερίφη.

2ον) Σε ότι αφορά στην αντικατάσταση στα ολοκληρώματα: Σύμφωνώ πάλι με τον κ. Σερίφη. Σε ότι αφορά στο αόριστο αλοκλήρωμα η αντικατάσταση μεταβλητής είναι βοηθητική και τεχνική και μετά επανερχόμαστε στην αρχική μεταβλητή.Στο ορισμένο ολοκλήρωμα με την αντικατάσταση "συμπαρασύρονται" και τα άκρα ολοκλήρωσης (και τα μεταβλητά άκρα) και δεν επηρεάζεται το ολοκλήρωμα από το όνομα της μεταβλητής("βουβή μεταβλητή"). Άρα οι λύσεις που δόθηκαν για το θέμα Δ είναι σωστές κατά την άποψη μου.
Συνεχίστε την συζήτηση για το 1ο !!!

Κώστας Μαλλιάκας · #28

Μια παρατήρηση - ερώτηση προς συναδέλφους: Στο θέμα Β3 των επαναληπτικών ημερησίων δεν πρέπει πρώτα να αποδείξουμε ότι το πρώτο μέλος είναι πραγματικός αριθμός ώστε να έχει νόημα η διάταξη και οι ιδιότητες της; Ή μήπως εννοείται ;;;-!!!
Δεν έχω δει καθόλου λύσεις συναδέλφων οπότε αν υπάρχει το βάζω απλώς το θέμα συζήτηση.

killbill · #29

Κατά την απόδειξη του Β3, ξεκινάμε από το 1ο μέλος, κάνοντας πράξεις καταλήγουμε σε μια παράσταση με μέτρα οπότε εξασφαλίζεται ότι είναι πραγματικός.
Δεν το αποδεικνύουμε ξεχωριστά αλλά φαίνεται στην πορεία της απόδειξης

#30

Ας επισημάνουμε επίσης ότι στο Β.3 η δομή του ερωτήματος δεν πρέπει να περάσει απαρατήρητη μια και υπό κάποια έννοια είναι κάπως ....αιρετική. Το ''τετελεσμένο'' που φαίνεται να δημιουργείται πια , παρόλες τις συζητήσεις που έχουμε κάνει πρόσφατα στο mathematica , είναι το εξής :

Ανισότητες(ή ανισώσεις) στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών έχουν νόημα και ο μαθητής πρέπει πρώτα να εξασφαλίσει ότι και τα δύο μέλη είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η περίπτωση του Β.3 είναι ελαφράς μορφής βέβαια,ανάλογα και με τον τρόπο απόδειξης , αλλά το συμπέρασμα μάλλον δεν αλλάζει.Τι θα συνέβαινε αν ο μαθητής αντιμετώπιζε την ανισότητα όπως μια ανισότητα με πραγματικές μεταβλητές και την μετασχημάτιζε με ισοδυναμίες, χωρίς να εμπλέξει συζυγείς ; Το αδιέξοδο που δημιουργείται $[\displaystyle \frac {1}{ z_1z_2} (z_1-z_2)^2 \leq 0 ]$ έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ! Το φθινόπωρο αξίζει να γράψω μια τέτοια ''λύση'' και να αφήσω τους μαθητές να τη συνεχίσουν ή να την κρίνουν.
Όπως βλέπετε είμαστε ξανά στην αφετηρία της συζήτησης και ο σχετικός σκεπτικισμός (ή ο προβληματισμός ,αν θέλετε) εν μέρει παραμένει .

Μπάμπης

Κώστας Μαλλιάκας · #31

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας επισημάνουμε επίσης ότι στο Β.3 η δομή του ερωτήματος δεν πρέπει να περάσει απαρατήρητη μια και υπό κάποια έννοια είναι κάπως ....αιρετική. Το ''τετελεσμένο'' που φαίνεται να δημιουργείται πια , παρόλες τις συζητήσεις που έχουμε κάνει πρόσφατα στο mathematica , είναι το εξής :

Ανισότητες(ή ανισώσεις) στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών έχουν νόημα και ο μαθητής πρέπει πρώτα να εξασφαλίσει ότι και τα δύο μέλη είναι πραγματικοί αριθμοί.

Η περίπτωση του Β.3 είναι ελαφράς μορφής βέβαια,ανάλογα και με τον τρόπο απόδειξης , αλλά το συμπέρασμα μάλλον δεν αλλάζει.Τι θα συνέβαινε αν ο μαθητής αντιμετώπιζε την ανισότητα όπως μια ανισότητα με πραγματικές μεταβλητές και την μετασχημάτιζε με ισοδυναμίες, χωρίς να εμπλέξει συζυγείς ; Το αδιέξοδο που δημιουργείται $[\displaystyle \frac {1}{ z_1z_2} (z_1-z_2)^2 \leq 0 ]$ έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ! Το φθινόπωρο αξίζει να γράψω μια τέτοια ''λύση'' και να αφήσω τους μαθητές να τη συνεχίσουν ή να την κρίνουν.
Όπως βλέπετε είμαστε ξανά στην αφετηρία της συζήτησης και ο σχετικός σκεπτικισμός (ή ο προβληματισμός ,αν θέλετε) εν μέρει παραμένει .

Μπάμπης

Συμφωνώ και επαυξάνω κ.Μπάμπη. Πιστεύω πάντως ότι λίγοι μαθητές θα ακολουθούσαν την προηγούμενη πορεία. Αυτού του είδους οι σκέψεις οδηγούν στο λάθος συνήθως της απαλοιφής παρονομαστών και της έκπληξης στην κατάληξη $(z_{1}-z_{2})^{2}\leq 0$ και από εκεί και πέρα άγχος - διευκρινήσεις για τυχόν λάθη-ή παραδοχή για ισότητα με 0...Το ενδιαφέρον θα είναι σε αυτή την περίπτωση ακόμη μεγαλύτερο και Μπάμπη μας έδωσες καλή ιδέα για συζήτηση στην τάξη την επόμενη χρονιά.Αν βάζανε το θέμα τον Μάιο θα είχε ενδιαφέρον η στατιστική επεξεργασία των λύσεων...

Κώστας Μαλλιάκας · #32

killbill έγραψε:Κατά την απόδειξη του Β3, ξεκινάμε από το 1ο μέλος, κάνοντας πράξεις καταλήγουμε σε μια παράσταση με μέτρα οπότε εξασφαλίζεται ότι είναι πραγματικός.
Δεν το αποδεικνύουμε ξεχωριστά αλλά φαίνεται στην πορεία της απόδειξης

Το ξέρω ότι θα φανεί σε αυτή την συγκεκριμένη σειρά ενεργειών αλλά νομιμοποιείται να γίνονται ενέργειες πριν την απόδειξη ότι είναι πραγματικός και το πρώτο μέλος;Πιστεύω ότι είναι κάτι ανάλογο με το πεδίο ορισμού ή τους περιορισμούς στις εξισώσεις - ανισώσεις που προηγούνται των κινήσεων ή γίνονται επαληθεύσεις στο τέλος. Πάντως οι μαθητές δεν είναι τόσο έμπειροι στην πλειονότητα τους για να διακρίνουν το πρόβλημα και με καμία περίπτωση δεν είμαι της άποψης να κοπεί η παραμικρή μονάδα ακόμη και να είναι σωστή η άποψη μου περί δικαιολόγησης του πραγματικού 1ου μέλους.Οι θεματοδότες αλήθεια πώς σκέφτηκαν όταν επέλεγαν το θέμα; Επειδή είναι επαναληπτικές δεν το πολυψάχνουμε και μετά αρχίζουν τα "τετελεσμένα" αλλά άλλου είδους και όχι του κ. Μπάμπη ...

#33

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Μια παρατήρηση - ερώτηση προς συναδέλφους: Στο θέμα Β3 των επαναληπτικών ημερησίων δεν πρέπει πρώτα να αποδείξουμε ότι το πρώτο μέλος είναι πραγματικός αριθμός ώστε να έχει νόημα η διάταξη και οι ιδιότητες της; Ή μήπως εννοείται ;;;-!!!
Δεν έχω δει καθόλου λύσεις συναδέλφων οπότε αν υπάρχει το βάζω απλώς το θέμα συζήτηση.

Κώστα , χίλια συγνώμη

!

Ετοίμαζα από χθες στο μυαλό μου το θέμα του μηνύματος και το πρωί στο σχολείο δεν κοίταξα καθόλου τα προηγούμενα μηνύματα.Έτσι, δεν είδα το παραπάνω μήυνυμά σου.
Χαίρομαι πάντως που κάναμε την ίδια επισήμανση .Δεν κάνω καμία αλλαγή στο μήνυμά μου, μια και το έκανες παράθεση και έτσι δεν έχει νόημα.

Μπάμπης

Μάκης Χατζόπουλος · #34

Το βιβλίο είναι της ίδιας λογικής με αυτά που λέτε, δηλαδή αρχικά πρέπει να αποδείξουμε ότι τα μέλη αυτά είναι πραγματικοί αριθμοί (εκτός αν είναι προφανής η σχέση) και μετά να αποδείξουμε την διάταξη.

Δείτε άσκηση 6Β/σελ. 96 που δεν είναι προφανής η σχέση μιγαδικών ότι είναι πραγματικός αριθμός, ενώ στις ασκήσεις εφαρμογή 1/σελ. 99, 4δ, ε/σελ. 101, 5β/σελ. 101 και Β1/σελ. 101, θεωρούνται αυτονόητα ότι τα μέλη με τους μιγαδικούς είναι πραγματικοί αριθμοί οπότε δεν χρειάζεται να γίνει κάποια αναφορά.

Παρόλα αυτά στην άσκηση 7β/σελ. 124 (που είναι εκτός ύλης) δεν ακολουθείτε η ίδια λογική (και μοιάζει με την φιλοσοφία της άσκησης των Πανελληνίων εξετάσεων)

#35

killbill έγραψε:Κατά την απόδειξη του Β3, ξεκινάμε από το 1ο μέλος, κάνοντας πράξεις καταλήγουμε σε μια παράσταση με μέτρα οπότε εξασφαλίζεται ότι είναι πραγματικός.
Δεν το αποδεικνύουμε ξεχωριστά αλλά φαίνεται στην πορεία της απόδειξης

Συμφωνώ με το σχόλιό σου για τη συγκεκριμένη άσκηση και το συγκεκριμένο τρόπο λύσης .

Το βασικό ερώτημα όμως δεν είναι τόσο το πώς θα λύσει ο μαθητής την άσκηση , αλλά το ότι ο μαθητής τη λύνει χωρίς να ξέρει στην ουσία τι ακριβώς λύνει !!!Με άλλα λόγια , λύνει την άσκηση ... κατά τύχη , χωρίς στην ουσία να έχει λύσει από την αρχή το πιο σημαντικό ερώτημα που δεν είναι τίποτα άλλο παρά το ότι και τα δύο μέλη είναι πραγματικοί αριθμοί !

Νομίζω ότι στο μέλλον θα ...χρωστάμε στα παιδιά της τάξης μας ένα μικρό σχόλιο σε αυτού του είδους τις ασκήσεις που περιέχουν μιγαδικές μεταβλητές και ανισότητες.

Μπάμπης

#36

Μετά τις παραπάνω σκέψεις, ας θέσω το παρακάτω ερώτημα , που θα είχε ενδιαφέρον για τη σχολική τάξη :

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w

με $\displaystyle{|z|=|w|=1}$ .Να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle{ \frac {(z-w)^2}{zw} \leq 0 }$

Μπορεί για μας αυτή τη στιγμή που έχουμε φρέσκο το θέμα η άσκηση να φαίνεται βατή, στο μαθητή σίγουρα όμως θα δημιουργούσε εύλογα προβλήματα.Ας μην παραβλέπουμε επίσης ότι το ίδιο ερώτημα Β.3 θα μπορούσε να δοθεί ακριβώς με την παραπάνω μορφή , αλλά θα ήταν σαφώς πολύ πιο δύσκολο.

Μπάμπης

Κώστας Μαλλιάκας · #37

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Νομίζω ότι στο μέλλον θα ...χρωστάμε στα παιδιά της τάξης μας ένα μικρό σχόλιο σε αυτού του είδους τις ασκήσεις που περιέχουν μιγαδικές μεταβλητές και ανισότητες.

Μπάμπης

Αυτό το σημείο κ.Μπάμπη είναι νομίζω σημαντικό για εμάς! Χρωστάμε όντως και τέτοια σχόλια και πολλά άλλα αυτού του είδους και δεν ξέρω πώς θα τα προλαβαίνουμε όμως όλα...

#38

Για να επιβεβαιώσω τα όσα παραπάνω γράφτηκαν, θα πρότεινα προς διαπραγμάτευση την άσκηση:

Αν $\displaystyle{z=x+i}$ , όπου $\displaystyle{x\epsilon R}$ και $\displaystyle{k}$ , θετικός ακέραιος, να λυθεί η ανίσωση:

$\displaystyle{(kz+z-1)(z+2)\geq -\frac{41}{8}}$

pito · #39

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μετά τις παραπάνω σκέψεις, ας θέσω το παρακάτω ερώτημα , που θα είχε ενδιαφέρον για τη σχολική τάξη :

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με $\displaystyle{|z|=|w|=1}$ .Να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle{ \frac {(z-w)^2}{zw} \leq 0 }$

Μπορεί για μας αυτή τη στιγμή που έχουμε φρέσκο το θέμα η άσκηση να φαίνεται βατή, στο μαθητή σίγουρα όμως θα δημιουργούσε εύλογα προβλήματα.Ας μην παραβλέπουμε επίσης ότι το ίδιο ερώτημα Β.3 θα μπορούσε να δοθεί ακριβώς με την παραπάνω μορφή , αλλά θα ήταν σαφώς πολύ πιο δύσκολο.

Μπάμπης

Μια λύση:

Αφού $\displaystyle |z|=1\Rightarrow |z|^{2}=1\Rightarrow z=\frac{1}{\bar{z}}$ , όμοια $\displaystyle w=\frac{1}{\bar{w}}$

$\displaystyle \frac{(z-w)^{2}}{zw}\leq 0\Leftrightarrow \frac{(\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1}{\bar{w}})^{2}}{zw}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(\bar{w}-\bar{z})^{2}}{(\bar{z}\bar{w})|zw|^{2}}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow\frac{(\bar{w}-\bar{z})^{2}}{\bar{z}\bar{w}}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (\bar{w}-\bar{z})(\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1}{\bar{w}})\leq 0\Leftrightarrow -(\bar{w}-\bar{z})(w-z)\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow |w-z|^{2}\geq 0$ , που ισχύει

EDIT: Είχα ένα μικρό τυπογραφικό λάθος. Ευχαριστώ τον κύριο Μπάμπη για την επισήμανση.

#40

pito έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μετά τις παραπάνω σκέψεις, ας θέσω το παρακάτω ερώτημα , που θα είχε ενδιαφέρον για τη σχολική τάξη :

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με $\displaystyle{|z|=|w|=1}$ .Να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle{ \frac {(z-w)^2}{zw} \leq 0 }$

Μπορεί για μας αυτή τη στιγμή που έχουμε φρέσκο το θέμα η άσκηση να φαίνεται βατή, στο μαθητή σίγουρα όμως θα δημιουργούσε εύλογα προβλήματα.Ας μην παραβλέπουμε επίσης ότι το ίδιο ερώτημα Β.3 θα μπορούσε να δοθεί ακριβώς με την παραπάνω μορφή , αλλά θα ήταν σαφώς πολύ πιο δύσκολο.

Μπάμπης
Μια λύση:

Αφού $\displaystyle |z|=1\Rightarrow |z|^{2}=1\Rightarrow z=\frac{1}{\bar{z}}$ , όμοια $\displaystyle w=\frac{1}{\bar{w}}$

$\displaystyle \frac{(z-w)^{2}}{zw}\leq 0\Leftrightarrow \frac{(\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1}{\bar{w}})^{2}}{zw}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(\bar{w}-\bar{z})^{2}}{(\bar{z}\bar{w})|zw|^{2}}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow( \frac{\bar{w}-\bar{z}}{\bar{z}\bar{w}})^{2}\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow (\bar{w}-\bar{z})(\frac{1}{\bar{z}}-\frac{1}{\bar{w}})\leq 0\Leftrightarrow -(\bar{w}-\bar{z})(w-z)\leq 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow |w-z|^{2}\geq 0$ , που ισχύει

Μυρτώ , πολύ ωραία !
Μέσα στην απόδειξη αυτή, ενυπάρχει βέβαια και η απόδειξη του ότι το πρώτο μέλος είναι επίσης πραγματικός αριθμός.Θα με ρωτήσεις τώρα : '' αυτό είναι υποχρεωτικό να γίνει '';

Δεν είναι υποχρεωτικό, αλλά η λύση αυτή θα γίνει πιο φυσική, αν ο μαθητής θέσει το πρώτο μέρος

και με το κριτήριο του συζυγούς αποδείξει, με απλή εφαρμογή των ιδιοτήτων των συζυγών , ότι ο

είναι πραγματικός.Είδες άλλωστε πόσο έξυπνα εφάρμοσες την πληροφορία ότι οι μιγαδικοί μας έχουν μέτρο

, κάτι που χωρίς τη σχετική προεργασία δεν το επιχειρεί εύκολα κάποιος !
Εκτός αυτού, κάνοντάς το αυτό ο μαθητής θα γνωρίζει ίσως πιο καλά τι ακριβώς λύνει , μια και διάταξη στο σύνολο των μιγαδικών δεν υπάρχει !
Ας κάνουμε επιπλέον μια παρατηρησούλα χάριν της κουβέντας και μόνο: αν στην παραπάνω λύση αντικαταστήσουμε από την αρχή και στον παρανομαστή τους μιγαδικούς με τα αντίστροφα των συζυγών τους, έχουμε ένα μικρό όφελος.

Μπάμπης

Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Re: Μαθηματικά Κατευθυνσης 2012 Eπαναληπτικές

Μέλη σε σύνδεση