ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Εξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
1. Εαν είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο και τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα, να δειχθεί οτι , και στη συνέχεια ότι όπου η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο .
2. Πάνω σε δοθέν επίπεδο μεταβάλλεται κυρτό πεντάγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πάντα ορθή, και . Εαν μέσο της , να δειχθεί οτι ο λόγος
3. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Εαν τυχαίο σημείο του χώρου, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου , να δειχθεί οτι με πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα είναι δυνατόν να κατασκευασθεί τρίγωνο.
edit
διόρθωση τυπογραφικού στο 2ο, ευχαριστώ τον Γιώργο (Βισβίκη) που το πρόσεξε
1. Εαν είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο και τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα, να δειχθεί οτι , και στη συνέχεια ότι όπου η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο .
2. Πάνω σε δοθέν επίπεδο μεταβάλλεται κυρτό πεντάγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πάντα ορθή, και . Εαν μέσο της , να δειχθεί οτι ο λόγος
3. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Εαν τυχαίο σημείο του χώρου, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου , να δειχθεί οτι με πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα είναι δυνατόν να κατασκευασθεί τρίγωνο.
edit
διόρθωση τυπογραφικού στο 2ο, ευχαριστώ τον Γιώργο (Βισβίκη) που το πρόσεξε
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Καλημέρα.parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
2. Πάνω σε δοθέν επίπεδο μεταβάλλεται κυρτό πεντάγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πάντα ορθή, και . Εαν μέσο της , να δειχθεί οτι ο λόγος
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε:
Εξάλλου, είναι (ως διάμεσοι ορθογωνίων τριγώνων) και .
Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα και από την ισότητα προκύπτουν ότι:
.
.
Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και από Π.Θ έχουμε:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
α) Οι είναι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Άρα:parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
1. Εαν είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο και τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα, να δειχθεί οτι , και στη συνέχεια ότι όπου η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο .
.
Εφαρμόζω το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στα τρίγωνα .
.
Αρκεί να δείξω ότι:
, που ισχύει.
β) Αν είναι τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές , αντίστοιχα του τριγώνου , τότε: , απ' όπου έχουμε .
.
Και στις δύο περιπτώσεις οι ισότητες ισχύουν όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
-
- Δημοσιεύσεις: 1293
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Ενδιαφέρον θέμα...parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιαν 20, 2014 10:30 pmΕξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
3. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Εαν τυχαίο σημείο του χώρου, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου , να δειχθεί οτι με πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα είναι δυνατόν να κατασκευασθεί τρίγωνο.
Στην παρακάτω δημοσίευση είδαμε κάτι πιο γενικό
viewtopic.php?f=185&t=75640
Αν το εξειδικεύσουμε, τα παρακάτω γινόμενα
αποτελούν μήκη πλευρών τριγώνου.
Στο συγκεκριμένο θέμα ισχύει
Επομένως τα τμήματα αποτελούν πλευρές τριγώνου.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5964
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Ας μου επιτραπεί και μόνο για λόγους πολυφωνίας:parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιαν 20, 2014 10:30 pmΕξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
1. Εαν είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο και τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα, να δειχθεί οτι , και στη συνέχεια ότι όπου η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο .
α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι:
που ισχύει από ανισότητα B.C.S.
(*) Χρησιμοποιήσαμε ότι που αποδεικνύεται άμεσα με εμβαδά.
Για το ερώτημα β) δεν έχω κάτι διαφορετικό από την μέθοδο επίλυσης του Γιώργου.
(**) Υπογράμμισα τους εξεταστές γιατί αυτό θεωρώ ως επιστημονικά και ηθικά δίκαιο.
Όσο με αφορά δεν κατανοώ για τέτοιες σοβαρές καταστάσεις την ανωνυμία.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5964
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Θα μπορούσαμε και με αναφορά στο θεώρημα του Vecten στο σχήμα που ακολουθεί με βάση το τρίγωνο και τα τετράγωνα Συγκεκριμένα παίρνουμε από το θεώρημα αυτό: οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.parmenides51 έγραψε: ↑Δευ Ιαν 20, 2014 10:30 pmΕξεταστές: Οικονομίδης - Λαδόπουλος
2. Πάνω σε δοθέν επίπεδο μεταβάλλεται κυρτό πεντάγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι πάντα ορθή, και . Εαν μέσο της , να δειχθεί οτι ο λόγος
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες