ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Συντομεύσεις: ΧΗΜ(ΙΚΟΙ) ΜΗΧΑΝ(ΟΛΟΓΟΙ) ΜΗΧ(ΑΝΙΚΟΙ)

1. Δοθέντος οτι $\displaystyle{\log 2=0,3 \,\,\, , \log 3=0,47712}$ και $\displaystyle{\log 7=0,84510}$ να προσδιορίσετε χωρίς πίνακες τους λογάριθμους των αριθμών $\displaystyle{0,005 \,\,,\,\,\,\, 6,3}$ και $\displaystyle{\left(\frac{49}{216}\right)^{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ .

2. Έστω $\displaystyle{k}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\lambda=6k+1}$ . Να δείξετε τότε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{(x+1)^{\lambda}-x^{\lambda}-1}$ διαιρείται από το πολυώνυμο $\displaystyle{x^2+x+1}$ .

3. Έστω γεωμετρική πρόοδος με λόγο $\displaystyle{\lambda}$ . Έστω $\displaystyle{ \sum_{1}^{\nu-1}}$ το άθροισμα των $\displaystyle{\nu-1}$ πρώτων όρων της προόδου κι έστω $\displaystyle{ \sum_{1}^{\nu}}$ το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων αυτής. Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των γινομένων των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων λαμβανομένων ανά δυο με όλους τους δυνατούς τρόπους ισούται με $\displaystyle{ \frac{\lambda}{\lambda+1}\left(\sum_{1}^{\nu-1}\right)\left(\sum_{1}^{\nu}\right)}$

4. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{100x^2y^2+280x^2y-300xy^2-840xy+196x^2+225y^2-588x+630y+441=0}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:4. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{100x^2y^2+280x^2y-300xy^2-840xy+196x^2+225y^2-588x+630y+441=0}$

Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

$\left( {100{x^2}{y^2} + 225{y^2} + 196{x^2} - 300x{y^2} + 280{x^2}y - 420xy} \right) - 420xy - 588x + 630y + 441 = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {10xy - 15y + 14x} \right)^2} - 42\left( {10xy + 14x - 15y} \right) + 21^2 = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {10xy - 15y + 14x - 21} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

$10xy - 15y + 14x - 21 = 0 \Leftrightarrow$

$5y\left( {2x - 3} \right) + 7\left( {2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle\left( {5y + 7} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\;\dot \eta \;y = - \frac{7}{5}$

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι:

$\displaystyle\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{3}{2},\kappa } \right),\kappa \in R$ και $\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{7}{5}} \right),\lambda \in R$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω $\displaystyle{k}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\lambda=6k+1}$ . Να δείξετε τότε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{(x+1)^{\lambda}-x^{\lambda}-1}$ διαιρείται από το πολυώνυμο $\displaystyle{x^2+x+1}$ .

Η παρούσα δημοσίευση ας έχει τίτλο '' ΟΧΙ REQUIEM ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ '' .
Μολονότι βγήκαν από την ύλη των εξετάσεων του 2016 , δε σημαίνει ότι είναι εκτός χρησιμότητας . Αντίθετα πρόκειται για πολύ χρήσιμο κεφάλαιο, που η γνώση του δίνει διευρυμένες δυνατότητες , τόσο σε επίπεδο θεωρίας όσο και σε επίπεδο εφαρμογών.

Ας πάμε 59 χρόνια πίσω , όταν το εξεταστικό σύστημα της εποχής εκτιμούσε πολύ τους μιγαδικούς...

Η εξίσωση

$\displaystyle{x^2+x+1=0}$

όπως εύκολα μπορεί να βρεθεί έχει ως ρίζες τους αριθμούς

$\displaystyle x_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\frac{2\pi }{3} +isin\frac{2\pi }{3}$

$\displaystyle x_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\frac{4\pi }{3} +isin\frac{4\pi }{3}$

Πρόκειται για τις δύο καθαρά μιγαδικές κυβικές ρίζες της μονάδας.

Το μόνο που απομένει είναι να διαπιστώσουμε ότι οι $x_{1},x_{2}$ είναι και ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle{(x+1)^{\lambda}-x^{\lambda}-1}$ με $\displaystyle{\lambda=6k+1}$

$\displaystyle x_{1}+1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\frac{\pi }{3} -isin\frac{\pi }{3}$

$\displaystyle x_{2}+1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\frac{5\pi }{3} +isin\frac{5\pi }{3}$

Aπό εδώ και πέρα θα δουλέψει ο τύπος De Moivre...

Tι κρίμα που αυτός ο τύπος έπαψε να διδάσκεται εδώ και 16 χρόνια...
Είπαμε όμως , όχι requiem...

$\displaystyle {(x_{1}+1)^{6k+1}-x_{1}^{6k+1}-1}= \displaystyle{(cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3})^{6k+1}-(cos\frac{2\pi }{3} +isin\frac{2\pi }{3})^{6k+1}-1}=$

$cos\left[\frac{(6k +1)\pi}{3} \right]+isin\left[\frac{(6k +1)\pi}{3} \right]-cos\left[\frac{(6k +1)2\pi}{3} \right]-isin\left[\frac{(6k +1)2\pi}{3} \right]-1=$

$\displaystyle cos\left(2\pi +\frac{\pi }{3} \right)+isin\left(2\pi +\frac{\pi }{3} \right)-cos\left(4\pi +\frac{2\pi }{3} \right)-isin\left(4\pi +\frac{2\pi }{3} \right)-1=$

$\displaystyle cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3} -cos\frac{2\pi }{3} -isin\frac{2\pi }{3} -1=\frac{1 }{2}-(-\frac{1 }{2})-1=0$

Άρα ο αριθμός $x_{1}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{(x+1)^{\lambda}-x^{\lambda}-1}$ με $\displaystyle{\lambda=6k+1}$ .

Με εντελώς ανάλογο τρόπο για τον αριθμό $x_{2}...$

$\displaystyle {(x_{2}+1)^{6k+1}-x_{2}^{6k+1}-1}= \displaystyle{(cos\frac{5\pi }{3} +isin\frac{5\pi }{3})^{6k+1}-(cos\frac{4\pi }{3} +isin\frac{4\pi }{3})^{6k+1}-1}=$

$cos\left[\frac{(6k +1)5\pi}{3} \right]+isin\left[\frac{(6k +1)5\pi}{3} \right]-cos\left[\frac{(6k +1)4\pi}{3} \right]-isin\left[\frac{(6k +1)4\pi}{3} \right]-1=$

$cos\left(10\pi +\frac{5\pi }{3} \right)+isin\left(10\pi +\frac{5\pi }{3} \right)-cos\left(8\pi +\frac{4\pi }{3} \right)-isin\left(8\pi +\frac{4\pi }{3} \right)-1=$

$\displaystyle cos\frac{5\pi }{3} +isin\frac{5\pi }{3} -cos\frac{4\pi }{3} -isin\frac{4\pi }{3} -1=\frac{1 }{2}+i(-sin\frac{\pi }{3})-(-\frac{1 }{2})-i(-sin\frac{\pi }{3})-1=$

Άρα ο αριθμός $x_{2}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{(x+1)^{\lambda}-x^{\lambda}-1}$ με $\displaystyle{\lambda=6k+1}$ .

To παραπάνω θέμα το έλυνε εύκολα ένας διαβασμένος και προσεκτικός υποψήφιος μέχρι και το 1999,που ήταν και η τελευταία χρονιά των δεσμών.
Μετά οι μιγαδικοί πήραν το δρόμο της απαξίωσης για να φτάσουμε στο 2015 που έφυγαν από την ύλη των εξετάσεων του 2016.
Ας μη βιαστούμε όμως για το requiem...

chris_konst · #4

Μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση. Έστω $\displaystyle{P(x)= (x+1)^ \lambda - x^\lambda -1}$ και $\displaystyle{Q(x)= x^2 +x+1}$ . Το $\displaystyle{P(x)}$ διαιρείται από το $\displaystyle{Q(x)}$ , αν και μόνο αν κάθε ρίζα $\rho \in \mathbb{C}$ του $\displaystyle{Q(x)}$ είναι και ρίζα του $\displaystyle{P(x)}$ .

Αν $\rho \in \mathbb{C}$ είναι ρίζα του $\displaystyle{Q(x)}$ , τότε $\displaystyle{ \rho^2+\rho +1 = 0 \Rightarrow (\rho-1) (\rho^2+\rho +1) =0 \Rightarrow \boxed {\rho^3 =1} \quad \quad (1) }$ .

Είναι $\displaystyle{ (\rho+1)^{\lambda} = (-\rho^2)^{\lambda} = (-\rho^2)^{6k+1} = (-\rho^2) \rho^{12k} = (-\rho^2) (\rho^3)^{4k} = -\rho^2 }$ (εξ' αιτίας της (1)).

Επίσης $\displaystyle {\rho^{\lambda}=\rho^{6k+1} = (\rho^3)^{2k} \rho = \rho}$ .

Επομένως $\displaystyle{P(\rho) = (\rho+1)^ \lambda - \rho^\lambda -1 = -\rho^2 - \rho -1 = -(\rho^2 + \rho +1) =0}$ , το οποίο είναι και το ζητούμενο.

Γιώργος Απόκης · #5

parmenides51 έγραψε: 1. Δοθέντος οτι $\displaystyle{\log 2=0,3 \,\,\, , \log 3=0,47712}$ και $\displaystyle{\log 7=0,84510}$ να προσδιορίσετε χωρίς πίνακες τους λογάριθμους των αριθμών $\displaystyle{0,005 \,\,,\,\,\,\, 6,3}$ και $\displaystyle{\left(\frac{49}{216}\right)^{\displaystyle \frac{1}{3}}}$ .

$\displaystyle{\log 0,005=\log\frac{1}{200}=-\log200=-\log(2\cdot 10^2)=-\log2-2\log10=-0,3-2=-2,3}$

$\displaystyle{\log6,3=\log\frac{7\cdot 3^2}{10}=\log7+2\log3-\log10=0,84510+2\cdot0,47712-1=0,79934}$

$\displaystyle{\log\left(\frac{49}{216}\right)^{1/3}=\frac{1}{3}\log\frac{7^2}{6^3}=\frac{1}{3}(2\log 7-3\log 6)=\frac{1}{3}(2\log7-3\log2-3\log3)=-0,21372}$

ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1956 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση