Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

NikosTheodorakis · #141

nks έγραψε:
Επιτροπή Θεμάτων 16 έγραψε:Δημοσιεύουμε την 1η Έκδοση του Δελτίου Λύσεων του στη σημερινή εξέταση των μαθητών στα Μαθηματικά που επιμελήθηκαν τα Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.

Δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση στις εναλλακτικές προσεγγίσεις κάποιων επιμέρους ερωτημάτων με σκοπό τη διευκόλυνση και των συναδέλφων Βαθμολογητών των οποίων το δύσκολο έργο ξεκινά μεθαύριο. Οι εναλλακτικοί τρόποι βρίσκονται στο τέλος του Δελτίου.

Τυχόντα τυπογραφικά/λάθη ή εναλλακτικές προσεγγίσεις σε κάποια ερωτήματα (μόνο αν διαφέρουν στην ουσία της λύσης και όχι στον τρόπο γραφής) μπορείτε να τα στέλνετε με προσωπικό μήνυμα στον παρόντα λογαριασμό είτε με email στο info (AT) mathematica.gr

Ευχόμαστε καλή συνέχεια στους μαθητές μας που διαγωνίστηκαν και καλά αποτελέσματα!

Εκ μέρους της επιτροπής σύνταξης του Δελτίου Λύσεων

MATHEMATICA GR Μαθ Θετ κατ Λύσεις Θεμάτων 2016(Έκδοση 1).pdf

Στο Θέμα Δ4 εγώ έδωσα άλλη λύση.
Διαίρεσα αριθμητή και παρονομαστή με x οπότε θα αριθμητής με κριτήριο παρεμβολής είναι 0 και ο παρονομαστής με de l'hospital έβγαλα ότι είναι αριθμός διάφορος του μηδενός γιατί ξέρουμε ότι f'(x)>0.
Δηλαδή τελικά ολόκληρο το όριο κάνει 0.
Δεν είναι σωστό;

Ναι σωστό είναι, καλό είναι όταν διαίρεσες αριθμητή και παρονομαστή με x να τόνισες ότι είναι διάφορο του 0, καθώς τείνει στο συν άπειρο. Αλλά και να μην το τόνισες είναι προφανές, οπότε πήρες 6 στα 6 μόρια. Καλή συνέχεια!

Υ.Γ. Εννοείται ότι στον κανόνα DLH πρέπει να τονίσεις ότι έχεις απροσδιοριστία συν άπειρο δια συν άπερο, που απαιτεί πρώτα να έχεις βρεί το όριο της f στο συν άπειρο.

tzkostas · #142

cretanman έγραψε:
GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.
Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.

Εγω που δεν διεκρινα τις δυο περιπτωσεις θα παρω κανα μοριο? Επισης στο Γ2 βρηκα μονο τους 2 τυπους θα παρω και απο εκει τιποτα?

nks · #143

NikosTheodorakis έγραψε: Ναι σωστό είναι, καλό είναι όταν διαίρεσες αριθμητή και παρονομαστή με x να τόνισες ότι είναι διάφορο του 0, καθώς τείνει στο συν άπειρο. Αλλά και να μην το τόνισες είναι προφανές, οπότε πήρες 6 στα 6 μόρια. Καλή συνέχεια!

Υ.Γ. Εννοείτε ότι στον κανόνα DLH πρέπει να τονίσεις ότι έχεις απροσδιοριστία συν άπειρο δια συν άπερο, που απαιτεί πρώτα να έχεις βρεί το όριο της f στο συν άπειρο.

Εννοείται ότι τα τόνισα. Ευχαριστώ

NikosTheodorakis · #144

tzkostas έγραψε:
cretanman έγραψε:
GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.
Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.
Εγω που δεν διεκρινα τις δυο περιπτωσεις θα παρω κανα μοριο? Επισης στο Γ2 βρηκα μονο τους τυπους θα παρω και απο εκει τιποτα?

Στείλε μου τη λύση που έδωσες στο Γ4 και θα σου πόσα μόρια να περιμένεις να πάρεις. Στο Γ2 βρήκες μόνο τους τύπους τι εννοείς; Απλά έγραψες τους 4 τύπους που προκύπτουν χωρίς να εξηγείς τη διαδικασία εύρεσης; Αν ναι τότε θα πάρεις κάποια μόρια, αλλά ελάχιστα, προσωπικά 2 το πολύ 3 στα 8 θα σου έδινα, αλλά εξαρτάται από τις οδηγίες που θα δωθούν κυρίως και λίγο και από τον βαθμολογητή. Καλή συνέχεια

NikosTheodorakis · #145

Kostas Tzimoulias έγραψε:Εγώ ώς μαθητής για κακή μου τύχη επειδή πάντα στις διαφορικές αυτές εξισώσεις κοιτάω αν μπορώ να βρώ μια προφανή συνάρτηση. Χθες δεν είδα ότι ο όρος ήταν και απο απροσεξία έιδα οτι ήταν παρασυρόμενος απο αυτή τη βλακεία με λάθος τρόπο απέδειξα ότι η συνάρτηση ήταν η και Δ2,Δ3,Δ3 πήγαν κατα διαόλου...σωστά θα ήταν αν είχα αποδείξει με σωστό τρόπο τη συνάρτηση αλλά δε τα κατάφερα και ούτε νομίζω θα τα κατάφερνα αφού ο χρόνος να συλλάβω την ιδέα και να την αποδείξω δε μου έφτανε. Εκει που υπολόγιζα δηλαδή να χάσω απο το Γ2 ( επειδή βρήκα 2 συναρτησεις) και απο το Γ4 επειδη δεν πήρα δευτερη περιπτωση για το ΘΜΤ κατέληξα να πάρω μηδεν σε 3 ερωτηματα...και απο ένα 18 και γιατί όχι και 18,8 που υπολόγιζα είμαι στο 15.5 με το ζόρι..υπάρχει μια περίπτωση να πάρω έστω λίγα μόρια στα 3 αυτά ερωτήματα? φοβάμαι μην ο βαθμολογητής νομίζει οτι πήγα να τον κοροιδέψω με αυτή τη λανθασμένη απόδειξη. τα χειρότερα συμβαίνουν εκεί που δε τα περιμένεις τελικά

Μην απελπίζεσαι, συνέχισε δυνατά στα επόμενα, ποτέ δεν ξέρεις πως θα βαθμολογηθείς και στο κάτω κάτω τίποτα δεν κρίνεται από ένα μάθημα. Δεν μπορώ να στο εγγυηθώ για αρκετά μόρια, αλλά κάποια μόρια θα τα παρεις γιατι και με την συνάρτηση που βρήκες χρησιμοποιείς μαθηματικές διαδικασίες που πρέπει να βαθμολογηθούν. Είναι δύσκολη περίπτωση, ας την αφήσουμε στους ειδικούς βαθμολογητές. Εσύ απλά συνέχισε μην πτοείσαι όσο δύσκολο και αν σου φαίνεται. Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα!

tzkostas · #146

NikosTheodorakis έγραψε:
tzkostas έγραψε:
cretanman έγραψε:
GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.
Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.
Εγω που δεν διεκρινα τις δυο περιπτωσεις θα παρω κανα μοριο? Επισης στο Γ2 βρηκα μονο τους τυπους θα παρω και απο εκει τιποτα?
Στείλε μου τη λύση που έδωσες στο Γ4 και θα σου πόσα μόρια να περιμένεις να πάρεις. Στο Γ2 βρήκες μόνο τους τύπους τι εννοείς; Απλά έγραψες τους 4 τύπους που προκύπτουν χωρίς να εξηγείς τη διαδικασία εύρεσης; Αν ναι τότε θα πάρεις κάποια μόρια, αλλά ελάχιστα, προσωπικά 2 το πολύ 3 στα 8 θα σου έδινα, αλλά εξαρτάται από τις οδηγίες που θα δωθούν κυρίως και λίγο και από τον βαθμολογητή. Καλή συνέχεια

Ειπα οτι εχει προφανης ριζα την χ=0.Μετα επειδη f΄ γν αυξουσα και απο δυο ΘΜΤ στα διαστηματα [ημχ,ημχ+3] , [χ,χ+3] ειπα οτι ξ1<ξ2 αρα f'(ξ1)<f'(ξ2) οποτε
το πρωτο μελος της εξισωσης ειναι μικροτερο απ΄το δευτερο αρα δεν εχει ριζα για χ>0.

NikosTheodorakis · #147

tzkostas έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε:
tzkostas έγραψε:
cretanman έγραψε:
GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.
Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.
Εγω που δεν διεκρινα τις δυο περιπτωσεις θα παρω κανα μοριο? Επισης στο Γ2 βρηκα μονο τους τυπους θα παρω και απο εκει τιποτα?
Στείλε μου τη λύση που έδωσες στο Γ4 και θα σου πόσα μόρια να περιμένεις να πάρεις. Στο Γ2 βρήκες μόνο τους τύπους τι εννοείς; Απλά έγραψες τους 4 τύπους που προκύπτουν χωρίς να εξηγείς τη διαδικασία εύρεσης; Αν ναι τότε θα πάρεις κάποια μόρια, αλλά ελάχιστα, προσωπικά 2 το πολύ 3 στα 8 θα σου έδινα, αλλά εξαρτάται από τις οδηγίες που θα δωθούν κυρίως και λίγο και από τον βαθμολογητή. Καλή συνέχεια
Ειπα οτι εχει προφανης ριζα την χ=0.Μετα επειδη f΄ γν αυξουσα και απο δυο ΘΜΤ στα διαστηματα [ημχ,ημχ+3] , [χ,χ+3] ειπα οτι ξ1<ξ2 αρα f'(ξ1)<f'(ξ2) οποτε
το πρωτο μελος της εξισωσης ειναι μικροτερο απ΄το δευτερο αρα δεν εχει ριζα για χ>0.

Μόνο αν είναι ξένα τα διαστήματα και μάλιστα με $\displaystyle{sinx + 3 < x}$ μπορείς να πείς ότι ξ1 μικρότερο του ξ2 και θέλει απόδειξη που εδώ δεν νομίζω να είναι ξένα. Αλλιώς το ξ1 δεν μπορείς να πεις ότι είναι μικρότερο από το ξ2, άρα απέδειξες μόνο την ύπαρξη μιας ρίζας, της προφανούς. Θα πάρεις λίγα μόρια, δεν ξέρω πόσα, εγώ θα έδινα 2 στα 9 σίγουρα, μην αρκεστείς σε αυτό ρώτα και τον καθηγητή σου και άλλους συναδέλφους. Καλή συνέχεια!

1=object? · #148

Το Γ4 βγαίνει και μετά από αντικατάσταση των "χ" στην συνάρτηση f. Η λύση του συγκεκριμένου τρόπου παίρνει αρκετές γραμμές τις οποίες αδυνατώ να παραθέσω εδώ...
Μπορεί κάποιος να το τολμήσει...
Καλή συνέχεια!!!

dennis18 · #149

θα ήθελα να ρωτήσω κάτι σχετικά με τη βαθμολόγηση στο Δ2(α)
ανέφερα ότι έστω ότι υπάρχει χο που ανήκει στο ΙR στο οποίο η f να παρουσιάζει ακρότατο
θα πρέπει f'(xo)=0 και κατέληξα με την γνωστή διαδικασία σε άτοπο
επειδή όμως λόγω και του άγχους ξέχασα να αναφέρω ότι το f'(xo)=0 προκύπτει από το θεώρημα fermat
αναρωτιέμαι αν θα χάσω σχεδόν όλο το ερώτημα

Σας ευχαριστώ !

Βασίλης Καλαμάτας · #150

Μια μεταμεσονύκτια απόπειρα προσέγγισης του τύπου της συνάρτησης του Δ θέματος για την οποία θεωρώ γνωστό ότι είναι γνήσια αύξουσα, με f(0)=0

και τη σχέση που ισχύει $f(f(x))=e^{f(x)}+x-e^{x}$ (1).

Θεωρώ $g(x)=e^{x}-x$ , τότε $g'(x)=e^{x}-1<0$ για x<0

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $(-\propto ,0]$ .

1. Έστω ότι υπάρχει x<0

με

, τότε

,
άρα $g(f(x))>g(x)\Rightarrow e^{f(x)}-f(x)>e^{x}-x\Rightarrow e^{f(x)}-e^{x}+x>f(x)\Rightarrow$
$\Rightarrow f(f(x))>f(x)\Rightarrow f(x)>x$ άτοπο.

2. Έστω ότι υπάρχει x<0

με

, τότε $x<0\Rightarrow f(x)<0$ ,
άρα $g(f(x))<g(x)\Rightarrow e^{f(x)}-f(x)<e^{x}-x\Rightarrow e^{f(x)}-e^{x}+x<f(x)\Rightarrow$
$\Rightarrow f(f(x))<f(x)\Rightarrow f(x)<x$ άτοπο.

Άρα για x<0

ισχύει

.

Η ίδια μέθοδος δε λειτουργεί και για x>0

. Επειδή ο χρόνος αυτές τις μέρες είναι περιορισμένος και το μυαλό πολύ ταλαιπωρημένο, παρακαλώ τους συναδέλφους να ελέγξουν τις παραπάνω σκέψεις. Αν δεν έχουν κάποιο λάθος, θα το ξανακοιτάξω μήπως καταφέρω να το συμπληρώσω όταν βρω χρόνο!
Καλά αποτελέσματα σε όλους!!!

cranias · #151

Καλησπέρα σχετικά με το ερώτημα Δ3 ένας μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:
Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με το χ. Στη συνέχεια έκανε Θ.Μ.Τ για την f στο [0,χ] και βρήκε ξ: f'(ξ)=(f(x)-f(0))/x=f(x)/x. Μετά αντικατέστησε στον παρονομαστή του κλάσματος τον αριθμό f'(ξ) ο οποίος είναι διάφορος του μηδενός από προηγούμενο ερώτημα. Στο τέλος δείχνει πως ο αριθμητής έχει όριο το μηδέν με Κ.Π. οπότε συνολικά και το όριο είναι μηδέν.
Είναι σωστή αυτή η λύση;

Kostas Tzimoulias · #152

NikosTheodorakis έγραψε:
Kostas Tzimoulias έγραψε:Εγώ ώς μαθητής για κακή μου τύχη επειδή πάντα στις διαφορικές αυτές εξισώσεις κοιτάω αν μπορώ να βρώ μια προφανή συνάρτηση. Χθες δεν είδα ότι ο όρος ήταν και απο απροσεξία έιδα οτι ήταν παρασυρόμενος απο αυτή τη βλακεία με λάθος τρόπο απέδειξα ότι η συνάρτηση ήταν η και Δ2,Δ3,Δ3 πήγαν κατα διαόλου...σωστά θα ήταν αν είχα αποδείξει με σωστό τρόπο τη συνάρτηση αλλά δε τα κατάφερα και ούτε νομίζω θα τα κατάφερνα αφού ο χρόνος να συλλάβω την ιδέα και να την αποδείξω δε μου έφτανε. Εκει που υπολόγιζα δηλαδή να χάσω απο το Γ2 ( επειδή βρήκα 2 συναρτησεις) και απο το Γ4 επειδη δεν πήρα δευτερη περιπτωση για το ΘΜΤ κατέληξα να πάρω μηδεν σε 3 ερωτηματα...και απο ένα 18 και γιατί όχι και 18,8 που υπολόγιζα είμαι στο 15.5 με το ζόρι..υπάρχει μια περίπτωση να πάρω έστω λίγα μόρια στα 3 αυτά ερωτήματα? φοβάμαι μην ο βαθμολογητής νομίζει οτι πήγα να τον κοροιδέψω με αυτή τη λανθασμένη απόδειξη. τα χειρότερα συμβαίνουν εκεί που δε τα περιμένεις τελικά
Μην απελπίζεσαι, συνέχισε δυνατά στα επόμενα, ποτέ δεν ξέρεις πως θα βαθμολογηθείς και στο κάτω κάτω τίποτα δεν κρίνεται από ένα μάθημα. Δεν μπορώ να στο εγγυηθώ για αρκετά μόρια, αλλά κάποια μόρια θα τα παρεις γιατι και με την συνάρτηση που βρήκες χρησιμοποιείς μαθηματικές διαδικασίες που πρέπει να βαθμολογηθούν. Είναι δύσκολη περίπτωση, ας την αφήσουμε στους ειδικούς βαθμολογητές. Εσύ απλά συνέχισε μην πτοείσαι όσο δύσκολο και αν σου φαίνεται. Καλή συνέχεια και καλά αποτελέσματα!

να εισαι καλά φίλε. προσπαθώ...απλά δε το περίμενα με τίποτα και μου τι δίνει ακόμα περισσότερο επειδή ήξερα τους τρόπους λύσεις των ερωτημάτων και με την <<πεπατημένη>>, δεν ξερω γιατί επέλεξα εκείνη την ώρα να κάνω αυτή τη βλακεία (μην πω τίποτα άλλο)

NikosTheodorakis · #153

dennis18 έγραψε:θα ήθελα να ρωτήσω κάτι σχετικά με τη βαθμολόγηση στο Δ2(α)
ανέφερα ότι έστω ότι υπάρχει χο που ανήκει στο ΙR στο οποίο η f να παρουσιάζει ακρότατο
θα πρέπει f'(xo)=0 και κατέληξα με την γνωστή διαδικασία σε άτοπο
επειδή όμως λόγω και του άγχους ξέχασα να αναφέρω ότι το f'(xo)=0 προκύπτει από το θεώρημα fermat
αναρωτιέμαι αν θα χάσω σχεδόν όλο το ερώτημα

Σας ευχαριστώ !

Μην αγχώνεσαι μπορεί να μη χάσεις και τίποτα, εγώ δεν θα σου έκοβα αφού γράφεις τουλάχιστον τις προϋποθέσεις του θεωρήματος, καλή συνέχεια!

NikosTheodorakis · #154

cranias έγραψε:Καλησπέρα σχετικά με το ερώτημα Δ3 ένας μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:
Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με το χ. Στη συνέχεια έκανε Θ.Μ.Τ για την f στο [0,χ] και βρήκε ξ: f'(ξ)=(f(x)-f(0))/x=f(x)/x. Μετά αντικατέστησε στον παρονομαστή του κλάσματος τον αριθμό f'(ξ) ο οποίος είναι διάφορος του μηδενός από προηγούμενο ερώτημα. Στο τέλος δείχνει πως ο αριθμητής έχει όριο το μηδέν με Κ.Π. οπότε συνολικά και το όριο είναι μηδέν.
Είναι σωστή αυτή η λύση;

Εγώ θα τη δεχόμουν τη λύση, αρκεί να τονίσει ότι το x είναι θετικό αφού τείνει στο συν άπειρο (για να μπορεί να διαιρεί και να σχηματίσει το διάστημα [0, x]) και να εφαρμόσει σωστά το κριτήριο παρεμβολής για το όριο του αριθμητή.

chrispapajohn · #155

NikosTheodorakis έγραψε:
tzkostas έγραψε:
NikosTheodorakis έγραψε:
tzkostas έγραψε:
cretanman έγραψε:
GiorgosSim έγραψε:
cretanman έγραψε:Εναλλακτικός τρόπος για το Γ4

Θα δείξουμε ότι η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης.

Υποθέτουμε λοιπόν, αντίθετα, ότι υπάρxει που να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει $|\eta\mu x_0|<x_0$ (από τη γνωστή ανισότητα $|\eta\mu x|\leq |x|$ με ισότητα μόνο για ) καθώς επίσης $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3$ και .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $|\eta\mu x_0|+3<x_0$ τότε $|\eta\mu x_0|< |\eta\mu x_0|+3<x_0<x_0+3$ και επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right], \ \left[x_0,x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, |\eta\mu x_0|+3\right) , \ \xi_2 \in \left(x_0,x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$3f'(\xi_1)=3f'(\xi_2)$ απ΄όπου $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

$\bullet$ Αν $x_0\leq |\eta\mu x_0|+3$ τότε $|\eta\mu x_0|<x_0\leq |\eta\mu x_0|+3<x_0+3$ .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: $f(x_0)-f\left(|\eta\mu x_0|\right)=f(x_0+3)-f\left(|\eta\mu x_0|+3\right)$

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα $\left[|\eta\mu x_0|, x_0\right], \ \left[|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right]$ άρα υπάρxουν $\xi_1 \in \left(|\eta\mu x_0|, x_0) , \ \xi_2 \in \left(|\eta\mu x_0|+3, x_0+3\right)$ ώστε η εξίσωση να γράφεται:

$(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_1)=(x_0-|\eta\mu x_0|)f'(\xi_2)$ και αφού $x_0-|\eta\mu x_0|\neq 0$ άρα $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και , κι έτσι παίρνουμε $\xi_1=\xi_2$ , πράγμα άτοπο αφού τα $\xi_1, \xi_2$ ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

Χαιρετώ την αγαπητή παρέα του . Ολόιδια ακριβώς λύση με τον κ. Cretaman έκανα. Απλά έχω ενδοιασμούς μήπως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στα διαστήματα και μπλέκονται σε κάποια περίπτωση.
Δεν τίθεται τέτοιο θέμα. Αυτός είναι και ο λόγος που παίρνουμε περιπτώσεις (στη δεύτερη περίπτωση τροποποιούμε και την εξίσωση): Για να μην έχουμε αλληλοεπικάλυψη διαστημάτων και έτσι να καταλήξουμε σε άτοπο.
Εγω που δεν διεκρινα τις δυο περιπτωσεις θα παρω κανα μοριο? Επισης στο Γ2 βρηκα μονο τους τυπους θα παρω και απο εκει τιποτα?
Στείλε μου τη λύση που έδωσες στο Γ4 και θα σου πόσα μόρια να περιμένεις να πάρεις. Στο Γ2 βρήκες μόνο τους τύπους τι εννοείς; Απλά έγραψες τους 4 τύπους που προκύπτουν χωρίς να εξηγείς τη διαδικασία εύρεσης; Αν ναι τότε θα πάρεις κάποια μόρια, αλλά ελάχιστα, προσωπικά 2 το πολύ 3 στα 8 θα σου έδινα, αλλά εξαρτάται από τις οδηγίες που θα δωθούν κυρίως και λίγο και από τον βαθμολογητή. Καλή συνέχεια
Ειπα οτι εχει προφανης ριζα την χ=0.Μετα επειδη f΄ γν αυξουσα και απο δυο ΘΜΤ στα διαστηματα [ημχ,ημχ+3] , [χ,χ+3] ειπα οτι ξ1<ξ2 αρα f'(ξ1)<f'(ξ2) οποτε
το πρωτο μελος της εξισωσης ειναι μικροτερο απ΄το δευτερο αρα δεν εχει ριζα για χ>0.
Μόνο αν είναι ξένα τα διαστήματα και μάλιστα με $\displaystyle{sinx + 3 < x}$ μπορείς να πείς ότι ξ1 μικρότερο του ξ2 και θέλει απόδειξη που εδώ δεν νομίζω να είναι ξένα. Αλλιώς το ξ1 δεν μπορείς να πεις ότι είναι μικρότερο από το ξ2, άρα απέδειξες μόνο την ύπαρξη μιας ρίζας, της προφανούς. Θα πάρεις λίγα μόρια, δεν ξέρω πόσα, εγώ θα έδινα 2 στα 9 σίγουρα, μην αρκεστείς σε αυτό ρώτα και τον καθηγητή σου και άλλους συναδέλφους. Καλή συνέχεια!

Καλημέρα υπάρχει καμία γνώμη για την κατανομή των μορίων στα Γ2 και Γ4 για παράδειγμα εγω στο Γ2 έκανα κανονικά την απόδειξη με τη διατήρηση αλλά μέσα στο άγχος μου ξέχασα τις 2 δίκλαδες και στο Γ4 έκανα τη μισή απο τη λύση του K. Cretaman λογω χρόνου, ενω πολλά παιδια δεν ασχολήθηκαν με το αν τα διαστήματα είναι ξένα η οχι απλώς έκαναν ΘΜΤ... Ποιά είναι η γνώμη σας για τη μοριοδότηση αυτών των λύσεων?

Ζήνων Λυγάτσικας · #156

gbaloglou έγραψε:
mathematica έγραψε:Καλημέρα σας
Νομίζω πως στην παρούσα φάση (εν μέσω εξετάσεων) ,θα πρέπει να αρκεστούμε στο προφανές. Τα θέματα ήταν σαφώς διατυπωμένα, υπήρχε κλιμάκωση δυσκολίας ώστε να υπάρξει η απαιτούμενη κατανομή στη βαθμολογία, εξέλειπαν φρικαλέα λάθη από πλευράς μαθηματικής ορθότητας και ευτυχώς για τους υποψήφιους , φαίνεται πως τα μέλη της επιτροπής έδειξαν την απαραίτητη εγκράτεια ώστε να μην προτείνουν ακαλαίσθητες , επιδεικτικές μαθηματικές υπερκατασκευές που έχουμε συναντήσει κατά το παρελθόν.
Ναι, αλλά τα προβλήματα εξακολουθούν να μην έχουν 'ουσία' και ενδιαφέρον, εκφράζει ας πούμε κάποια βαθύτερη αλήθεια το Γ4; Πόσο θα μας ενδιέφερε ως αποτέλεσμα ... αν δεν ήταν θέμα εξετάσεων; [Φυσικά αυτό το ερώτημα θα μπορούσε να τεθεί σχεδόν για κάθε θέμα που μπορεί να φανταστεί κανείς, "έξω από τον χορό πολλά τραγούδια λέμε", κλπ]

Συμφωνώ. Θα ήθελα να προσέξουμε λίγο περισσότερο αυτή τη πρόταση. Θα ήταν εποικοδομητικό για όλους μας αν gbaloglou ξεκινούσες τη συζήτηση.

#157

cranias έγραψε:Καλησπέρα σχετικά με το ερώτημα Δ3 ένας μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:
Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με το χ. Στη συνέχεια έκανε Θ.Μ.Τ για την f στο [0,χ] και βρήκε ξ: f'(ξ)=(f(x)-f(0))/x=f(x)/x. Μετά αντικατέστησε στον παρονομαστή του κλάσματος τον αριθμό f'(ξ) ο οποίος είναι διάφορος του μηδενός από προηγούμενο ερώτημα. Στο τέλος δείχνει πως ο αριθμητής έχει όριο το μηδέν με Κ.Π. οπότε συνολικά και το όριο είναι μηδέν.
Είναι σωστή αυτή η λύση;

Είναι λάθος λύση.

#158

gbaloglou έγραψε:Αλέξανδρε νομίζω, σε σχέση και με το ερώτημα φίλου μαθηματικού που δεν γράφει στο , ότι ο παραπάνω συλλογισμός σου μπορεί να επεκταθεί στο εξής:

Αν είναι σημεία πάνω στο γράφημα κυρτής συνάρτησης τέτοια ώστε $A\prec B\prec C\prec D$ ή $A\prec C\prec B\prec D$ τότε η κλίση του είναι μικρότερη της κλίσης του .

Επανέρχομαι με μία διαφορετική προσέγγιση, και αυστηρή αναλυτική δικαιολόγηση της διαισθητικής γεωμετρικής ερμηνείας:

Θέτοντας A=(a,f(a))

,

, η παραπάνω πρόταση επαναδιατυπώνεται ως εξής:

Αν η

είναι κυρτή και αν a<b<c<d

ή

τότε $\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(d)-f(c)}{d-c}$ .

[Η πρόταση αυτή γενικεύει το Γ4 κατά μη τετριμμένο τρόπο, καθώς ΔΕΝ υποθέτουμε ότι b-a=d-c

.]

Απόδειξη: Στην εύκολη περίπτωση a<b<c<d

προκύπτει άμεσα η $\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi _1)<f'(\xi _2)=\frac{f(d)-f(c)}{d-c}$ , όπου $\xi _1\in(a,b)$ , $\xi _2\in(c,d)$ . Στην περίπτωση a<c<b<d

ΔΕΝ βλέπω -- προς το παρόν -- κάποια γενίκευση της απόδειξης του Αλέξανδρου, οπότε καταφεύγω στην γεωμετρική απόδειξη του συνημμένου: κλίση(

)

κλίση(

)

κλίση(

).

[Για την κλίση(

)

κλίση(

), δηλαδή την $\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(b)-f(c)}{b-c}$ , θεωρούμε την $g(x)=\displaystyle\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$ , οπότε $g'(x)=\displaystyle\frac{-f(x)+f(b)+f'(x)(x-b)}{(b-x)^2}$ , και για τον αριθμητή h(x)=-f(x)+f(b)+f'(x)(x-b)

ισχύουν οι h(b)=0

,

για

, άρα

για

, συνεπώς η g(x)

είναι αύξουσα για x<b

και ισχύει η ζητούμενη g(a)<g(c)

. Για την κλίση(

)

κλίση(

), δηλαδή την $\displaystyle\frac{f(b)-f(c)}{b-c}<\frac{f(d)-f(c)}{d-c}$ , ενεργούμε ανάλογα, θέτοντας αυτήν την φορά $g(x)=\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ , κλπ]

johnny_m · #159

Υπαρχει κάποιοςπου έχει δοκιμασει να λυσει την εξισωση με αντικατασταση στην f στο Γ4???
Αν ναι μπορει να ανεβασει την λυση?

Ευχαριστώ

Σωτήριος Τερζόπουλος · #160

Για το Γ4 κι εγω.

Η

είναι κυρτή. Άρα δεν υπάρχουν παράλληλες εφαπτομένες σε οποιαδήποτε σημεία, σωστά ;

Άρα δεν υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ (σε οποιαδήποτε διαστήματα), τέτοια ώστε $f'(\xi_1) = f'(\xi_2)$ με $\xi_1$ διαφορετικό του $\xi_2$ .
Οπότε, στέκει να πάω με 2 θμτ για να καταλήξω σε άτοπο, ξεκινώντας από κάτι που σίγουρα δεν ισχύει ;

υ.γ ( και πάλι συγνώμμη για την γραφή, αλλά έχω πρόβλημα με latex , ευχαριστώ τους συντονιστές που μου διόρθωσε και παλιότερο κείμενο )

Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Re: Μαθηματικά προσαν. (κατεύθ.) 2016

Μέλη σε σύνδεση