ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha x+\beta y =\gamma \\ \alpha' x+\beta' y =\gamma' \end{matrix}\right}}$
και να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία σε κάθε περίπτωση της διερεύνησης.

2. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ και $\displaystyle{\mu}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση $\displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}$ .
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}$
είναι ανεξάρτητη των $\displaystyle{x,y,z,\mu}$

3. Αν $\displaystyle{z=x+yi}$ και $\displaystyle{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}$ , όπου $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ,
να βρεθούν οι λύσεις και να γίνει η διερεύνηση της εξίσωσης $\displaystyle{z^2-3|z|+\alpha^2=0}$ για $\displaystyle{\alpha>0}$

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

3. Αν $\displaystyle{z=x+yi}$ και $\displaystyle{|z|=\sqrt{x^2+y^2}}$ , όπου $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ,
να βρεθούν οι λύσεις και να γίνει η διερεύνηση της εξίσωσης $\displaystyle{z^2-3|z|+\alpha^2=0}$ για $\displaystyle{\alpha>0}$

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}z^2-3\left|z\right|+\alpha^2=0&\Leftrightarrow \left(x+yi\right)^2-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-y^2\right)-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2\right]+2xy\,i=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(x^2-y^2\right)-3\sqrt{x^2+y^2}+\alpha^2\right]=0\ \land xy=0\end{aligned}}$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις

$\displaystyle{\alpha)\,\,x=0\,\,,y\neq 0}$

Τότε,

$\displaystyle{-y^2-3\left|y\right|+\alpha^2=0\Leftrightarrow y^2+3\left|y\right|-\alpha^2=0\,\,(I)}$

Αν $\displaystyle{y>0}$ , η $\displaystyle{(I)}$ δίνει,

$\displaystyle{y^2+3y=\alpha^2\Leftrightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow y=\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\ \lor y=\frac{-3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}$

Δεκτή είναι η τιμή $\displaystyle{y=\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}$

Αν $\displaystyle{y<0}$ , η $\displaystyle{(I)}$ δίνει,

$\displaystyle{y^2-3y=\alpha^2\Leftrightarrow \left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\ \lor y=\frac{3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}$

Δεκτή είναι η τιμή $\displaystyle{y=\frac{3-\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}}$

$\displaystyle{\beta)\,\,x\neq 0\,\,,y=0}$

Τότε,

$\displaystyle{x^2-3\left|x\right|+\alpha^2=0\,\,(II)}$

Αν $\displaystyle{x>0}$ , η $\displaystyle{(II)}$ δίνει,

$\displaystyle{x^2-3x=-\alpha^2\Leftrightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}$

Για το $\displaystyle{\alpha}$ διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις.

$\displaystyle{i)\,\,9-4\alpha^2=0\Leftrightarrow \alpha^2=\frac{9}{4}\stackrel{\alpha>0}{\Leftrightarrow}\alpha=\frac{3}{2}}$

Τότε, $\displaystyle{x=\frac{3}{2}:\delta \iota \pi \lambda \eta\,\,\, \rho \iota \zeta \alpha}$

$\displaystyle{ii)\,\,9-4\alpha^2>0\Leftrightarrow \alpha^2<\frac{9}{4}\stackrel{\alpha>0}{\Leftrightarrow}\alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)}$

Τότε, $\displaystyle{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\ \lor\, x=\frac{3-\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}}$

Δεχόμαστε την τιμή $\displaystyle{x=\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}}$

$\displaystyle{iii)\,\,9-4\alpha^2<0\Leftrightarrow \alpha^2>\frac{9}{4}\Leftrightarrow \alpha>\frac{3}{2}}$

Τότε, η εξίσωση $\displaystyle{\left(x-\frac{3}{2}\right)=\frac{9-4\alpha^2}{4}}$ είναι αδύνατη στους πραγματικούς.

Αν τώρα $\displaystyle{x<0}$ η $\displaystyle{(II)}$ δίνει,

$\displaystyle{x^2+3x+\alpha^2=0\Leftrigtharrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}$

Όμοια με την προηγούμενη περίπτωση, έχουμε ότι

$\displaystyle{x=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \alpha=\frac{3}{2}\,\,,x=\frac{-3-\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\Leftrightarrow \alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\,\,,\alpha>\frac{3}{2}\Rightarrow \nexists\,x\in\mathbb{R}:\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9-4\alpha^2}{4}}$

$\displaystyle{\gamma)\,\,x=y=0}$ .

Τότε έχουμε $\displaystyle{\alpha^2=0\Leftrightarrow \alpha=0}$ , άτοπο.

Συνοψίζοντας, οι λύσεις της δοσμένης εξίσωσης δίνονται ως

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} z=\pm \left(\frac{-3+\sqrt{9+4\alpha^2}}{2}\right)i\,\,,\alpha>0\\ z=\pm \left(\frac{3+\sqrt{9-4\alpha^2}}{2}\right)\,\,\,,\alpha\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\\ z=\pm \frac{3}{2}\,\,\,,\alpha=\frac{3}{2}\\ \end{matrix}}$

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε:2. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ και $\displaystyle{\mu}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση $\displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}$ .
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}$
είναι ανεξάρτητη των $\displaystyle{x,y,z,\mu}$

Είναι ισοδύναμα: $x^3 + y^3 + \mu (x + y) = y^3 + z^3 + \mu (y + z) \Longleftrightarrow x^3 + \mu x = z^3 + \mu z \Longleftrightarrow (x - z)(x^2 + xz + z^2 + \mu) = 0 \Longleftrightarrow x^2 + xz + z^2 + \mu = 0 (x \neq z)(1)$ .
Κυκλικά έχουμε $x^2 + xy + y^2 + \mu = 0 (2), y^2 + yz + z^2 + \mu = 0(3)$ .
Αφαιρώντας τις (1), (2)

προκύπτει ότι: $x(z - y) + (z - y)(z + y) = 0 \Longleftrightarrow (z - y)(x + y + z) = 0 \Longleftrightarrow x + y + z = 0 (4) (z \neq y)$ .
Η παράσταση

παίρνει τη μορφή: $A = 3 + \frac{x(x - y)}{z(y - z)} +\frac{y(x - y)}{z(z - x)} + \frac{z(y - z)}{x(x - y)} + \frac{y(y - z)}{x(z - x)} + \frac{z(z - x)}{y(x - y)} + \frac{z(z - x)}{y(y - z)} \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{yz(y - z) + zx(z - x)}{xy(x - y)} + \frac{zx(z - x) + xy(x - y)}{yz(y - z)} + \frac{xy(x - y) + yz(y - z)}{zx(z - x)}$ .
Έχουμε: $\frac{z(y^2 - yz + zx - x^2)}{xy(x - y)} = \frac{z[- (x - y)(x + y) + z(x - y)]}{xy(x - y)} = \frac{z(x - y)(z - x - y)}{xy(x - y)} = \frac{2z^2}{xy}(5) (z = - x - y)$ .
Με ανάλογους χειρισμούς προκύπτουν κυκλικά παρεμφερείς τύποι, με αποτέλεσμα η παράσταση να παίρνει τη μορφή $A = 3 + 2( \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}) \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{2(x^3 + y^3 + z^3)}{xyz} \Longleftrightarrow A = 3 + \frac{6xyz}{xyz} \Longleftrightarrow A = 9$ .
Στηριχτήκαμε στο ότι x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

, που προκύπτει από την ταυτότητα του Euler, αφού x + y + z = 0

. Έτσι ολοκληρώθηκε η απόδειξη του ζητουμένου.

Στέλιος Μαρίνης · #4

Τι μου θύμισες;
2. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ και $\displaystyle{\mu}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση $\displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}$ .
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}$
είναι ανεξάρτητη των $\displaystyle{x,y,z,\mu}$

Ξεκίνησα τη λύση γράφοντας: Εκτελώ αρχικά τον μετασχηματισμό z=ω. Μου ήταν αδύνατο να μην μπερδεύω το z με το 2!!

#5

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Τι μου θύμισες;
2. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ και $\displaystyle{\mu}$ όπου $\displaystyle{x,y,z}$ είναι διαφορετικοί ανά δυο και διάφοροι του μηδενός.
Δίνεται επίσης η σχέση $\displaystyle{x^3+y^3+\mu (x+y)= y^3+z^3+\mu (y+z)=z^3+x^3+\mu (z+x)}$ .
Να αποδειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A= \left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right) \left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)}$
είναι ανεξάρτητη των $\displaystyle{x,y,z,\mu}$

Ξεκίνησα τη λύση γράφοντας: Εκτελώ αρχικά τον μετασχηματισμό z=ω. Μου ήταν αδύνατο να μην μπερδεύω το z με το 2!!

Γεια σου Στέλιο.

Το ίδιο θέμα είχαμε όλοι μας. Ο καθηγητής που είχα τότε στο φροντιστήριο, ο Λάζαρος Θρουμουλόπουλος (φοβερός μαθηματικός), μας έλεγε να προσθέτουμε τη μεσοπαράλληλη στο

, ώστε να μη μοιάζει με το

.

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘ-ΓΕΩΔΑΣ. ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση