ΕΜΠ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ι. Αργυράκος

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu^3x+\sigma\upsilon\nu^3x=\frac{\sqrt2}{2}}$ .
Οι τιμές του τόξου $\displaystyle{x}$ να βρεθούν με προσέγγιση δευτερολέπτου του βαθμού.

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται τα μήκη των πλευρών : $\displaystyle{(B\Gamma)=\alpha=2\sqrt3 , (\Gamma A)=\beta=\sqrt6+\sqrt2 , (AB)=\gamma=\sqrt6-\sqrt2}$ .
α) Να υπολογιστούν οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}}$ , το εμβαδόν $\displaystyle{E }$ , η ακτίνα $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, τα μήκη $\displaystyle{\delta_{\alpha}, \Delta_{\alpha}}$ αντίστοιχα της εσωτερικής κι εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ .
β) Προβάλλουμε τα σημεία $\displaystyle{B ,\Gamma}$ κάθετα πάνω στην εσωτερική διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ και έστω $\displaystyle{B',\Gamma' }$ οι προβολές αυτές αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{A' }$ το ίχνος του ύψους του τριγώνου $\displaystyle{$ AB\Gamma} το οποίο άγεται από την κορυφή

\displaystyle{A} . Ζητείται να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου

\displaystyle{A'B'\Gamma' }

. <span style="font-size:150%;line-height:116%"><strong class="text-strong">3.</strong></span> Σε τετράεδρο

\displaystyle{KAB\Gamma} έχουμε

\displaystyle{\widehat{KAB}=\widehat{AB\Gamma}=\widehat{B\Gamma K}=\widehat{\Gamma KA}=\omega } και

\displaystyle{KA=AB=B\Gamma=\Gamma K=\lambda} . Να δειχθεί οτι
α)

\displaystyle{\sigma\upsilon\nu \widehat{KA}=\varepsilon\phi^2\frac{\omega}{2}}

\displaystyle{V_{KAB\Gamma}=\frac{2}{3}\lambda^3\eta\mu^2\frac{\omega}{2} \sqrt{\sigma\upsilon\nu \omega}}$

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Ι. Αργυράκος
2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ δίνονται τα μήκη των πλευρών : $\displaystyle{(B\Gamma)=\alpha=2\sqrt3 , (\Gamma A)=\beta=\sqrt6+\sqrt2 , (AB)=\gamma=\sqrt6-\sqrt2}$ .
α) Να υπολογιστούν οι γωνίες $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}}$ , το εμβαδόν $\displaystyle{E }$ , η ακτίνα $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, τα μήκη $\displaystyle{\delta_{\alpha}, \Delta_{\alpha}}$ αντίστοιχα της εσωτερικής κι εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ .
β) Προβάλλουμε τα σημεία $\displaystyle{B ,\Gamma}$ κάθετα πάνω στην εσωτερική διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ και έστω $\displaystyle{B',\Gamma' }$ οι προβολές αυτές αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{A' }$ το ίχνος του ύψους του τριγώνου $\displaystyle{$ AB\Gamma}\displaystyle{A}\displaystyle{A'B'\Gamma' }\displaystyle{{\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow 12 = 16 - 8\sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow }\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow } $\displaystyle{\boxed{\widehat {\rm A} = {60^0}}$
Επίσης είναι:

$\displaystyle{{\gamma ^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow 8 - 2\sqrt {12} = 12 + 8 + 2\sqrt {12} - 4\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\sigma \upsilon \nu \Gamma }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{4\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{4\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}... = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sigma \upsilon \nu ({45^0} - {30^0}) = \sigma \upsilon \nu {15^0}}$ .

Άρα: $\boxed{\widehat \Gamma = {15^0}}$ και $\boxed{\widehat {\rm B} = {105^0}}$

● $\displaystyle{{\rm E} = \frac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu {\rm A} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow }}$ \boxed{{\rm E} = \sqrt 3 {\rm{ }}\tau .\mu }\displaystyle{{\rm E} = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{8\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} \Leftrightarrow } $\displaystyle{\boxed{R = 2 }$

● Έστω $\displaystyle{{\rm A}\Delta ,{\rm A}\Delta '}$ η εσωτερική και η εξωτερική αντίστοιχα διχοτόμος του τριγώνου και $\displaystyle{{\rm A}{\rm A}' = \upsilon }$ το ύψος.

Είναι $\displaystyle{{\rm E} = \frac{1}{2}\alpha \cdot \upsilon \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 \cdot \upsilon \Leftrightarrow \upsilon = 1}$ . Επίσης $\displaystyle{{\rm A}'\widehat {\rm A}\Delta = {45^0}}$ κι επειδή οι διχοτόμοι είναι μεταξύ τους κάθετες, το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta \Delta '}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Άρα $\displaystyle{{\delta _\alpha } = {\Delta _\alpha } = \frac{\upsilon }{{\eta \mu {{45}^0}}} \Leftrightarrow }}$ \boxed{{\delta _\alpha } = {\Delta _\alpha } = \sqrt 2 }\displaystyle{{\rm A}{\rm A}'\Gamma '\Gamma }A\Gamma\displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm A}' - {\rm A}\widehat {\Gamma '}{\rm A}' = {15^0}}\displaystyle{{\rm A}{\rm A}'{\rm B}{\rm B}'}\displaystyle{{\rm B}'\widehat {{\rm A}'}\Gamma ' = {\rm B}'\widehat {{\rm A}'}{\rm B} + \Gamma \widehat {{\rm A}'}\Gamma ' = {\rm B}\widehat {\rm A}{\rm B}' + \Gamma \widehat {\rm A}\Gamma ' = {30^0} + {30^0} = {60^0}}\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm A}'{\rm B}'\Gamma '}\displaystyle{\frac{{{\rm E}'}}{{\rm E}} = \frac{{({\rm A}'{\rm B}'\Gamma ')}}{{({\rm A}{\rm B}\Gamma )}} = {\left( {\frac{{{\rm B}'\Gamma '}}{{{\rm B}\Gamma }}} \right)^2}}\displaystyle{{\rm B}'\Gamma ' = {\rm A}\Gamma ' - {\rm A}{\rm B}' = \beta \sigma \upsilon \nu {30^0} - \gamma \sigma \upsilon \nu {30^0} = 2\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 6 }\displaystyle{\frac{{{\rm E}'}}{{\rm E}} = {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{\rm E}'}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow }\boxed{{\rm E}' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{ }}\tau {\rm{.}}\mu }$

Συνημμένα

ΕΜΠ 1962.Αρχιτέκτονες.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές