ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Μουλόπουλος

1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{5}+\sigma\upsilon\nu\frac{3\pi}{5}=\frac{1}{2}}$

2. Μια δεξαμενή μπορεί να γεμίζει από δυο βρύσες. Πρώτα ανοίγουμε την μια βρύση , η οποία λειτουργεί για $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ του χρόνου στον οποίο η δεύτερη γεμίζει την δεξαμενή και κατόπιν ανοίγουμε την δεύτερη βρύση , η οποία λειτουργεί για $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ του χρόνου στον οποίο η πρώτη γεμίζει την δεξαμενή. Με αυτόν τον τρόπο βρέθηκε οτι είχαν γεμίσει τα $\displaystyle{\frac{13}{18}}$ της δεξαμενής. Να βρεθεί ο χρόνος κατά τον οποίο κάθε βρύση γεμίζει μόνη της την δεξαμενή, με δεδομένο οτι οι δυο βρύσες μαζί γεμίζουν την δεξαμενή σε $\displaystyle{3}$ ώρες $\displaystyle{36'}$ .

3. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ του οποίου δίνεται η υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ και η απόσταση $\displaystyle{B\Delta }$ της κορυφής $\displaystyle{B}$ από το σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της διχοτόμου $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ .

#2

parmenides51 έγραψε: 1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{5}+\sigma\upsilon\nu\frac{3\pi}{5}=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{5}+\sigma\upsilon\nu\frac{3\pi}{5}=A\Rightarrow 2 \sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{5}\sigma\upsilon\nu\frac{\pi}{5} =A\Rightarrow }$

$\displaystyle {\sigma\upsilon\nu\frac{2\pi}{5}\eta\mu\frac{2\pi}{5}=A\eta\mu\frac{\pi}{5}\Rightarrow \eta\mu\frac{4\pi}{5}=2A\eta\mu\frac{\pi}{5}\Rightarrow 2A=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Μουλόπουλος

3. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ του οποίου δίνεται η υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ και η απόσταση $\displaystyle{B\Delta }$ της κορυφής $\displaystyle{B}$ από το σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της διχοτόμου $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ .

: Γεωπονική Θεσσ-1962.png (8.85 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

Έστω $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = \alpha ,{\rm A}{\rm B} = \gamma ,{\rm A}\Gamma = \beta ,\Delta {\rm B} = \lambda ,\widehat {\rm B} = \omega ,\widehat \Gamma = 2\varphi }$ .
Γνωρίζουμε την υποτείνουσα και το μήκος $\lambda$ .

$\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma = {90^0} + \varphi \Rightarrow \eta \mu \left( {{\rm B}\widehat \Delta \Gamma } \right) = \eta \mu \left( {{{90}^0} + \varphi } \right) = \sigma \upsilon \nu \varphi }$

● Από Νόμο Ημιτόνων στο τρίγωνο $B\Delta\Gamma$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{\alpha }{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{\lambda }{{\eta \mu \varphi }} \Rightarrow \frac{{{\alpha ^2}}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }} = \frac{{{\lambda ^2}}}{{1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi = \frac{{{\alpha ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\lambda ^2}}} \Leftrightarrow \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\varphi }}{2} = \frac{{{\alpha ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\lambda ^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma = \sigma \upsilon \nu 2\varphi = \frac{{{\alpha ^2} - {\lambda ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\lambda ^2}}}}$

Αλλά, $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma = \sigma \upsilon \nu ({90^0} - {\rm B}) = \eta \mu {\rm B}}$ . Οπότε, $\boxed{\eta \mu {\rm B} = \frac{{{\alpha ^2} - {\lambda ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\lambda ^2}}}}$

● Από Νόμο Ημιτόνων στο τρίγωνο $AB\Gamma$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{\beta }{{\eta \mu {\rm B}}} \Leftrightarrow \beta = \alpha \eta \mu {\rm B} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\beta = \frac{{\alpha ({\alpha ^2} - {\lambda ^2})}}{{{\alpha ^2} + {\lambda ^2}}}}$ .

Αφού λοιπόν γνωρίζουμε το μήκος της υποτείνουσας και το μήκος μιας κάθετης πλευράς, η κατασκευή του ορθογωνίου τριγώνου είναι πλέον στοιχειώδης.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Μουλόπουλος
2. Μια δεξαμενή μπορεί να γεμίζει από δυο βρύσες. Πρώτα ανοίγουμε την μια βρύση , η οποία λειτουργεί για $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ του χρόνου στον οποίο η δεύτερη γεμίζει την δεξαμενή και κατόπιν ανοίγουμε την δεύτερη βρύση , η οποία λειτουργεί για $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ του χρόνου στον οποίο η πρώτη γεμίζει την δεξαμενή. Με αυτόν τον τρόπο βρέθηκε οτι είχαν γεμίσει τα $\displaystyle{\frac{13}{18}}$ της δεξαμενής. Να βρεθεί ο χρόνος κατά τον οποίο κάθε βρύση γεμίζει μόνη της την δεξαμενή, με δεδομένο οτι οι δυο βρύσες μαζί γεμίζουν την δεξαμενή σε $\displaystyle{3}$ ώρες $\displaystyle{36'}$ .

Το όμορφο αυτό θέμα τέθηκε ως '' Η Άσκηση του Μήνα '' στην τότε ιστοσελίδα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας από το Φεβρουάριο 2007- Απρίλιο 2007. Μόλις την είδα κάτι θυμήθηκα και το ακατάστατο αρχείο μου το επιβεβαίωσε...

$3h36min=\frac{18}{5}h$
Έστω ότι η πρώτη βρύση γεμίζει μόνη της τη δεξαμενή σε

ώρες ενώ η δεύτερη σε

ώρες.
Όπως διδάσκεται ένα παιδί της δευτέρας γυμνασίου ισχύει

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18}$ (*)

H πρώτη ανοίγει για $\frac{y}{3}$ ώρες. Σε αυτό το χρονικό διάστημα γεμίζει τα $\frac{y}{3x}$ της δεξαμενής.

H δεύτερη ανοίγει για $\frac{x}{3}$ ώρες. Σε αυτό το χρονικό διάστημα γεμίζει τα $\frac{x}{3y}$ της δεξαμενής.

Iσχύει λοιπόν ότι

$\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}=\frac{13}{18}$ $\left(** \right)$

Aν λυθεί το σύστημα των (*)

, $\left(** \right)$ , βρίσκεται ότι
ή
x=6 , y=9

ή

Η λύση του συστήματος γίνεται με παραπάνω από έναν τρόπους. Αναγνωρίζω ότι για κάποιους εξεταζόμενους ίσως να μην είναι τόσο απλό...

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Μέλη σε σύνδεση