Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2014

Μάκης Χατζόπουλος · #21

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Επειδή με ρώτησαν μερικοί συνάδελφοι για 2η λύση στο θέμα Δ3, όπως την πρότεινε η Επιτροπή των θεμάτων, γράφω τα εξής.
Είναι σχεδόν όμοια με αυτή που περιγράφει ο Μάκης Χατζόπουλος και ο Αργύρης, αλά όπως ξέρετε γενικά οι υποδείξεις της Επιτροπής είναι πολύ συνοπτικές.
Καλό είναι, στο σχήμα του Μάκη να φαίνονται και οι δύο εφαπτόμενες η και η ,
που είναι παράλληλες και συμμετρικές ως προς την και να γραφεί μία καλύτερη εξήγηση για την ελάχιστη απόσταση,
διότι γνωρίζουμε ότι πάντα υπάρχει μία δυσπιστία προς τις γεωμετρικές λύσεις των θεμάτων.
Δεν έχω σκάνερ στο σπίτι για να σκανάρω σήμερα τις υποδείξεις τις Επιτροπής.

Ανδρέας Πούλος

Ανδρέα θα συμφωνήσω ότι η δεύτερη λύση μου, η γεωμετρική, είναι συνοπτική και την έγραψα γρήγορα πιο πολύ να προλάβω τις πρώτες σκέψεις και συμπεράσματα, πριν ατονίσει το ενδιαφέρον, που έτσι και αλλιώς είναι πολύ μειωμένο στις Επαναληπτικές εξετάσεις. Επίσης την έγραψα για να προβλέψω την λύση της επιτροπής, όπως είπες ότι έγραψες και με έτρωγε η περιέργεια...

Επίσης περιμένω να μας πει με ποια άσκηση προς μηνός έμοιαζε.

Λογικά θα έχω τις ενδεικτικές την Δευτέρα και θα τις δω... όποιος τις θέλει θα τις αναρτήσω ως συνήθως στο lisari.

Αν θέλουμε μια πιο αναλυτική Γεωμετρική απόδειξη, νομίζω ότι του Αργύρη μας καλύπτει, αν και δεν είχα κάτι τέτοιο στο μυαλό μου. Με την πρώτη ευκαιρία θα την βελτιώσω...

paylos · #22

Για το Δ3.

Τα σημεία ${\rm A}\left( {x,{\rm{ }}f^{ - 1} \left( x \right)} \right)$ και $B\left( {f^{ - 1} \left( x \right),x{\rm{ }}} \right)$
είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $\varepsilon :y = x$

Επομένως $\left( {AB} \right) = 2d\left( {A,\varepsilon } \right) = \frac{{\left| {x - f^{ - 1} \left( x \right)} \right|}}{{\sqrt {1^2 + \left( { - 1} \right)^2 } }} = \frac{{\left| {x - e^x \left( {x^2 - 2x + 3} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }}$

Έστω $g\left( x \right) = x - e^x \left( {x^2 - 2x + 3} \right)$ , $x \in R$

$g'\left( x \right) = 1 - e^x \left( {x^2 + 1} \right)$

$g''\left( x \right) = - e^x \left( {x + 1} \right)^2 \le 0$ . Το ίσον ισχύει μόνο όταν x = - 1

Άρα η $g'\left( x \right)$ είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Είναι $g'\left( 0 \right) = 0$

Αν x > 0

τότε $g'\left( x \right) < g'\left( 0 \right) \Rightarrow g'\left( x \right) < 0$

Αν x < 0

τότε $g'\left( x \right) > g'\left( 0 \right) \Rightarrow g'\left( x \right) > 0$

Επομένως για x = 0

η $g\left( x \right)$ παίρνει μέγιστη τιμή το $g\left( 0 \right) = - 3$

Δηλαδή για κάθε $x \in R$
ισχύει $g\left( x \right) \le - 3 \Rightarrow \left| {g\left( x \right)} \right| \ge 3 \Rightarrow \frac{{\left| {g\left( x \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{3}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 2\frac{{\left| {g\left( x \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }} \ge \frac{6}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {AB} \right) \ge 3\sqrt 2$

pito · #23

Από τα πιο όμορφα θέματα των τελευταίων ετών ήταν κατά την γνώμη μου τα θέματα των επαναληπτικών πανελληνίων στα μαθηματικά κατεύθυνσης. Θέματα που προορίζονται για μαθητές ,που ξεχωρίζουν τους αριστούχους και ανεβάζουν τις βάσεις, αλλά δεν ρίχνουν την ψυχολογία τους!

Καλά αποτελέσματα σε όλους και καλό καλοκαίρι!

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2014

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης Επαναληπτικές 2014

Μέλη σε σύνδεση