ΙΚΑΡΩΝ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. α) Να δειχθεί οτι η σχέση $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu(\alpha+\beta)= \sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \beta}$ συνεπάγεται την ακόλουθη $\displaystyle{\eta\mu^2(\alpha+\beta)= (\eta\mu\alpha+\eta\mu\beta)^2}$ .
Να εξετάσετε εαν αληθεύει και το αντίστροφο.
β) Πόσες διαφορετικές τιμές παίρνει η παράσταση του $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{2k\pi}{5}}$ όταν το $\displaystyle{k}$ παίρνει όλες τις πραγματικές κι ακέραιες τιμές;

2. α) Εαν $\displaystyle{A+B+\Gamma=180^o}$ να αποδειχθεί οτι
$\displaystyle{\eta\mu^3 A+\eta\mu^3 B+\eta\mu^3 \Gamma=3\sigma\upsilon\nu\frac{A}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{B}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\Gamma}{2}+\sigma\upsilon\nu\frac{3A}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{3B}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{3\Gamma}{2}}$
β) Εαν $\displaystyle{\varepsilon\phi x=\frac{\beta}{\alpha}, \tau\varepsilon\mu y=\frac{\alpha+\beta}{\alpha}}$ , να βρεθούν οι σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu^2(\nu x)-\eta\mu^2(\nu -1)x=\eta\mu^2x}$

Υ.Γ. Σχετικά με το 2ο, είναι $\displaystyle{\tau\varepsilon\mu x=\frac{1}{\sigma\upsilon\nu x}}$

#2

parmenides51 έγραψε:1. α) Να δειχθεί οτι η σχέση $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu(\alpha+\beta)= \sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \beta}$ συνεπάγεται την ακόλουθη $\displaystyle{\eta\mu^2(\alpha+\beta)= (\eta\mu\alpha+\eta\mu\beta)^2}$ .
Να εξετάσετε εαν αληθεύει και το αντίστροφο.
β) Πόσες διαφορετικές τιμές παίρνει η παράσταση του $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu \frac{2k\pi}{5}}$ όταν το $\displaystyle{k}$ παίρνει όλες τις πραγματικές κι ακέραιες τιμές;

α) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) = \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta \Rightarrow \eta \mu \alpha \eta \mu \beta = 0}$ (1)

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}(\alpha + \beta ) = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{1 - \eta {\mu ^2}(\alpha + \beta ) = \left( {1 - \eta {\mu ^2}\alpha } \right)\left( {1 - \eta {\mu ^2}\beta } \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{1 - \eta {\mu ^2}(\alpha + \beta ) = 1 + \eta {\mu ^2}\alpha \eta {\mu ^2}\beta - \eta {\mu ^2}\alpha - \eta {\mu ^2}\beta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$

$\displaystyle{\eta {\mu ^2}(\alpha + \beta ) = \eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta = {(\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta )^2}}$

Αντίστροφο: Έστω $\displaystyle{\eta {\mu ^2}(\alpha + \beta ) = {(\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta )^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{(\eta \mu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + \eta \mu \beta \sigma \upsilon \nu \alpha )^2} = {(\eta \mu \alpha + \eta \mu \beta )^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\eta {\mu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\beta \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta = \eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\eta {\mu ^2}\alpha (1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta ) + \eta {\mu ^2}\beta (1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha ) + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta (1 - \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta ) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\eta {\mu ^2}\alpha \eta {\mu ^2}\beta + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta (1 - \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta ) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta (1 - \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + \eta \mu \alpha \eta \mu \beta ) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta \left[ {\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\eta \mu \alpha = 0 \vee \eta \mu \beta = 0 \vee \sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) = 1}$ .

● Αν $\displaystyle{\eta \mu \alpha = 0 \vee \eta \mu \beta = 0}$ , τότε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) = \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$

● Αν $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) = 1}$ , τότε δεν προκύπτει ότι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta = 1}$ (π. χ $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{{5\pi }}{3}} \right) = \sigma \upsilon \nu 2\pi = 1}$ , αλλά $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}\sigma \upsilon \nu \frac{{5\pi }}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}}$ )

Το αντίστροφο λοιπόν, δεν ισχύει υποχρεωτικά.

β) Το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{2\kappa \pi }}{5}}$ μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές
για k=0,1,2

και είναι οι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 0 = 1,\sigma \upsilon \nu \frac{{2\pi }}{5},\sigma \upsilon \nu \frac{{4\pi }}{5}}$ .

Μετά έχουμε, $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{6\pi }}{5} = \sigma \upsilon \nu \left( {\pi + \frac{\pi }{5}} \right) = - \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{5} = \sigma \upsilon \nu \left( {\pi - \frac{\pi }{5}} \right) = \sigma \upsilon \nu \frac{{4\pi }}{5}}$ ,

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{8\pi }}{5} = \sigma \upsilon \nu \left( {2\pi - \frac{{2\pi }}{5}} \right) = \sigma \upsilon \nu \frac{{2\pi }}{5},\sigma \upsilon \nu \frac{{10\pi }}{5} = \sigma \upsilon \nu 2\pi = 1,...}$ .

Οι αρνητικές τιμές του ακέραιου

δεν λαμβάνονται υπόψη, αφού οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο.

Για την ακρίβεια το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{2\kappa \pi }}{5}}$ , μπορεί να πάρει τις τιμές:

$\boxed{ - \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4},\frac{{\sqrt 5 - 1}}{4},1}$

#3

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu^2(\nu x)-\eta\mu^2(\nu -1)x=\eta\mu^2x}$

Υποθέτω ότι $\displaystyle{\,\,\,\nu \in {\rm Z}}$
Αν $\displaystyle{\nu = 0 \vee \nu = 1}$ είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{\,\,\,\eta \mu \chi = 0 \Leftrightarrow \chi = \kappa \pi ,\,\,\,\kappa \in {\rm Z}}$
Αν $\displaystyle{\,\,\nu \ne 0,1\,\,\,\,\,}$ , γράφεται ισοδύναμα :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \eta {\mu ^2}(\nu x) - \eta {\mu ^2}(\nu - 1)x = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \left[ {\eta \mu (\nu x) + \eta \mu (\nu - 1)x} \right]\left[ {\eta \mu (\nu x) - \eta \mu (\nu - 1)x} \right] = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left( {2\eta \mu \frac{{\nu \chi + (\nu - 1)\chi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\nu \chi - (\nu - 1)\chi }}{2}} \right)\left( {2\eta \mu \frac{{\nu \chi - (\nu - 1)\chi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\nu \chi + (\nu - 1)\chi }}{2}} \right) = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2\eta \mu \frac{{(2\nu - 1)\chi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\chi }{2}} \right)\left( {2\eta \mu \frac{\chi }{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{(2\nu - 1)\chi }}{2}} \right) = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \left[ {(2\nu - 1)\chi } \right]\eta \mu \chi = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \eta \mu \chi (\eta \mu \chi - \eta \mu \left[ {(2\nu - 1)\chi } \right] = 0 \Leftrightarrow \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2\eta \mu \frac{{(2\nu - 1)\chi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{\chi }{2}} \right)\left( {2\eta \mu \frac{\chi }{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{(2\nu - 1)\chi }}{2}} \right) = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \left[ {(2\nu - 1)\chi } \right]\eta \mu \chi = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \eta \mu \chi (\eta \mu \chi - \eta \mu \left[ {(2\nu - 1)\chi } \right] = 0 \Leftrightarrow \\ \end{array}}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow \eta \mu \chi \eta \mu \left[ {(\nu - 1)\chi } \right]\sigma \upsilon \nu (\nu \chi ) = 0 \Leftrightarrow \chi = \kappa \pi \,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,(\nu - 1)\chi = \lambda \pi \,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\nu \chi = \rho \pi + \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \chi = \kappa \pi \,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\chi = \frac{\lambda }{{\nu - 1}}\pi \,\,\,\, \vee \,\,\,\,\chi = \frac{\rho }{\nu }\pi + \frac{\pi }{{2\nu }}\,\,\,\,,\kappa ,\lambda ,\rho \in {\rm Z} \\ \end{array}}$

ΙΚΑΡΩΝ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1962 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση