ΕΜΠ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΧΗΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΛΛΕΙΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ν. Θεοφανόπουλος

1. α) Οι πλευρές ενός τριγώνου υπακούουν στις σχέσεις $\displaystyle{\alpha^2=y^2+z^2+yz, \beta^2=z^2+x^2+zx,\gamma^2=x^2+y^2+xy}$ .
Να αποδειχθεί οτι το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E=\frac{\sqrt3}{4}|xy+yz+zx|}$ .
β) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\eta\mu2x}{\tau\varepsilon\mu x}\varepsilon\phi x- \frac{2\sigma\upsilon\nu x}{\sigma\tau\varepsilon\mu x}+3=\varepsilon\phi^2x}$

2. α) Να βρεθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=\sigma\upsilon\nu \alpha+\sigma\upsilon\nu( \alpha-\beta)+\sigma\upsilon\nu( \alpha-2\beta)+...}$
β) Εαν $\displaystyle{\alpha }$ και $\displaystyle{\beta}$ θετικά ποσά, λογιστά δια των λογαρίθμων και $\displaystyle{\alpha > \beta}$ .
Ζητείται για κατάλληλες βοηθητικές γωνίες να γίνουν λογιστές δια των λογαρίθμων
οι παραστάσεις $\displaystyle{\sqrt{\alpha+\beta}+\sqrt{\alpha-\beta},\sqrt{\frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta}}+\sqrt{\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}},\sqrt{\alpha^2-\beta^2}}$

3. α) Σημείο O στον χώρο απέχει και από τις τρεις κορυφές τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ του οποίου
οι αποστάσεις είναι αντιστοίχως $\displaystyle{AB=0,5\,\, m, B\Gamma=0,3\,\, m}$ και $\displaystyle{A\Gamma=0,4\,\, m}$ .
Ζητείται η απόσταση του $\displaystyle{O}$ από το επίπεδο του τριγώνου και η δίεδρος γωνία $\displaystyle{O-AB-\Gamma}$ .
β) Εαν οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma} }$ και τα αντίστοιχα ημίτονα τους, αποτελούν αντίστοιχα διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου,
να εκφραστούν δυο από τις γωνίες αυτές συναρτήσει της τρίτης.

4. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (πλευρές και γωνίες) , του οποίου δίνονται
η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A},\delta_{\alpha}=9\,\,m}$ η διαφορά των γωνιών $\displaystyle{\widehat{B}-\widehat{\Gamma}=15^o30'}$
και η ακτίνα $\displaystyle{p}$ του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Σημείωση για το 2α θέμα $\displaystyle{\tau\varepsilon\mu x=\frac{1}{\sigma\upsilon\nu x}, \sigma\tau\varepsilon\mu x=\frac{1}{\eta\mu x}}$
Σημείωση για το 2β θέμα σχετικά με την έκφραση λογιστή δια των λογαρίθμων εδώ κι εδώ

Υ.Γ. Σύμφωνα με το Ετήσιο Δελτίο του Πάλλα :
το ερώτημα 1α ήταν λανθασμένο γιατί είχε δοθεί χωρίς απόλυτο στο ζητούμενο
το ερώτημα 1β ήταν λανθασμένο γιατί δεν μπορεί να λυθεί η συγκεκριμένη τριγωνομετρική εξίσωση
(μόνο με Θ.Bolzano σε διάφορα διαστήματα βρίσκουμε προσεγγιστικά οτι υπάρχει λύση)
το ερώτημα 2α ήταν λανθασμένο γιατί ζητείται το άθροισμα των άπειρων όρων ενώ η συγκεκριμένη σειρά είναι αποκλίνουσα
Ήταν τα 3 από τα 6 θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του ΕΜΠ το 1962 για τα οποία κατέθεσε μήνυση ο Αριστείδης Πάλλας
στο Συμβούλιο της Επικρατείας και ζητούσε την ακύρωση των τότε εξετάσεων. Το μέρος του πήρε η ΕΜΕ τότε.
Περισσότερα προσεχώς, θα ετοιμάσω κείμενο με δηλώσεις των συμμετεχόντων και ένα σύντομο ιστορικό.
Τα υπόλοιπα 3 θέματα ήταν τα εξής: 4ο θέμα Άλγεβρας Πολιτικών Μηχανικών
4ο θέμα Γεωμετρίας Αρχιτεκτόνων, 2β ερώτημα ΆΛγεβρας Τοπογράφων - Αγρονόμων Μηχανικών
Προτροπή: Αναζητήστε την ''Μαύρη Βίβλο των Εισαγωγικών Εξετάσεων του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου κατά Σεπτέμβριον 1962''
του Αριστείδου Φ. Πάλλα (περιέχει το ιστορικό των ακυρωθέντων θεμάτων και δημοσιεύματα εφημερίδων της εποχής)
Για να το διαβάσετε έχει 4 αντίτυπα η μη δανειστική Μπενάκειος Βιβλιοθήκη
η οποία στεγάζεται προς το παρόν στο Πρώην Δημόσιο Καπνεργοστάσιο (Λένορμαν 218, Αθήνα)
Τους κωδικούς τους βλέπετε με την αναζήτηση ''Η μαύρη βίβλος των εισαγωγικών εξετάσεων'' εδώ
Ώρες λειτουργίας: Δευτέρα και Τετάρτη 9:00-18:00, Τρίτη, Πέμπτη και Παρασκευή 9:00-15:00, Σάββατο 9:00-14:00
Επικοινωνία: (Αναγνωστήριο) 210 510 2059
Πληροφορίες εδώ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Ν. Θεοφανόπουλος

1. α) Οι πλευρές ενός τριγώνου υπακούουν στις σχέσεις $\displaystyle{\alpha^2=y^2+z^2+yz, \beta^2=z^2+x^2+zx,\gamma^2=x^2+y^2+xy}$ .
Να αποδειχθεί οτι το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E=\frac{\sqrt3}{4}|xy+yz+zx|}$ .

Έχω δηλώσει ότι αν έχω να γράψω λύση σε θέμα στο '' Εξετάσεις Σχολών '' αυτή η λύση θα πρέπει να είναι διαφορετική από αυτήν που δημοσίευσε ο Α. Πάλλας στο δελτίο του .
Αυτό θα γίνει με το θέμα που βλέπετε. Όποιος θέλει να δει τη λύση του δελτίου , μπορεί να το κάνει πολύ εύκολα πλέον. Tα έχει δημοσιεύσει ο Παναγιώτης Χρονόπουλος.http://parmenides51.blogspot.gr/p/ethsi ... palla.html
Η παρακάτω λύση βασίζεται μόνο στον τύπο του Ήρωνα και είναι καθαρά αλγεβρική . Αναγνωρίζω από πριν ότι έχει το μειονέκτημα των πολλών και κουραστικών πράξεων , ωστόσο την δημοσιεύω γιατί πιστεύω ότι αξίζει να γραφεί. Το καλό με αυτήν την λύση είναι ότι οδηγεί φυσιολογικά στην απόλυτη τιμή , αυτήν την οποία παρέλειψε να γράψει ο Ν. Θεοφανόπουλος όταν έδωσε το θέμα.
Όσοι έχετε κουράγιο δείτε τη λύση...

Ξεκινάμε από τον τύπο του Ήρωνα , τον υψώνουμε στο τετράγωνο και έτσι

$\displaystyle E^{2}=\tau \left(\tau -a \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)=\frac{1}{16}\left(a+\beta +\gamma \right)\left(\beta +\gamma -a \right)\left(a+\beta -\gamma \right)\left(a+\gamma -\beta \right)=$

$\displaystyle \frac{1}{16}\left[\left(\beta +\gamma \right)^{2}-a^{2} \right]\left[ a^{2}-\left(\beta -\gamma \right)^{2}\right]=\frac{1}{16}\left(\beta ^{2}+2\beta \gamma +\gamma ^{2} -a^{2}\right)\left(a^{2}-\beta ^{2}+2\beta \gamma -\gamma ^{2} \right)=$

$\displaystyle\frac{1}{16}\left[2\beta \gamma +\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-a^{2} \right) \right]\left[2\beta \gamma -\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-a^{2} \right) \right]=\frac{1}{16}\left[4\beta ^{2}\gamma ^{2}-\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-a^{2} \right)^{2} \right]$

Aν αντικαταστήσουμε με τη βοήθεια των ισοτήτων που δίνονται από τα δεδομένα , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle E^{2}=\frac{1}{16}\left[4\left(x^{2}+y^{2}+xy \right)\left(x^{2}+z^{2}+xz \right)-\left(2x^{2}+xz+xy-yz \right)^{2} \right]$

Αρκεί πλέον να αποδειχθεί ότι

$\left4\left(x^{2}+y^{2}+xy \right)\left(x^{2}+z^{2}+xz \right)-\left(2x^{2}+xz+xy-yz \right)^{2} \right=3\left(xy+yz+zx \right)^{2}$

Oμολογουμένως δεν πρόκειται για κάτι πολύ συναρπαστικό , μάλλον κουραστικό είναι...

$\left4\left(x^{2}+y^{2}+xy \right)\left(x^{2}+z^{2}+xz \right)-\left(2x^{2}+xz+xy-yz \right)^{2} \right=$

$4\left[x^{2}+\left(z^{2}+xz \right) \right]\left[x^{2}+\left(y^{2}+xy \right) \right]-\left[2x^{2}+\left(xz+xy-yz \right) \right]^{2}=$

$4x^{4}+4\left(y^{2}+xy+z^{2}+xz \right)x^{2}+4\left(z^{2}+xz \right)\left(y^{2}+xy \right)-4x^{4}-4\left(xz+xy-yz \right)x^{2}-\left(xz+xy-yz \right)^{2}=$

$4\left(y^{2}+xy+z^{2}+xz-xz-xy+yz \right)x^{2}+4\left(z^{2}y^{2}+xyz^{2}+xy^{2}z+x^{2}yz \right)-\left(x^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+2x^{2}yz-2xy^{2}z-2xyz^{2} \right)$

και μετά από απλοποιήσεις και πράξεις

$3x^{2}y^{2}+3y^{2}z^{2}+3z^{2}x^{2}+6xyz^{2}+6xy^{2}z+6x^{2}yz=$

$3(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+2xyz^{2}+2xy^{2}z+2x^{2}yz)=$

$3(xy+yz+zx)^{2}$

Έτσι λοιπόν

$\displaystyle E^{2}=\frac{3}{16}(xy+yz+zx)^{2}$ από όπου συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{E=\frac{\sqrt3}{4}|xy+yz+zx|}$

Αναρωτιέμαι πόσοι έχουν την υπομονή να δουν προσεκτικά την απόδειξη...
Ομολογώ ότι τα χαρτιά με τις πράξεις που έγραψα παραπάνω έμειναν για μήνες στο γραφείο μου στη σοφίτα, ήταν κουραστικό να τις γράψω , όμως ειλικρινά πιστεύω ότι κάτι αξίζει η λύση αυτή...

Και δυο λόγια για τον θεματοδότη Νικόλαο Θεοφανόπουλο.
Γεννήθηκε το 1914. Σπούδασε Μηχανολόγος-Ηλεκτρολόγος στο ΕΜΠ και έλαβε διδακτορικό από το Πολυτεχνείο του Μονάχου. Το 1947 έγινε έκτακτος και το 1953 τακτικός καθηγητής στο ΕΜΠ στην έδρα Στοιχείων Μηχανών και Λεβήτων.

ΕΜΠ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΧΗΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΛΛΕΙΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

ΕΜΠ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΧΗΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΛΛΕΙΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΕΜΠ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΧΗΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΛΛΕΙΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση