Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Επιτροπή Θεμάτων 2017
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2016 9:41 am

Μαθηματικά προσανατολισμού 2017 (Θέματα & Λύσεις)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Επιτροπή Θεμάτων 2017 » Παρ Ιουν 09, 2017 9:10 am

Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και θα συζητηθούν, αποκλειστικά, τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2017.

Edit: Προσθήκη των θεμάτων
Συνημμένα
them_mat_op_c_hmer_170609.pdf
(272.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 979 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 09, 2017 10:23 am

Με μία πρώτη ματιά.

Πολύ ωραία θέματα , πρωτότυπα αν και δύσκολα.

Θέμα Α

(Α1) Θεωρία του σχολικού.
(Α2) H συνάρτηση f(x)=|x| , \; x \in \mathbb{R} είναι συνεχής στο x_0=0 εντούτοις δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\left | x \right |}{x} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x}{x} = 1}

και

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{\left | x \right |}{x} = -\lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{x}{x} = -1}

(Α3) Θεωρία του σχολικού.
(Α4) (α) Λ (β) Σ (γ) Λ (δ) Σ (ε) Σ


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3723
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από cretanman » Παρ Ιουν 09, 2017 10:52 am

Καλημέρα σε όλους! Η προσωπική μου άποψη: Αρκετά απαιτητικό Δ θέμα με άρωμα Άλγεβρας από προηγούμενες τάξεις (τριγωνομετρία, ανισότητες κτλ). Κάποιος χρειάζεται να έχει πολύ καλή μαθηματική παιδεία για να ανταπεξέλθει σε αυτό. Ακόμη και το πρώτο ερώτημα θέλει προσοχή για την εύρεση της παραγώγου στο (-1,0) και την εξέταση της παραγωγισιμότητας στο 0.

Δ1) Το πεδίο ορισμού της f είναι το A=[-1,\pi].


Η f είναι συνεχής στο [-1,0) και στο (0,\pi] αφού προκύπτει από σύνθεση συνεχών και από γινόμενο συνεχών αντίστοιχα.

Επίσης \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt[3]{x^4}=0 και
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}e^x\sin{x}=0=f(0)

Οπότε \displaystyle\lim_{x\to 0}=f(0) κι έτσι η f είναι συνεχής και στο 0. Άρα τελικά η f είναι συνεχής στο A.


Κρίσιμα σημεία της f (εσωτερικά σημεία του A που η f' δεν υπάρχει είτε μηδενίζεται)


Για -1\leq x<0 είναι f(x)=\sqrt[3]{x^4}=\sqrt[3]{(-x)^4}=(-x)^{4/3}

και η f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=-\dfrac{4}{3}(-x)^{1/3}

Για 0<x\leq \pi η f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)=e^x(\sin{x}+\cos{x})

Επίσης

\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{(-x)^{4/3}}{x}=-\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\left(-(-x)^{1/3}\right)=0

\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}e^x\dfrac{\sin{x}}{x}=1\cdot 1=1

Συνεπώς η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Άρα το 0 είναι κρίσιμο σημείο της f.

Θα βρούμε τα σημεία που η f' μηδενίζεται

Αν -1< x<0 είναι f'(x)<0

Για 0<x<\pi είναι f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin{x}+\cos{x}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}

Συνεπώς τα κρίσιμα σημεία της f είναι το 0 και το \dfrac{3\pi}{4}.


Δ2) Αν -1\leq x<0 είναι f'(x)<0 και f συνεχής στο 0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1,0]

Αν 0<x<\dfrac{3\pi}{4} τότε f'(x)>0 και η f είναι συνεχής στο 0 και στο \dfrac{3\pi}{4} άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο \left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right]

Τέλος, άν \dfrac{3\pi}{4}<x<\pi τότε f'(x)<0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right]

Τελικά η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο -1 το f(-1)=1, τοπικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0, τοπικό μέγιστο στο \dfrac{3\pi}{4} το f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}>1 και τέλος τοπικό ελάχιστο στο \pi το f(\pi)=0.

Για το σύνολο τιμών:

Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A_1=[-1,0] άρα f(A_1)=[f(0),f(-1)]=[0,1]

Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο A_2=\left[0,\dfrac{3\pi}{4}\right] άρα f(A_2)=\left[f(0),f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]

Η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο A_3=\left[\dfrac{3\pi}{4},\pi\right] άρα f(A_3)=\left[f(\pi),f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right]=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]

Τελικά, το σύνολο τιμών της f είναι το f(A)=f(A_1)\cup f(A_2)\cup f(A_3)=\left[0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4}\right]

Δ4) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται

\begin{aligned}16f(x)-(4x-3\pi)^2 =8\sqrt{2}e^{3\pi/4} &\Leftrightarrow f(x)-\dfrac{(4x-3\pi)^2}{16}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{3\pi/4} \\ &\Leftrightarrow f(x)-\left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2=f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \\ &\Leftrightarrow f(x)-f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2 \ \ (1)\end{aligned}

Όμως f(x)\leq f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) \Leftrightarrow f(x)-f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\leq 0 με ισότητα μόνο στο x=\dfrac{3\pi}{4} λόγω του συνόλου τιμών.

Από την άλλη \left(x-\dfrac{3\pi}{4}\right)^2 \geq 0 με ισότητα επίσης μόνο στο x=\dfrac{3\pi}{4}.

Άρα τελικά η (1) ισχύει μόνο για x=\dfrac{3\pi}{4}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2406
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από grigkost » Παρ Ιουν 09, 2017 11:03 am

Επιτροπή Θεμάτων 2017 έγραψε:Αγαπητές/τοί φίλες/οι

Στο θέμα αυτό θα αναρτηθούν (αμέσως μόλις δημοσιευθούν στη σελίδα του Υπουργείου) και θα συζητηθούν, αποκλειστικά, τα θέματα των Μαθηματικών προσανατολισμού 2017...

Η συζήτηση αφορά κυρίως την επίλυση των θεμάτων. Χωρίς να απαγορεύεται, δεν νομίζω ότι προσφέρει κάτι -και σίγουρα όχι σε αυτήν την συζήτηση- η γενική κριτική των θεμάτων (Όλοι έχουμε την άποψή μας για τα σημερινά θέματα.)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3723
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από cretanman » Παρ Ιουν 09, 2017 11:22 am

Για το Δ4, η ιδέα μου θυμίζει την ιδέα του ερωτήματος Δ5 το οποίο είχα δημοσιεύσει το Φεβρουάριο του 2015 εδώ (η ιδέα με την οποία το κατασκεύασα και η λύση βρίσκεται εδώ) και το οποίο είχα στείλει από τότε στο study4exams. Φέτος έχει καταχωρηθεί στο 2ο ή 3ο διαγώνισμα του study4exams (δε μπορώ να το δω αυτή τη στιγμή καθώς είναι εκτός λειτουργίας λόγω των πανελλαδικών).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από dement » Παρ Ιουν 09, 2017 11:26 am

Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με f(x) \geqslant -1.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1198
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από exdx » Παρ Ιουν 09, 2017 11:27 am

Α1. Απόδειξη , σχολικό σελ 253 ( παλιό)
Α2. α. Λάθος
β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix}
   \,\,\,x,\,\,x\ge 0  \\
   -x,\,\,x<0  \\
\end{matrix} \right. είναι συνεχής στο x_0=0 αφού
\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0},
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0 αφού
\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1 και \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1

Α3. Ορισμός , σχολικό σελ . 143 (παλιό)
Α4.
α) Λάθος
β) Σωστό , σχολικό σελ 143 (παλιό)
γ) Λάθος , σχολικό σελ 254 (παλιό)
δ) Σωστό , σχολικό σελ 185 (παλιό)
ε) Σωστό , σχολικό σελ 194 (παλιό)


Kαλαθάκης Γιώργης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1361
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Ιουν 09, 2017 11:36 am

Για το Γ1

Η τυχαία εφαπτομένη της f έχει εξίσωση y+\sin a=-\cos a(x-a)

Διέρχεται από το σημείο A(\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}) αν και μόνο αν \dfrac{\pi}{2}\cos a+\sin a-a\cos a-\dfrac{\pi}{2}=0.

Θεωρούμε την εξίσωση k(x)=\dfrac{\pi}{2}\cos x+\sin x-x\cos x-\dfrac{\pi}{2} στο [0,\pi].

Έχει δύο προφανείς ρίζες αφού k(0)=k(\pi)=0

k'(x)=(x-\dfrac{\pi}{2})\sin x

Αν είχαμε τρεις ρίζες στο [0,\pi], από το θεώρημα Rolle η παράγωγός της θα είχε 2 τουλάχιστον στο (0,\pi) άτοπο αφού έχει μόνο την \dfrac{\pi}{2}.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 745
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από nkatsipis » Παρ Ιουν 09, 2017 11:51 am

Μια άλλη λύση στο Γ1:

Η εφαπτομένη της \mathrm{C}_{f} στο σημείο της M(x_0,f(x_0)), με x_0\in[0,\pi], έχει εξίσωση:

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), δηλαδή: y+\eta\mu x_0=-\sigma\upsilon\nu x_0(x-x_0).

Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο A\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), άρα:

-\dfrac{\pi}{2}+\eta\mu x_0=-\sigma\upsilon\nu x_0\left(\dfrac{\pi}{2}-x_0\right)\Leftrightarrow2\eta\mu x_0-2x_0\sigma\upsilon\nu x_0+\pi\sigma\upsilon\nu x_0-\pi=0.

Έστω, g(x)=2\eta\mu x-2x\sigma\upsilon\nu x-\pi\sigma\upsilon\nu x-\pi, με x\in[0,\pi].

H συνάρτηση g είναι συνεχής, ως πράξεις συνεχών, στο [0,\pi] και παραγωγίσιμη στο (0,\pi) με:

g'(x)=2x\eta\mu x-\pi\eta\mu x.

g'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}, αφού \eta\mu x>0, για κάθε x\in(0,\pi).

Επίσης, g'(x)<0 για κάθε x\in(0,\dfrac{\pi}{2}), άρα g\downarrow[0,\dfrac{\pi}{2}] και

g'(x)>0 για κάθε x\in(\dfrac{\pi}{2},\pi), άρα g\uparrow[\dfrac{\pi}{2},\pi].

Οπότε,

αφού g συνεχής στο [0,\dfrac{\pi}{2}] και g\downarrow[0,\dfrac{\pi}{2}], τότε:

g\left([0,\dfrac{\pi}{2}]\right)=[g(\dfrac{\pi}{2}),g(0)]=[2-\pi,0]

και

αφού g συνεχής στο [\dfrac{\pi}{2},\pi] και g\uparrow[0,\dfrac{\pi}{2}], τότε:

g\left([\dfrac{\pi}{2},\pi]\right)=[g(\dfrac{\pi}{2}),g(\pi)]=[2-\pi,0].

Άρα, οι μοναδικές ρίζες της g στο [0,\pi] είναι: x=0 ή x=\dfrac{\pi}{2}.

Οπότε, αν x_0=0, τότε: (\epsilon_1): y=-x

και

αν x_0=\dfrac{\pi}{2}, τότε: (\epsilon_2): y=x-\pi.

Νίκος Κατσίπης


NIZ
Δημοσιεύσεις: 230
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από NIZ » Παρ Ιουν 09, 2017 12:07 pm

exdx έγραψε: β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix}
   \,\,\,x,\,\,x\ge 0  \\
   -x,\,\,x<0  \\
\end{matrix} \right. είναι συνεχής στο x_0=0 αφού
\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0},
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0 αφού
\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1 και \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1


Αν ένας μαθητής απαντούσε ότι η πρόταση στο Α2(α) είναι ψευδής και επικαλούνταν στο Α2(β) την συνάρτηση f(x)=|x| που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, χωρίς να αποδείξει ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, δεν θα ήταν πλήρης η απάντηση του ?


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιουν 09, 2017 12:08 pm

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. H f είναι συνεχής στο διάστημα \left[ -1,0 \right) (πράξεις με συνεχείς στο διάστημα αυτό συναρτήσεις και στο \left( 0,\pi  \right] (ως γινόμενο συνεχών) .

Είναι \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)\mathop  = \limits^{u = {x^4},\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} u = {0^ + }} \mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \left( {\sqrt[3]{u}} \right) = 0 = {e^0} \cdot \eta \mu 0 = 0 = f\left( 0 \right) και

\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{e^x} \cdot \eta \mu x} \right) \mathop  = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} = {e^0} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \eta \mu x = \eta \mu 0 = 0} 1 \cdot 0 = 0 = f\left( 0 \right)

Άρα \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f συνεχής (και) στο 0 , δηλαδή τελικά f συνεχής (στο πεδίο ορισμού της \left[ -1,\pi  \right]

Δ2. Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα \left( -1,0 \right) (σύνθεση παραγωγισίμων) και \left( 0,\pi  \right) (γινόμενο παραγωγισίμων) και για \left( -1,0 \right) έχουμε:

f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left| x \right|}^{\dfrac{4}{3}}}} \right)^\prime }\mathop  = \limits^{0 > x \in \left( { - 1,0} \right)} {\left( {{{\left( { - x} \right)}^{\dfrac{4}{3}}}} \right)^\prime } = \dfrac{4}{3}{\left( { - x} \right)^{\dfrac{4}{3} - 1}} \cdot {\left( { - x} \right)^\prime } =  - \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{{ - x}} < 0,

\forall x \in \left( { - 1,0} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\left[ { - 1,0} \right]\,} f γνησίως φθίνουσα στο \left[ -1,0 \right] και f παραγωγίσιμη στο \left( 0,\pi  \right) (γινόμενο παρραγωγισίμων) με

f'\left( x \right) = {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)^\prime } = {e^x}\eta \mu x + {e^x}\sigma \upsilon \nu x = {e^x}\left( {\eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x}\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right),x \in \left( {0,\pi } \right)

Είναι \left\{ \begin{gathered}
  f'\left( x \right) = 0 \hfill \\
  x \in \left( {0,\pi } \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x}\eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ 
  x \in \left( {0,\pi } \right) \\ 
\end{gathered}  \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{0 \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0} \left\{ \begin{gathered}
  \eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ 
  x \in \left( {0,\pi } \right) \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x + \dfrac{\pi }{4} = k\pi ,k \in Z \\ 
  x \in \left( {0,\pi } \right) \\ 
\end{gathered}  \right.

\left\{ \begin{gathered}
  x = k\pi  - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ 
  0 < k\pi  - \dfrac{\pi }{4} < \pi  \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = k\pi  - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ 
  \dfrac{\pi }{4} < k\pi  < \dfrac{{5\pi }}{4} \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = k\pi  - \dfrac{\pi }{4},k \in Z \\ 
  k = 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{{3\pi }}{4}}

και για x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\dfrac{\pi }{4},\pi } \right) \Rightarrow \eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0,\forall x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)} f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0,\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)

και με f συνεχή στο διάστημα \left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right]\Rightarrow f γνησίως αύξουσα στο \left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right], ενώ για

x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right) \Rightarrow \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( {\pi ,\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \eta \mu \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^x} > 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right)} f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{4},\pi } \right)

και με f συνεχή στο διάστημα \left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi  \right]\Rightarrow f γνησίως φθίνουσα στο \left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi  \right]

Άρα τελικά η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα \left[ -1,0 \right] και \left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi  \right] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \left[ 0,\dfrac{3\pi }{4} \right] με f\left( -1 \right)=\sqrt[3]{{{\left( -1 \right)}^{4}}}=1 τοπικό μέγιστο (άκρο κλειστού διαστήματος αφού f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα \left[ -1,0 \right]), f\left( 0 \right)=0 τοπικό ελάχιστο (0 κρίσιμο σημείο με εναλλαγή του προσήμου της πρώτης παραγώγου εκατέρωθεν του από - σε + ), f\left( \dfrac{3\pi }{4} \right)={{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}}\eta \mu \dfrac{3\pi }{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}} τοπικό μέγιστο (\dfrac{3\pi }{4} κρίσιμο σημείο με εναλλαγή του προσήμου της πρώτης παραγώγου εκατέρωθεν του από + σε - ) , και f\left( \pi  \right)={{e}^{\pi }}\cdot \eta \mu \pi ={{e}^{\pi }}\cdot 0=0 τοπικό ελάχιστο (άκρο κλειστού διαστήματος αφού f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα \left[ \dfrac{3\pi }{4},\pi  \right]).

Παρατήρηση : το f\left( \dfrac{3\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{e}^{\dfrac{3\pi }{4}}} είναι το ολικό μέγιστο (το μέγιστο των τοπικών μεγίστων , αφού

\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > 1 (διότι \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > 1 \Leftrightarrow {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} > {2^{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} > \dfrac{{\ln 2}}{2} \Leftrightarrow \ln 2 < 1 = \ln e < \dfrac{{3\pi }}{2} (μέθοδος ισοδυναμιών) και η f παρουσιάζει ολικά ακρότατα ως συνεχής στο κλειστό διάστημα \left[ -1,\pi  \right] ) και f\left( 0 \right)=f\left( \pi  \right)=0 το ολικό ελάχιστο (παρουσιάζεται σε δύο θέσεις).

Άρα το σύνολο τιμών της είναι \boxed{f\left( {\left[ { - 1,\pi } \right]} \right) = \left[ {0,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}}} \right]}

Δ3. Είναι E = \int\limits_0^\pi  {\left| {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left| {{e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x} \right|dx} :\left( 1 \right). Αλλά

\forall x \in \left[ {0,\pi } \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {e^{4x}} \geqslant 1 \\ 
  0 \leqslant \eta \mu x \leqslant 1 \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow {e^{4x}} \geqslant 1 \geqslant \eta \mu x \mathop  \Rightarrow \limits^{{e^x} > 0} {e^{5x}} \geqslant {e^x}\eta \mu x \Rightarrow {e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x \geqslant 0\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

E = \int\limits_0^\pi  {\left( {{e^{5x}} - {e^x}\eta \mu x} \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {{e^{5x}}dx}  - \int\limits_0^\pi  {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)dx} \mathop  = \limits^{I = \int\limits_0^\pi  {\left( {{e^x}\eta \mu x} \right)dx} } \left[ {\dfrac{{{e^{5x}}}}{5}} \right]_0^\pi  - I:\left( 2 \right), και

I = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\eta \mu xdx}  = \int\limits_0^\pi  {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }\eta \mu xdx}  = \left[ {{e^x}\eta \mu x} \right]_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}{{\left( {\eta \mu x} \right)}^\prime }dx}  =

{e^\pi }\eta \mu \pi  - {e^0}\eta \mu 0 - \int\limits_0^\pi  {{{\left( {{e^x}} \right)}^\prime }\sigma \upsilon \nu xdx}  = - \left( {\left[ {{e^x}\sigma \upsilon \nu x} \right]_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {{e^x}{{\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)}^\prime }dx} } \right) =

{e^0}\sigma \upsilon \nu 0 - {e^\pi }\sigma \upsilon \nu \pi  - I \Rightarrow 2I = 1 + {e^\pi } \Rightarrow I = \dfrac{{1 + {e^\pi }}}{2} \mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} E = \dfrac{{{e^{5\pi }}}}{5} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{{1 + {e^\pi }}}{2} \Rightarrow \boxed{E = \dfrac{{2{e^{5\pi }} - 7 - 5{e^\pi }}}{{10}}\tau .\mu }

Δ4. Είναι 16{e^{ - \dfrac{{3\pi }}{4}}}f\left( x \right) - {e^{ - \dfrac{{3\pi }}{4}}}{\left( {4x - 3\pi } \right)^2} = 8\sqrt 2 :\left( 1 \right)

\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} + \dfrac{{{{\left( {4x - 3\pi } \right)}^2}}}{{16}} \mathop  \Rightarrow \limits^{\dfrac{{{{\left( {4x - 3\pi } \right)}^2}}}{{16}} \geqslant 0,\forall x \in \left[ { - 1,\pi } \right]} f\left( x \right) \geqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot {e^{\dfrac{{3\pi }}{4}}} = f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \max f.

Αρα από f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \geqslant f\left( x \right) \geqslant f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\dfrac{{3\pi }}{4}\,\,\eta \,\,\mu o\nu \alpha \delta \iota \kappa \eta \,\,\theta \varepsilon \sigma \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,o\lambda \iota \kappa o\upsilon \,\,\alpha \kappa \rho o\tau \alpha \tau o\upsilon } \boxed{x = \dfrac{{3\pi }}{4}} μοναδική λύση της δοθείσης εξίσωσης.

Υ.Σ. Ελπίζω να μην υπάρχει "πατάτα" γιατί γράφω κατευθείαν στον υπολογιστή :)

Υ.Σ. Εκανα μια (λογιστική) διόρθωση στο αποτέλεσμα του εμβαδού. Ελπίζω να είμαι οκ. Είδομεν
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Παρ Ιουν 09, 2017 12:48 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιουν 09, 2017 12:27 pm

NIZ έγραψε:
exdx έγραψε: β. Με αντιπαράδειγμα :
H συνάρτηση f(x)=|x|=\left\{ \begin{matrix}
   \,\,\,x,\,\,x\ge 0  \\
   -x,\,\,x<0  \\
\end{matrix} \right. είναι συνεχής στο x_0=0 αφού
\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0},
όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0 αφού
\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=1 και \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x-0}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x}=-1


Αν ένας μαθητής απαντούσε ότι η πρόταση στο Α2(α) είναι ψευδής και επικαλούνταν στο Α2(β) την συνάρτηση f(x)=|x| που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, χωρίς να αποδείξει ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, δεν θα ήταν πλήρης η απάντηση του ?

Θεωρώ πως είναι πλήρης η απάντηση


Γιώργος
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1117
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από silouan » Παρ Ιουν 09, 2017 12:42 pm

dement έγραψε:Στο Γ4 βγαίνει καλύτερο φράγμα απλώς με f(x) \geqslant -1.


Πραγματικά, και δεν χρειάζεται τίποτα από τα παραπάνω ερωτήματα. Το wolfram βγάζει περίπου -0,87
Έχει ενδιαφέρον αν μπορούμε να φτάσουμε εκεί κοντά χωρίς κομπιούτερ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1198
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από exdx » Παρ Ιουν 09, 2017 1:19 pm

Β1.
Είναι : \displaystyle{f(x)=\ln x}με \displaystyle{{{A}_{f}}=(0,+\infty )} και \displaystyle{g(x)=\frac{x}{1-x}} με \displaystyle{Ag=R-\{1\}}
Η συνάρτηση \displaystyle{h=g\circ f}ορίζεται αν και μόνο αν το σύνολο \displaystyle{{{A}_{h}}=\{x\in {{A}_{g}}\,\,\text{ }\!\!\kappa\!\!\text{  }\!\!\alpha\!\!\text{  }\!\!\iota\!\!\text{ }\,\,g(x)\in {{A}_{f}}\}\ne \varnothing }
Όμως \displaystyle{{{A}_{h}}=\{x\ne 1\,\wedge \,\,\frac{x}{1-x}>0\,\}=\{x\ne 1\,\wedge \,\,x(1-x)>0\,\}=\{x\ne 1\,\,\wedge \,\,0<x<1\}=(0,1)\ne \varnothing }
αφού \displaystyle{x(1-x)>0=-{{x}^{2}}+x} , και επειδή το τριώνυμο έχει το \alpha < 0
και ρίζες \displaystyle{\text{0}\text{,1}}, θα είναι θετικό αν 0< x < 1
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση\displaystyle{h:(0,1)\to R} με τύπο \displaystyle{h(x)=g(f(x))=g\left( \frac{x}{1-x} \right)=\ln \left( \frac{x}{1-x} \right)} .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1198
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από exdx » Παρ Ιουν 09, 2017 1:43 pm

Γ3.
Το πρόσημο του παρονομαστή του ορίου μπορεί να αιτιολογηθεί και με την κυρτότητα της\displaystyle{f}
(πάνω από την εφαπτομένη )


Kαλαθάκης Γιώργης
manousos
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 10, 2015 8:46 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από manousos » Παρ Ιουν 09, 2017 1:52 pm

Καλησπέρα,

έδινα σήμερα και τα θέματα μου φάνηκαν αρκετά πρωτότυπα μακριά από συνηθισμένες μεθοδολογίες ήδη από το Θέμα Α (!). Τα έγραψα όλα αλλά στο Δ έβαλα \displaystyle{f'(x) = \frac{4x^{1/3}}{3} , -1\leq x<0}. Μετά την έβγαλα φθίνουσα εκεί αλλά παντού βλέπω ακροβατικά για να βγάλουν άλλη παράγωγο... Μάλλον το \displaystyle{\sqrt[3]{x}} δεν ορίζεται παντού (γιατί όμως;). Γνωρίζει κανείς για ποιο λόγο γίνεται και πόσο περίπου θα μου κόψουν;


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2471
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από achilleas » Παρ Ιουν 09, 2017 2:03 pm

manousos έγραψε:... Μάλλον το \displaystyle{\sqrt[3]{x}} δεν ορίζεται παντού (γιατί όμως;). Γνωρίζει κανείς για ποιο λόγο γίνεται ...


Δες το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α' λυκείου.

Αναλυτικό σχόλιο υπάρχει στο forum εδώ κι εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Παρ Ιουν 09, 2017 2:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


one_off
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 10:50 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από one_off » Παρ Ιουν 09, 2017 2:48 pm

Για το Γ2 άσκηση 8 παραγραφός 3.7

1.PNG
1.PNG (53.93 KiB) Προβλήθηκε 3439 φορές


one_off
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Παρ Ιουν 09, 2017 10:50 am

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από one_off » Παρ Ιουν 09, 2017 2:57 pm

Μια ιδέα για την συνάρτηση του 4, Ασκηση 9 Β ομάδα παραγραφος 2.3


3.PNG
3.PNG (36.33 KiB) Προβλήθηκε 3422 φορές


και απο το λυσάρι

2.PNG
2.PNG (3.32 KiB) Προβλήθηκε 3422 φορές



Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες