ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ν. Κρητικός

1. Θεωρούμε το διώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2+a}$ , όπου $\displaystyle{a}$ σταθερά $\displaystyle{\ne \frac{1}{4}}$ και συμβολίζουμε με $\displaystyle{f_2(x)}$ το πολυώνυμο $\displaystyle{f(f(x))}$ , δηλαδή αυτό που προκύπτει από το $\displaystyle{f(x)}$ εαν σε αυτό το $\displaystyle{x}$ αντικατασταθεί με το $\displaystyle{f(x)}$ και ανάλογα με $\displaystyle{ f_3(x)}$ συμβολίζουμε το $\displaystyle{f_2(f(x))}$ . Με την υπόθεση οτι κάθε ρίζα $\displaystyle{p }$ της εξίσωσης $\displaystyle{f_3(x)-p=0}$ είναι απλή, οτι δηλαδή το πολυώνυμο $\displaystyle{f_3(x)-p}$ διαιρείται από το $\displaystyle{x-p}$ όχι όμως από το $\displaystyle{(x-p)^2}$ , να δείξετε οτι
α) το $\displaystyle{ f_3(x)-p}$ διαιρείται από το $\displaystyle{f(x)-x}$ και να βρείτε το πηλίκο $\displaystyle{\pi(x)}$ της εν λόγω διαίρεσης
β) εαν $\displaystyle{\xi}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\pi(x)=0}$ , τότε και οι $\displaystyle{f(\xi) ,f_2(\xi)}$ είναι ρίζες της ίδιας εξίσωσης
γ) εξίσωση με ρίζες τις $\displaystyle{\xi, f(\xi) ,f_2(\xi)}$ είναι η $\displaystyle{y^3-\omega_1 y^2+(a-1-\omega_1)y-(a\omega_1+a+1)=0}$ .
Τέλος παριστάνοντας με $\displaystyle{z}$ ρίζα του $\displaystyle{\pi(x)}$ διάφορου των $\displaystyle{\xi, f(\xi) ,f_2(\xi)}$ , τότε σύμφωνα με τα παραπάνω και οι $\displaystyle{f(z),f_2(z)}$ είναι ρίζες του $\displaystyle{\pi(x)}$ και θέτοντας $\displaystyle{ \omega_2=z+f(z)+f_2(z)}$ , να βρείτε οτι τα $\displaystyle{\omega_1}$ και $\displaystyle{\omega_2}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{\omega^2+\omega+(a+2)=0}$

2. Η τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού $\displaystyle{\ne 0}$ έχει πάντοτε δυο τιμές αντίθετες. Από αυτές επιλέγουμε εδώ εκείνη την οποία , στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι διάφορο του μηδενός έχει πραγματικό μέρος θετικό, ενώ στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι μηδέν, έχει συντελεστή του $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ θετικό. Να λύσετε σύμφωνα με την παραπάνω συμφωνία , τις δυο παρακάτω εξισώσεις : $\displaystyle{\sqrt{3x+12}+\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \,\,,\,\, 3x+\sqrt{5-4x}=0}$ , και να βρείτε , εαν αυτές έχουν κοινή ρίζα.
Να κάνετε το ίδιο για τις εξισώσεις $\displaystyle{\sqrt{3x+12}-\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \,\,,\,\, 3x-\sqrt{5-4x}=0}$ .

3. Θεωρούμε ακολουθία αριθμών $\displaystyle{a_1,a_2,a_3,... }$ των οποίων οι όροι πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{a_{\nu}= a_{\nu-1}+ a_{\nu-2}}$ για φυσικό $\displaystyle{\nu>2}$ , παραλείποντας την τετριμμένη περίπτωση όπου όλοι οι όροι είναι ίσοι με μηδέν. Όπως είναι φυσικό, και η ακολουθία $\displaystyle{\lambda a_1, \lambda a_2,\lambda a_3,...}$ για τυχαίο αριθμό $\displaystyle{\lambda}$ , ονομαζόμενη ανάλογη της πρώτης, πληρεί τις παραπάνω σχέσεις (υποτίθεται $\displaystyle{\lambda\ne 0}$ ) . Να δείξετε οτι
α) για οποιεσδήποτε ορισμένες μη ανάλογες ακολουθίες $\displaystyle{a_1,a_2,a_3,...}$ και $\displaystyle{ b_1,b_2,b_3,...}$ , τυχαία άλλη ακολουθία που ικανοποιεί επίσης τις παραπάνω σχέσεις, είναι της μορφής $\displaystyle{\gamma_{\nu}=\lambda a_{\nu}+\mu \beta_{\nu}}$ ( $\displaystyle{\nu=1,2,3,...}$ ) με $\displaystyle{ \lambda,\mu }$ κατάλληλους αριθμούς ανεξάρτητους του $\displaystyle{\nu}$
β) σαν παραπάνω μη ανάλογες ακολουθίες $\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...}$ και $\displaystyle{b_1,b_2,b_3,...}$ , μπορούμε να πάρουμε δυο γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο $\displaystyle{1}$ , των οποίων να υπολογίσετε τους λόγους
γ) για $\displaystyle{\gamma_1=\gamma_2=1}$ είναι $\displaystyle{\gamma_3+\gamma_6+...+\gamma_{3\nu}=\frac{1}{2}(\gamma_{3\nu+2}-1)}$ και $\displaystyle{\gamma_{\nu}^3=\frac{1}{5} [\gamma_{3\nu}+(-1)^{\nu+1}3\gamma_{\nu}]}$ χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα αποτελέσματα.

Υ.Γ. Σχολιάζοντας την τεράστια έκταση του 1ου θέματος μεταξύ άλλων ο Πάλλας στο ετήσιο Δελτίο του σχολιάζει ''θα είμεθα ευτυχείς εαν ο κ. εξεταστής μας έλεγε πόσοι υποψήφιοι διεξήλθον κανονικά το θέμα. Ασφαλώς κατά την γνώμη μας ουδείς.''

edit
διόρθωση λέξης στο 2ο

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:2. Η τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού $\displaystyle{\ne 0}$ έχει πάντοτε δυο τιμές αντίθετες. Από αυτές επιλέγουμε εδώ εκείνη την οποία , στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι διάφορο του μηδενός έχει πραγματικό μέρος θετικό, ενώ στην περίπτωση που το πραγματικό της μέρος είναι μηδέν, έχει συντελεστή του $\displaystyle{i=\sqrt{-1}}$ θετικό. Να λύσετε σύμφωνα με την παραπάνω συμφωνία , τις δυο παρακάτω εξισώσεις : $\displaystyle{\sqrt{3x+12}+\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \,\,,\,\, 3x+\sqrt{5-4x}=0}$ , και να βρείτε , εαν αυτές έχουν κοινή ρίζα.

$\displaystyle{\bullet}$ Έχουμε $\displaystyle{\sqrt{3x+12}+\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \Rightarrow \left(\sqrt{3x+12}+\sqrt{3x+4}\right)^2=\sqrt{6x+10}^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{3x+12+3x+4+2\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=6x+10\Rightarrow 2\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=-6\Rightarrow}$

$\displaystyle{\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=-3\Rightarrow (3x+12)(3x+4)=9\Rightarrow 3x^2+16x+13=0\Rightarrow x=-\frac{13}{3}~\acute{\eta}~x=-1}$

Για $\displaystyle{x=-\frac{13}{3}}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\sqrt{-1}+\sqrt{-9}=\sqrt{-16}\Rightarrow i+3i=4i}$ που ισχύει

Για $\displaystyle{x=-1}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\sqrt{9}+\sqrt{1}=\sqrt{4}\Rightarrow 3+1=2}$ που δεν ισχύει

$\displaystyle{\bullet}$ Ομοίως $\displaystyle{3x+\sqrt{5-4x}=0 \Rightarrow \sqrt{5-4x}^2=9x^2 \Rightarrow 9x^2+4x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{9}~\acute{\eta}~x=-1 }$

Για $\displaystyle{x=\frac{5}{9}}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\frac{15}{9}+\sqrt{\frac{25}{9}}=0\Rightarrow \frac{5}{3}+\frac{5}{3}=0}$ που δεν ισχύει

Για $\displaystyle{x=-1}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{-3+\sqrt{9}=0\Rightarrow -3+3=0$ που ισχύει

Άρα οι εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση

parmenides51 έγραψε:Να κάνετε το ίδιο για τις εξισώσεις $\displaystyle{\sqrt{3x+12}-\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \,\,,\,\, 3x-\sqrt{5-4x}=0}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Έχουμε $\displaystyle{\sqrt{3x+12}-\sqrt{3x+4}=\sqrt{6x+10} \Rightarrow \left(\sqrt{3x+12}-\sqrt{3x+4}\right)^2=\sqrt{6x+10}^2 \Rightarrow }$

$\displaystyle{3x+12+3x+4-2\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=6x+10\Rightarrow -2\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=-6\Rightarrow}$

$\displaystyle{\sqrt{3x+12}\sqrt{3x+4}=3\Rightarrow (3x+12)(3x+4)=9\Rightarrow 3x^2+16x+13=0\Rightarrow x=-\frac{13}{3}~\acute{\eta}~x=-1}$

Για $\displaystyle{x=-\frac{13}{3}}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\sqrt{-1}-\sqrt{-9}=\sqrt{-16}\Rightarrow i-3i=4i}$ που δεν ισχύει

Για $\displaystyle{x=-1}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\sqrt{9}-\sqrt{1}=\sqrt{4}\Rightarrow 3-1=2}$ που ισχύει

$\displaystyle{\bullet}$ Ομοίως $\displaystyle{3x-\sqrt{5-4x}=0 \Rightarrow \sqrt{5-4x}^2=9x^2 \Rightarrow 9x^2+4x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{9}~\acute{\eta}~x=-1 }$

Για $\displaystyle{x=\frac{5}{9}}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\frac{15}{9}-\sqrt{\frac{25}{9}}=0\Rightarrow \frac{5}{3}-\frac{5}{3}=0}$ που ισχύει

Για $\displaystyle{x=-1}$ η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{-3-\sqrt{9}=0\Rightarrow -3-3=0$ που δεν ισχύει

Άρα οι εξισώσεις δεν έχουν κοινή λύση

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση