Εξεταστής: Ν. Κρητικός
1. Θεωρούμε το διώνυμο , όπου σταθερά και συμβολίζουμε με το πολυώνυμο , δηλαδή αυτό που προκύπτει από το εαν σε αυτό το αντικατασταθεί με το και ανάλογα με συμβολίζουμε το . Με την υπόθεση οτι κάθε ρίζα της εξίσωσης είναι απλή, οτι δηλαδή το πολυώνυμο διαιρείται από το όχι όμως από το , να δείξετε οτι
α) το διαιρείται από το και να βρείτε το πηλίκο της εν λόγω διαίρεσης
β) εαν είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε και οι είναι ρίζες της ίδιας εξίσωσης
γ) εξίσωση με ρίζες τις είναι η .
Τέλος παριστάνοντας με ρίζα του διάφορου των , τότε σύμφωνα με τα παραπάνω και οι είναι ρίζες του και θέτοντας , να βρείτε οτι τα και είναι ρίζες της εξίσωσης
2. Η τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού έχει πάντοτε δυο τιμές αντίθετες. Από αυτές επιλέγουμε εδώ εκείνη την οποία , στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι διάφορο του μηδενός έχει πραγματικό μέρος θετικό, ενώ στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι μηδέν, έχει συντελεστή του θετικό. Να λύσετε σύμφωνα με την παραπάνω συμφωνία , τις δυο παρακάτω εξισώσεις : , και να βρείτε , εαν αυτές έχουν κοινή ρίζα.
Να κάνετε το ίδιο για τις εξισώσεις .
3. Θεωρούμε ακολουθία αριθμών των οποίων οι όροι πληρούν τις σχέσεις για φυσικό , παραλείποντας την τετριμμένη περίπτωση όπου όλοι οι όροι είναι ίσοι με μηδέν. Όπως είναι φυσικό, και η ακολουθία για τυχαίο αριθμό , ονομαζόμενη ανάλογη της πρώτης, πληρεί τις παραπάνω σχέσεις (υποτίθεται ) . Να δείξετε οτι
α) για οποιεσδήποτε ορισμένες μη ανάλογες ακολουθίες και , τυχαία άλλη ακολουθία που ικανοποιεί επίσης τις παραπάνω σχέσεις, είναι της μορφής () με κατάλληλους αριθμούς ανεξάρτητους του
β) σαν παραπάνω μη ανάλογες ακολουθίες και , μπορούμε να πάρουμε δυο γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο , των οποίων να υπολογίσετε τους λόγους
γ) για είναι και χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα αποτελέσματα.
Υ.Γ. Σχολιάζοντας την τεράστια έκταση του 1ου θέματος μεταξύ άλλων ο Πάλλας στο ετήσιο Δελτίο του σχολιάζει ''θα είμεθα ευτυχείς εαν ο κ. εξεταστής μας έλεγε πόσοι υποψήφιοι διεξήλθον κανονικά το θέμα. Ασφαλώς κατά την γνώμη μας ουδείς.''
edit
διόρθωση λέξης στο 2ο
ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.
Έχουμεparmenides51 έγραψε:2. Η τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού έχει πάντοτε δυο τιμές αντίθετες. Από αυτές επιλέγουμε εδώ εκείνη την οποία , στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι διάφορο του μηδενός έχει πραγματικό μέρος θετικό, ενώ στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι μηδέν, έχει συντελεστή του θετικό. Να λύσετε σύμφωνα με την παραπάνω συμφωνία , τις δυο παρακάτω εξισώσεις : , και να βρείτε , εαν αυτές έχουν κοινή ρίζα.
Για η εξίσωση γίνεται : που ισχύει
Για η εξίσωση γίνεται : που δεν ισχύει
Ομοίως
Για η εξίσωση γίνεται : που δεν ισχύει
Για η εξίσωση γίνεται : που ισχύει
Άρα οι εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση
Έχουμεparmenides51 έγραψε:Να κάνετε το ίδιο για τις εξισώσεις .
Για η εξίσωση γίνεται : που δεν ισχύει
Για η εξίσωση γίνεται : που ισχύει
Ομοίως
Για η εξίσωση γίνεται : που ισχύει
Για η εξίσωση γίνεται : που δεν ισχύει
Άρα οι εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση
Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες