ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές και
β) Να λυθεί το σύστημα
2. α) Να λυθεί το σύστημα
β) Να λυθεί το σύστημα
3. Οι αριθμοί αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με και των δύο μέσων είναι ίσο με .
Να βρεθούν οι .
4. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 21, οι τρεις επόμενοι όροι .
Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.
edit
μετονομασία από ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ σε ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ. γιατί μερικά τμήματα είχαν τα ίδια θέματα
β) Να λυθεί το σύστημα
2. α) Να λυθεί το σύστημα
β) Να λυθεί το σύστημα
3. Οι αριθμοί αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με και των δύο μέσων είναι ίσο με .
Να βρεθούν οι .
4. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 21, οι τρεις επόμενοι όροι .
Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.
edit
μετονομασία από ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ σε ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ. γιατί μερικά τμήματα είχαν τα ίδια θέματα
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Δευ Αύγ 05, 2013 3:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: ΕΜΠ 1931 ΠΟΛ.ΜΗΧ. ΑΛΓΕΒΡΑ
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Φεβ 26, 2024 2:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Έστω ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι ώστεparmenides51 έγραψε:1. α) Να αναλυθεί το κλάσμα σε άθροισμα δυο κλασμάτων που να έχουν παρανομαστές και
Ισοδύναμα μπορεί να γραφεί ότι
Aυτό που έχει να γίνει είναι να λυθεί η παραπάνω διοφαντική εξίσωση...
Μια λύση της εξίσωσης αυτής είναι
Συνεπώς οι άπειρες λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται
με ακέραιο.
Διαβάζοντας το θέμα κατάλαβα ότι οι εξεταστές ήθελαν άθροισμα κλασμάτων με τη στενή έννοια του όρου.
Έτσι μπαίνουν πλέον ο περιορισμός
και ο περιορισμός
Οι δυο παραπάνω περιορισμοί μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι
Έτσι και
Συνεπώς ο μόνος τρόπος που μπορεί να γραφεί το κλάσμα ως άθροισμα δυο κλασμάτων είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το 2.parmenides51 έγραψε:
2. α) Να λυθεί το σύστημα
β) Να λυθεί το σύστημα
Πρώτα από όλα έχουμε και για τα δύο υποερωτήματα και
α) Είναι : (1)
Επίσης (2)
Αντικαθιστώντας στην (1) την (2) έχουμε :
, από όπου προκύπτει
και στη συνέχεια από την (2)
β) Είναι (1)
Επίσης
(2)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:
Από την παραπάνω δευτεροβάθμια προκύπτουν λύσεις :
Αν τότε από την (1) προκύπτει
Άρα και
Επίσης αν τότε από την (1) προκύπτει
Άρα και
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Θα λύσω το παραπάνω θέμα γιατί ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έκανε ένα λάθος όταν το μετέφερε στο mathematica , ένα λάθος από αυτά που αναμένονται όταν κάποιος κάνει τόσα πολλά και διασώζει τέτοιο πλούτο θεμάτων. Πήγα να δω το θέμα εκεί από όπου το άντλησε ο Παναγιώτης , στο '' Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας '' . Τα αριθμητικά δεδομένα δεν φαίνονταν καλά στην οθόνη , έτσι λοιπόν τύπωσα τη σελίδα και κατόπιν της έκανα 2,5 φορές μεγέθυνση. Εκεί διέκρινα ότι το Το άθροισμα των δυο άκρων είναι δεν ίσο με αλλά μεparmenides51 έγραψε: 3. Οι αριθμοί αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Το άθροισμα των δυο άκρων είναι ίσο με και των δύο μέσων είναι ίσο με .
Να βρεθούν οι .
Ισχύει ότι
, όπου ο λόγος της γεωμετρικής προόδου.
Ισχύει επίσης ότι
και ότι
Η πρώτη μας δίνει ισοδύναμα ότι
ενώ η δεύτερη μας δίνει ισοδύναμα ότι
Aν διαιρεθούν αυτές οι ισότητες προκύπτει ότι
και μετά τις απλοποιήσεις προκύπτει ότι
από όπου προκύπτει η εξίσωση
η οποία έχει λύσεις το και το
Αν τότε πολύ εύκολα προκύπτει ότι .
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι
Αν προκύπτει ότι
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι
Το θέμα έχει ουσιαστικά μια λύση.
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Πριν γράψω οτιδήποτε θέλω να γράψω ότι το θέμα που δόθηκε το 1931 έδινε και όχιparmenides51 έγραψε: β) Να λυθεί το σύστημα
Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος - εντελώς ανθρώπινα - έκανε ένα λάθος στην αντιγραφή...
Πολύ μικρό λάθος συγκριτικά με την προσπάθεια που κατέβαλε για να μεταφέρει τόσα και τόσα παλιά θέματα , πολλά εκ των οποίων είναι εξαιρετικά...
Eπίσης δεν υπάρχει το 2 στη δεύτερη εξίσωση.
Το θέμα το βρήκα στη ψηφιακή βιβλιοθήκη της ιστοσελίδας της ΕΜΕ , στη σελίδα 109 του Παραρτήματος του Δελτίου της ΕΜΕ , στο τεύχος 7 του 1932.
Αν λογαριθμίσω την πρώτη εξίσωση λαμβάνω ότι
και αν κάνω το ίδιο στη δεύτερη λαμβάνω ότι
η οποία ισοδύναμα γράφεται
Aν προστεθούν οι δύο εξισώσεις μας δίνουν ότι
Πλέον είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Οφείλω να ασχοληθώ με το θέμα αυτό γιατί δεν είναι σωστά γραμμένο . Για να το δω έψαξα στο ''Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας'' και συγκεκριμένα στο τεύχος 9-10 του 1932 στη σελίδα 150. Ο Παναγιώτης Χρονόπουλος έπρεπε να παλέψει με τα πολύ μικρά τυπογραφικά στοιχεία και ήταν επόμενο να κάνει λάθη. Αυτό συμβαίνει σε έναν άνθρωπο που προσπαθεί να διασώσει τα παλιά θέματα. Η προσφορά του όμως είναι ανεκτίμητη...parmenides51 έγραψε:1.
β) Να λυθεί το σύστημα
Η σωστή διατύπωση της δεύτερης εξίσωσης είναι
Aς δούμε τώρα τη λύση...
Πρόκειται για μια δευτεροβάθμια ως προς της οποίας η διακρίνουσα είναι ίση με
Συνεπώς
ή ή
Επειδή η ποσότητα είναι θετική , προκύπτει ότι
Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση.
Έτσι η γράφεται πλέον που ισοδύναμα δίνει
-
- Δημοσιεύσεις: 1291
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΕΜΠ 1931 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ.ΜΗΧ.
Ας ασχοληθούμε με την πρώτη εξίσωσηparmenides51 έγραψε:
2. α) Να λυθεί το σύστημα
Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση
Άρα μπορεί πλέον να γραφεί ότι
το οποίο με τη σειρά του δίνει
από το οποίο συνεπάγεται
Προκύπτει εύκολα ότι , δηλαδή
Συνεπώς
, δηλαδή
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης