ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{77}{65}}$ σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές $\displaystyle{5}$ και $\displaystyle{13}$

β) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} y^x(1+y^x)=10100 \\ \log\sqrt{x^{\nu}}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2 \end{cases}}$

2. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^y=243\\ \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \end{cases}}$

β) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} xy=100 \\ \displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x} \end{cases}}$

3. Οι αριθμοί $\displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu}$ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με $\displaystyle{5650}$ και των δύο μέσων είναι ίσο με $\displaystyle{450}$ .
Να βρεθούν οι $\displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu}$ .

4. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 21, οι τρεις επόμενοι όροι $\displaystyle{\frac{21}{64}}$ .
Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.

edit
μετονομασία από ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ σε ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ. γιατί μερικά τμήματα είχαν τα ίδια θέματα

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{77}{65}}$ σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές $\displaystyle{5}$ και $\displaystyle{13}$

Έστω

ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle\frac{x}{5}+\frac{y}{13}=\frac{77}{65}$

Ισοδύναμα μπορεί να γραφεί ότι 13x+5y=77.

Aυτό που έχει να γίνει είναι να λυθεί η παραπάνω διοφαντική εξίσωση...

Μια λύση της εξίσωσης αυτής είναι $x_{0}=9 , y_{0}=-8.$

Συνεπώς οι άπειρες λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται

x=9+5t , y=-8-13t

με

ακέραιο.

Διαβάζοντας το θέμα κατάλαβα ότι οι εξεταστές ήθελαν άθροισμα κλασμάτων με τη στενή έννοια του όρου.

Έτσι μπαίνουν πλέον ο περιορισμός

$\displaystyle x>0\Leftrightarrow9+5t>0\Leftrightarrow t>-\frac{9}{5}$

και ο περιορισμός

$\displaystyle y>0\Leftrightarrow-8-13t>0\Leftrightarrow t<-\frac{8}{13}$

Οι δυο παραπάνω περιορισμοί μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι t=-1.

Έτσι $x=9+5\cdot \left ( -1 \right )=4$ και $y=-8-13\cdot \left ( -1 \right )=5$

Συνεπώς ο μόνος τρόπος που μπορεί να γραφεί το κλάσμα $\displaystyle \frac{77}{65}$ ως άθροισμα δυο κλασμάτων είναι

$\displaystyle \frac{4}{5}+\frac{5}{13}=\frac{77}{65}$

Σταμ. Γλάρος · #4

parmenides51 έγραψε:

2. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^y=243\\ \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \end{cases}}$

β) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} xy=100 \\ \displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x} \end{cases}}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το 2.

Πρώτα από όλα έχουμε και για τα δύο υποερωτήματα x>0

και

α) Είναι : $\sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt[y]{2^{10}} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2$ $\Leftrightarrow$ $2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^{2y}$ $\Leftrightarrow$ $2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} x^{2y}.$ (1)

Επίσης x^y =243

$\Leftrightarrow$ x^y = 3^5 .

(2)

Αντικαθιστώντας στην (1) την (2) έχουμε :

$2^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} 3^{10}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{10} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{2y}$ , από όπου προκύπτει y=5

και στη συνέχεια από την (2) x=3.

β) Είναι

$\Leftrightarrow$ log x +log y = 2

(1)

Επίσης $\displaystyle\frac{x}{y}=2 \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x}$ $\Leftrightarrow$ $log x -log y = log 2 + log \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $log x -log y = log 2 + \dfrac{1}{3} log \displaystyle x^\log x$ $\Leftrightarrow$ $log x -log y = log 2 + \dfrac{1}{3} \displaystyle (\log x)^2$ (2)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

$2 log x = 2 + log 2 + \dfrac{1}{3} (\log x)^2$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ (log x)^2 - 6 log x+ 6+ 3log 2 = 0 .

Από την παραπάνω δευτεροβάθμια προκύπτουν λύσεις : $log x = 3\pm \sqrt{3log5}.$

Αν $log x = 3 + \sqrt{3log5}.$ τότε από την (1) προκύπτει $log y = -1 - \sqrt{3log5}.$

Άρα $x= 10^{3+\sqrt{3log5}}$ και $y= 10^{-1-\sqrt{3log5}}.$

Επίσης αν $log x = 3 - \sqrt{3log5}.$ τότε από την (1) προκύπτει $log y = -1 + \sqrt{3log5}.$

Άρα $x= 10^{3-\sqrt{3log5}}$ και $y= 10^{-1+\sqrt{3log5}}.$

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Οι αριθμοί $\displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu}$ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με $\displaystyle{5650}$ και των δύο μέσων είναι ίσο με $\displaystyle{450}$ .
Να βρεθούν οι $\displaystyle{\kappa,\lambda,\mu,\nu}$ .

Θα λύσω το παραπάνω θέμα γιατί ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έκανε ένα λάθος όταν το μετέφερε στο mathematica , ένα λάθος από αυτά που αναμένονται όταν κάποιος κάνει τόσα πολλά και διασώζει τέτοιο πλούτο θεμάτων. Πήγα να δω το θέμα εκεί από όπου το άντλησε ο Παναγιώτης , στο '' Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας '' . Τα αριθμητικά δεδομένα δεν φαίνονταν καλά στην οθόνη , έτσι λοιπόν τύπωσα τη σελίδα και κατόπιν της έκανα 2,5 φορές μεγέθυνση. Εκεί διέκρινα ότι το Το άθροισμα των δυο άκρων είναι δεν ίσο με $\displaystyle{5650}$ αλλά με $\displaystyle{3650}.$

Ισχύει ότι
$\lambda =a\kappa ,\mu =\kappa a ^{2},\nu =\kappa a ^{3}$ , όπου

ο λόγος της γεωμετρικής προόδου.

Ισχύει επίσης ότι
$\kappa +\kappa a ^{3}=3650$
και ότι
$a\kappa+\kappa a ^{2}=450.$

Η πρώτη μας δίνει ισοδύναμα ότι $\kappa\left ( 1+a \right )\left ( 1-a +a ^{2} \right )=3650$
ενώ η δεύτερη μας δίνει ισοδύναμα ότι
$\kappa a \left ( 1+a \right )=450$

Aν διαιρεθούν αυτές οι ισότητες προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{\kappa\left ( 1+a \right )\left ( 1-a +a ^{2} \right )}{\kappa a \left ( 1+a \right )}=\frac{3650}{450}$

και μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{ 1-a +a ^{2} }{ a }=\frac{73}{9}$

από όπου προκύπτει η εξίσωση

$9a^{2}-82a+9=0$

η οποία έχει λύσεις το

και το $\displaystyle \frac{1}{9}.$

Αν a=9

τότε πολύ εύκολα προκύπτει ότι $\kappa=5$ .
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 5,45,405,3645.

Αν $\displaystyle a=\frac{1}{9}$ προκύπτει ότι $\kappa=3645.$
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 3645,405,45,5.

Το θέμα έχει ουσιαστικά μια λύση.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

parmenides51 έγραψε: β) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} xy=1000 \\ \displaystyle\frac{x}{y}= \sqrt[3]{\displaystyle x^\log x} \end{cases}}$

Πριν γράψω οτιδήποτε θέλω να γράψω ότι το θέμα που δόθηκε το 1931 έδινε και όχι
Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος - εντελώς ανθρώπινα - έκανε ένα λάθος στην αντιγραφή...
Πολύ μικρό λάθος συγκριτικά με την προσπάθεια που κατέβαλε για να μεταφέρει τόσα και τόσα παλιά θέματα , πολλά εκ των οποίων είναι εξαιρετικά...
Eπίσης δεν υπάρχει το 2 στη δεύτερη εξίσωση.
Το θέμα το βρήκα στη ψηφιακή βιβλιοθήκη της ιστοσελίδας της ΕΜΕ , στη σελίδα 109 του Παραρτήματος του Δελτίου της ΕΜΕ , στο τεύχος 7 του 1932.

Αν λογαριθμίσω την πρώτη εξίσωση λαμβάνω ότι

logx+logy=3

και αν κάνω το ίδιο στη δεύτερη λαμβάνω ότι

$\displaystyle logx-logy=log\sqrt[3]{x^{logx}}\Leftrightarrow logx-logy=logx^{\frac{logx}{3}}\Leftrightarrow logx-logy=logx\cdot \frac{logx}{3}$

η οποία ισοδύναμα γράφεται

$\displaystyle logx-logy= \frac{log^{2}x}{3}$

Aν προστεθούν οι δύο εξισώσεις μας δίνουν ότι

$\displaystyle 2logx=3+\frac{log^{2}x}{3} \Leftrightarrow log^{2}x-6logx+9=0\Leftrightarrow logx=3\Leftrightarrow x=1000$

Πλέον είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι y=1

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

parmenides51 έγραψε:1.
β) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} y^x(1+y^x)=10100 \\ \log\sqrt{x^{\nu}}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2 \end{cases}}$

Οφείλω να ασχοληθώ με το θέμα αυτό γιατί δεν είναι σωστά γραμμένο . Για να το δω έψαξα στο ''Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας'' και συγκεκριμένα στο τεύχος 9-10 του 1932 στη σελίδα 150. Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έπρεπε να παλέψει με τα πολύ μικρά τυπογραφικά στοιχεία και ήταν επόμενο να κάνει λάθη. Αυτό συμβαίνει σε έναν άνθρωπο που προσπαθεί να διασώσει τα παλιά θέματα. Η προσφορά του όμως είναι ανεκτίμητη...
Η σωστή διατύπωση της δεύτερης εξίσωσης είναι
$\displaystyle \log\sqrt{xy}-\log\sqrt{\frac{x}{y}}=2 \end{cases}}$

Aς δούμε τώρα τη λύση...

$y^{x}\left ( 1+y^{x} \right )=10100\Leftrightarrow \left ( y^{x} \right )^{2}+y^{x}-10100=0$

Πρόκειται για μια δευτεροβάθμια ως προς $y^{x}$ της οποίας η διακρίνουσα είναι ίση με $1-4\left ( -10100 \right )=1+40400=40401=201^{2}$
Συνεπώς

ή $\displaystyle y^{x}=\frac{-1+201}{2}=100$ ή $\displaystyle y^{x}=\frac{-1-201}{2}=-101$

Επειδή η ποσότητα $y^{x}$ είναι θετική , προκύπτει ότι $y^{x}=100$

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση.

$\displaystyle log\sqrt{xy}-log\sqrt{\frac{x}{y}}=2\Leftrightarrow log\sqrt{xy\frac{y}{x}}=2\Leftrightarrow log\sqrt{y^{2}}=2\Leftrightarrow logy=2\Leftrightarrow$

y=100

Έτσι η $y^{x}=100$ γράφεται πλέον $100^{x}=100$ που ισοδύναμα δίνει x=1

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #8

parmenides51 έγραψε:

2. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^y=243\\ \sqrt[y]{1024} =\displaystyle \left(\frac{2}{3}x\right)^2 \end{cases}}$

Ας ασχοληθούμε με την πρώτη εξίσωση
$x^{y}=243\Leftrightarrow x^{y}=3^{5}\Leftrightarrow \left ( x^{y} \right )^{2}=\left ( 3^{5} \right )^{2}\Leftrightarrow x^{2y}=3^{10}$

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση
$\displaystyle\sqrt[y]{1024}=\left ( \frac{2}{3}x^{2} \right )\Leftrightarrow \left ( \sqrt[y]{2^{10}} \right )^{y}=\left [ \left ( \frac{2}{3}x \right )^{2} \right ]^{y}\Leftrightarrow 2^{10}=\left ( \frac{2}{3}x \right )^{2y}\Leftrightarrow 2^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y} \cdot x^{2y}$

Άρα μπορεί πλέον να γραφεί ότι
$\displaystyle2^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}\cdot 3^{10}$
το οποίο με τη σειρά του δίνει
$\displaystyle\frac{2^{10}}{3^{10}}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}$
από το οποίο συνεπάγεται
$\displaystyle\left ( \frac{2}{3} \right )^{10}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{2y}$

Προκύπτει εύκολα ότι 2y=10

, δηλαδή

Συνεπώς
$x^{10}=3^{10}$ , δηλαδή
x=3

ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση