ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Εξεταστές: Πυλαρινός - Φλωράς
1. Θεωρούμε την πρόοδο και την χωρίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε η πρώτη να περιέχει όρο, η δεύτερη , η τρίτη , και ούτω καθ' εξής, η -ιοστή να περιέχει όρους. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της -ιοστής ομάδας.
2. Δίνεται η εξίσωση . Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; Στην περίπτωση αυτή να υποθέσετε οτι οι πραγματικές ρίζες είναι και όπου . Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα . Αφού αποδείξετε οτι υπάρχουν μόνο δυο τιμές για το , να διερευνήσετε για ποιες τιμές του παίρνει την μία τιμή και για ποιες την άλλη.
3. Εαν οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί επαληθεύουν τις σχέσεις , να δειχθεί οτι καθεμία από τις παραστάσεις ισούται με
4. Εαν είναι ρίζα της εξίσωσης και είναι , να δειχθεί τότε οτι θα είναι πάντα
1. Θεωρούμε την πρόοδο και την χωρίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε η πρώτη να περιέχει όρο, η δεύτερη , η τρίτη , και ούτω καθ' εξής, η -ιοστή να περιέχει όρους. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της -ιοστής ομάδας.
2. Δίνεται η εξίσωση . Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; Στην περίπτωση αυτή να υποθέσετε οτι οι πραγματικές ρίζες είναι και όπου . Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα . Αφού αποδείξετε οτι υπάρχουν μόνο δυο τιμές για το , να διερευνήσετε για ποιες τιμές του παίρνει την μία τιμή και για ποιες την άλλη.
3. Εαν οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί επαληθεύουν τις σχέσεις , να δειχθεί οτι καθεμία από τις παραστάσεις ισούται με
4. Εαν είναι ρίζα της εξίσωσης και είναι , να δειχθεί τότε οτι θα είναι πάντα
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Εδώparmenides51 έγραψε: 4. Εαν είναι ρίζα της εξίσωσης και είναι , να δειχθεί τότε οτι θα είναι πάντα
Γιώργος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Είναι το οποίο είναι τριώνυμο και έχει πραγματικές ρίζες όταν δηλαδή έχει ρίζες γιαparmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται η εξίσωση . Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; Στην περίπτωση αυτή να υποθέσετε οτι οι πραγματικές ρίζες είναι και όπου . Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα . Αφού αποδείξετε οτι υπάρχουν μόνο δυο τιμές για το , να διερευνήσετε για ποιες τιμές του παίρνει την μία τιμή και για ποιες την άλλη.
Τώρα από την ταυτότητα και από το γεγονός ότι οι είναι ρίζες , άρα από έχουμε:
και
Οπότε η δίνει:
όπου .
Τώρα είναι και επειδή είναι ή .
Άρα πράγματι το άθροισμα υπάρχουν δύο τιμές ... (α) και (β) .
Θα συνεχίσω με τις τιμές του αύριο... !!
Κατάλαβα πού έκανα λάθος... και έκανα και πολλά τυπογραφικά! Ευχαριστώ τον parmenides και τον κ. Γιώργο Απόκη για τις παρατηρήσεις.
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Κυρ Ιαν 12, 2014 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Καλημέρα. Χωρίς το ...Tolaso J Kos έγραψε:Είναι το οποίο είναι τριώνυμο και έχει πραγματικές ρίζες όταν δηλαδή έχει ρίζες γιαparmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται η εξίσωση . Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες; Στην περίπτωση αυτή να υποθέσετε οτι οι πραγματικές ρίζες είναι και όπου . Ζητείται να βρεθεί το άθροισμα . Αφού αποδείξετε οτι υπάρχουν μόνο δυο τιμές για το , να διερευνήσετε για ποιες τιμές του παίρνει την μία τιμή και για ποιες την άλλη.
Τώρα από την ταυτότητα και από το γεγονός ότι οι είναι ρίζες , άρα από έχουμε:
και
η γράφεται: . Τότε έχουμε: αυτή όμως είναι αμφινοσήμαντη τιμή αφού η είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της..
Κάνω κάπου λάθος;;
Γιώργος
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
κσλησπέραTolaso J Kos έγραψε: αυτή όμως είναι αμφινοσήμαντη τιμή αφού η είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της..
ας απαντήσω δημόσια στο λεπτό σημείο,
μιας και το τυπογραφικό το βρήκε ο Γιώργος
η εξίσωση πόσες λύσεις έχει;
εξαρτάται από τις τιμές του
για παράδειγμα η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις , τις με
διότι γράφεται ως , αν περιορίσω τις τιμές του , περιορίζω και τις λύσεις της εξίσωσης
διαφορετικά η γραφική παράσταση της τέμνει άπειρες φορές την οριζόντια ευθεία
σε διαστήματα που διαφέρουν κατά την περίοδο της , οπότε βρίσκουμε μια λύση
και προσθέτουμε τα πολλαπλάσια της περιόδου της για να τις βρούμε όλες
τέλος οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες γιατί έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού,
μόνο εαν περιορίσεις την 1η σε διάστημα στο οποίο είναι η , είναι ισοδύναμη η 1η εξίσωση με την 2η
σε τριγωνομετρικές εξισώσεις β λυκείου, δεν χρειάζεται να μπλέκεις με τόξα εφαπτομένης
καλή συνέχεια
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Καλό θέμα ....parmenides51 έγραψε: 1. Θεωρούμε την πρόοδο και την χωρίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε η πρώτη να περιέχει όρο, η δεύτερη , η τρίτη , και ούτω καθ' εξής, η -ιοστή να περιέχει όρους. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της -ιοστής ομάδας.
Έστω η ακολουθία των πρώτων όρων των ομάδων στις οποίες χωρίστηκε η πρόοδος.
Ισχύουν οι εξής , το πλήθος , ισότητες:
...............................................
...............................................
...............................................
Προσθέτω τις το πλήθος παραπάνω ισότητες και προκύπτει ότι
και λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι , προκύπτει ότι
Βρέθηκε η ακολουθία που δίνει τον πρώτο όρο της νιοστής ομάδας.
Το άθροισμα των όρων της νιοστής ομάδας είναι το άθροισμα των όρων αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά ίση με
Εφαρμόζω τον τύπο που γνωρίζετε όλοι , το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Πρόκειται για όμορφο θέμα...parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Πυλαρινός - Φλωράς
3. Εαν οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί επαληθεύουν τις σχέσεις , να δειχθεί οτι καθεμία από τις παραστάσεις ισούται με
Ας ξεκινήσουμε από την ισότητα
Ισοδύναμα μπορεί να γραφεί
και αφού μας έχει δοθεί ότι μπορώ ισοδύναμα να γράψω ότι ισχύει
(1)
Mε αντίστοιχες σκέψεις , από την
προκύπτει ισοδύναμα
(2)
και από την
προκύπτει ισοδύναμα
(3)
Oι (1), (2), (3) αποτελούν ένα ομογενές γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους , τα x,y,z , το οποίο έχει και άπειρες μη μηδενικές λύσεις, αφού οι x,y,z είναι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Το είναι παράμετρος. Ισοδύναμα λοιπόν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με . Για να μη σας κουράζω με πράξεις , αυτό ισοδυναμεί με .
Οι τιμές της παραμέτρου που μας απασχολούν είναι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Πρόκειται για τους αριθμούς και .
Ας εξετάσουμε την κάθε τιμή χωριστά.
Για το σύστημα γράφεται
Οι άπειρες λύσεις του ,όπως κάποιος μπορεί να βρει, είναι της μορφής όπου οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
Αυτή η περίπτωση δεν είναι όμως συμβατή με τα δεδομένα του θέματος τα οποία σαφώς δηλώνουν ότι οι οι x,y,z είναι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους.
Άρα αποκλείεται η τιμή .
Για το σύστημα γράφεται
όπως εύκολα κάποιος μπορεί να βρει.
Στην πραγματικότητα οι τρεις εξισώσεις έγιναν μία , η .
Από αυτήν προκύπτει ότι
Έτσι
Aποδείχθηκε λοιπόν ότι
.
Το ζητούμενο πλέον είναι προφανές.
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Μια άλλη λύση στο θέμα αυτό , η οποία μου δόθηκε από έναν παλιό φίλο ...parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Πυλαρινός - Φλωράς
3. Εαν οι διαφορετικοί μεταξύ τους αριθμοί επαληθεύουν τις σχέσεις , να δειχθεί οτι καθεμία από τις παραστάσεις ισούται με
Έστω
Tα είναι ρίζες της εξίσωσης
Συνεπώς
Mε αντίστοιχες σκέψεις προκύπτει
Άρα ισχύει ότι
και ισοδύναμα προκύπτει , αφού , ότι
Άρα
και
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Αν θέλουμε άλλο τρόπο για το παραπάνω σύστημα τότε απλά θέτω
, και αφού κοιτάξω πότε μηδενίζονται οι τότε αντικαθιστώ ...
Στο τέλος παίρνω όλες τις λύσεις.
, και αφού κοιτάξω πότε μηδενίζονται οι τότε αντικαθιστώ ...
Στο τέλος παίρνω όλες τις λύσεις.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:03 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Καλημέρα σε όλους
Άλλη μια αντιμετώπιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
Έστω .
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση . Η (1) δηλώνει ότι τα σημεία είναι και τα τρία σημεία της .
Επομένως
Από αυτήν, και επειδή , με πολύ εύκολες πράξεις προκύπτει αμέσως ότι: .
Ακόμα:
. Αφού όμως θα είναι:
. Αντίστοιχα παίρνουμε και , .
Από τις (2), (3), (4) είναι (π.χ. από (2): αν ήταν , τότε θα ήταν , οπότε για να ισχύουν οι (3) και (4) θα έπρεπε άτοπο).
Μετά συνεχίζουμε κατά τα γνωστά, όπως παραπάνω:
Άλλη μια αντιμετώπιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
Έστω .
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση . Η (1) δηλώνει ότι τα σημεία είναι και τα τρία σημεία της .
Επομένως
Από αυτήν, και επειδή , με πολύ εύκολες πράξεις προκύπτει αμέσως ότι: .
Ακόμα:
. Αφού όμως θα είναι:
. Αντίστοιχα παίρνουμε και , .
Από τις (2), (3), (4) είναι (π.χ. από (2): αν ήταν , τότε θα ήταν , οπότε για να ισχύουν οι (3) και (4) θα έπρεπε άτοπο).
Μετά συνεχίζουμε κατά τα γνωστά, όπως παραπάνω:
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Mέσω αυτής της δημοσίευσης καλωσορίζω το νέο μέλος του forum μας christ_konst.
Όταν έναν άνθρωπο τον ξέρεις 30 χρόνια , από την πρώτη μέρα του πρώτου έτους , όταν έχεις δαπανήσει τόσο πολύ χρόνο μαζί του , όταν ξέρεις την αγάπη του για τα μαθηματικά , όταν ξέρεις τι κόσμο έχει βοηθήσει , δε μπορείς παρά να χαίρεσαι που - μολονότι είναι τόσο μακρυά σου - είναι μαζί σου στο mathematica.
Mαζί με το τηλέφωνο και τα mail , τώρα υπάρχει και το forum...
Kαλώς ήρθες παλιόφιλε...
Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς
Ένας απλός καθηγητής μαθηματικών σ' ένα γυμνάσιο ενός χωριού της Κεφαλλονιάς.
Όταν έναν άνθρωπο τον ξέρεις 30 χρόνια , από την πρώτη μέρα του πρώτου έτους , όταν έχεις δαπανήσει τόσο πολύ χρόνο μαζί του , όταν ξέρεις την αγάπη του για τα μαθηματικά , όταν ξέρεις τι κόσμο έχει βοηθήσει , δε μπορείς παρά να χαίρεσαι που - μολονότι είναι τόσο μακρυά σου - είναι μαζί σου στο mathematica.
Mαζί με το τηλέφωνο και τα mail , τώρα υπάρχει και το forum...
Kαλώς ήρθες παλιόφιλε...
Τηλέμαχος Μπαλτσαβιάς
Ένας απλός καθηγητής μαθηματικών σ' ένα γυμνάσιο ενός χωριού της Κεφαλλονιάς.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:03 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ
Ευχαριστώ πολύ Τηλέμαχε, και καλώς σας βρήκα όλους
Χρήστος
Χρήστος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες