ΕΜΠ 1948 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Υποθέτουμε οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma (x)=2\alpha x^2+\beta x+ (\gamma-\alpha)\ge 0}$ για $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{0<\alpha, 0<\gamma<\beta}$ . Να δείξετε οτι τότε έχουμε $\displaystyle{\frac{2\beta +\alpha}{\beta-\gamma}\ge \beta }$ .
Μπορεί να ισχύει $\displaystyle{\alpha=0, 0<\gamma<\beta}$ και $\displaystyle{2\alpha x^2+\beta x+ (\gamma-\alpha)\ge 0}$ για $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ ;

2. Έστω $\displaystyle{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_{\nu}}$ οι όροι γεωμετρική προόδου με θετικούς όρους και λόγο μεγαλύτερο ή μικρότερο της μονάδας. Να δείξετε ότι οι όροι μιας αριθμητικής προόδου $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{\nu}}$ της οποίας οι δυο πρώτοι είναι ίσοι με τους αντίστοιχους όρους της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή είναι $\displaystyle{\alpha_1=\gamma_1,\alpha_2 =\gamma_2}$ , είναι από τον τρίτο όρο και μετά μικρότεροι των αντίστοιχων όρων της γεωμετρικής προόδου, δηλαδή $\displaystyle{\alpha_3<\gamma_3,...,\alpha_{\nu} =\gamma_{\nu}}$ για $\displaystyle{\nu \ge 3}$ . Γι' αυτό να στηριχτείτε στην πρόταση, την οποία να αποδείξετε, οτι εαν σε αναλογία με θετικούς όρους κάθε όρος είναι μικρότερος των τριών άλλων, τότε το άθροισμα του μεγαλύτερου και του μικρότερου όρου είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος των δυο άλλων.

3. α) Να δείξετε οτι για πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha,\beta}$ ισχύει $\displaystyle{2\beta(1+|\alpha|)=1+\alpha+|\alpha| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |2\beta -1|<1 \\ \alpha (1-|2\beta-1|=2\beta-1 \end{array} \right.$ .
Ποιες τιμές ώστε να πληρούν τις παραπάνω σχέσεις, μπορούν να λάβουν τα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ ;
β) Να δείξετε οτι αν θέσουμε $\displaystyle{\gamma_{\nu}=\frac{\delta_1 \sqrt3}{2\nu}+\frac{\delta_2 \sqrt3}{2(\nu-1)}}$ όπου $\displaystyle{\delta_1,\delta_2,\nu}$ ακέραιοι αριθμοί και επιπλέον $\displaystyle{\nu\ge 5, \delta_1\delta_2=-1}$ , ότι πρέπει να έχουμε $\displaystyle{40 |\gamma_{\nu}|\le \sqrt3}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε:1. Υποθέτουμε οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma (x)=2\alpha x^2+\beta x+ (\gamma-\alpha)\ge 0}$ για $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{0<\alpha, 0<\gamma<\beta}$ . Να δείξετε οτι τότε έχουμε $\displaystyle{\frac{2\beta +\alpha}{\beta-\gamma}\ge 8 }$ .
Μπορεί να ισχύει $\displaystyle{\alpha=0, 0<\gamma<\beta}$ και $\displaystyle{2\alpha x^2+\beta x+ (\gamma-\alpha)\ge 0}$ για $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ ;

Γράφοντας τη λύση του θέματος , αναρωτιέμαι πόσοι από εκείνους που το αντιμετώπισαν είναι πλέον στη ζωή , 67 χρόνια μετά...

Το σωστό δεξί μέλος της προς απόδειξη ανισότητας είναι και όχι $\beta$ .
Ο Παναγιώτης μου το επιβεβαίωσε άλλωστε...

Αφού λοιπόν $\sigma (x)\ge 0$ για κάθε

με $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ , σίγουρα θα ισχύει

$\displaystyle\sigma \left(-\frac{3}{4} \right)\geq 0\Leftrightarrow 2a\left(-\frac{3}{4} \right)^{2}+\beta \cdot \left(-\frac{3}{4} \right)+\gamma -a\geq 0\Leftrightarrow$

$\displaystyle2a\cdot \frac{9}{16}-\frac{3\beta }{4}+\gamma -a\geq 0\Leftrightarrow \frac{9a}{8}-\frac{3\beta }{4}+\gamma -a\geq \Leftrightarrow$

$a-6\beta +8\gamma \geq 0\Leftrightarrow a+2\beta \geq 8\beta -8\gamma \Leftrightarrow a+2\beta \geq 8\left(\beta -\gamma \right)$

και αφού τα δεδομένα εξασφαλίζουν ότι $\beta -\gamma >0$ η τελευταία ανισότητα ισοδυναμεί με τη ζητουμένη ανισότητα $\displaystyle{\frac{2\beta +\alpha}{\beta-\gamma}\ge 8 }$

Αν a=0

έχουμε $\sigma \left(x \right)=\beta x+\gamma\ge 0$ για κάθε

με $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ .

Έτσι σίγουρα $\sigma \left(-1 \right)\geq 0\Leftrightarrow -\beta +\gamma \geq 0\Leftrightarrow \gamma \geq \beta$ , αυτό όμως αντιτίθεται στο δεδομένο ότι $\beta>\gamma$ .

Συνεπώς δε γίνεται να ισχύει $\displaystyle{\alpha=0, 0<\gamma<\beta}$ και $\displaystyle{2\alpha x^2+\beta x+ (\gamma-\alpha)\ge 0}$ για $\displaystyle{-1\le x \le 1}.$

Eυχαριστώ το Γιώργο Βισβίκη που με προσωπικό μήνυμα μου υπέδειξε σχετικά με τις άστοχες παρατηρήσεις που είχα γράψει.

chris_konst · #3

Τηλέμαχε γειά,

βάλε ένα ακόμη ερώτημα (πολύ απλό) : να δειχθεί ότι $\beta \leq \gamma \sqrt{2}$ .

Απάντηση:

Προκύπτει αμέσως από:

$\sigma (\cos \frac{5\pi}{4}) \geq 0 \Leftrightarrow - \frac{ \sqrt{2}}{2} \beta + \gamma \geq 0 \Leftrightarrow \beta \leq \gamma \sqrt{2}$ .

Προφανώς μπορείς να ξεκινήσεις και από την $\dispalystyle {\sigma (\sin \frac{5\pi}{4}) \geq 0 }$ .

ΕΜΠ 1948 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1948 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1948 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1948 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXΑΝ.ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση