ΦΥΣΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

1. Να ορισθούν τα $\displaystyle{A,B,\alpha,\beta}$ ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{ f(x)=9x^3-12x^2+72x+56 }$ να παίρνει την μορφή $\displaystyle{A(x+\alpha)^3+B(x+\beta)^3 }$ και να βρεθούν οι πραγματικές του ρίζες.

2. Δίνονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και $\displaystyle{(\eta)}$ τεμνόμενες στο σημείο $\displaystyle{A}$ και πάνω στην $\displaystyle{(\eta)}$ δυο σημεία $\displaystyle{B,\Gamma}$ (το $\displaystyle{B}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ ) . Να βρεθεί πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon)}$ σημείο $\displaystyle{M}$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{ MB}$ να είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat{AM\Gamma}}$ . Διερεύνηση.

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle x+y=\frac{4\pi}{3} \\ \\ \displaystyle \frac{\sigma\upsilon\nu x-\sigma\upsilon\nu y}{\sigma\upsilon\nu x+\sigma\upsilon\nu y}=-3 \end{cases}}$

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

2. Δίνονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon)}$ και $\displaystyle{(\eta)}$ τεμνόμενες στο σημείο $\displaystyle{A}$ και πάνω στην $\displaystyle{(\eta)}$ δυο σημεία $\displaystyle{B,\Gamma}$ (το $\displaystyle{B}$ μεταξύ των $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ ) . Να βρεθεί πάνω στην $\displaystyle{(\varepsilon)}$ σημείο $\displaystyle{M}$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{ MB}$ να είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat{AM\Gamma}}$ . Διερεύνηση.

: Φυσικό Θεσσ-1962.png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 1072 φορές

Για να είναι η

διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm M}\Gamma }$ θα πρέπει το σημείο

να ισαπέχει από τις πλευρές της.

Έστω $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} = \rho }$ η απόσταση του σημείου

από την ευθεία $(\epsilon)$ . Γράφω τον κύκλο $\displaystyle{({\rm B},\rho )}$ και από το σημείο $\Gamma$ φέρνω την εφαπτομένη $\Gamma E$ του κύκλου που τέμνει την ευθεία $(\epsilon)$ στο

. Το

είναι το ζητούμενο σημείο.

Απόδειξη: Πράγματι επειδή $BE=BH =\rho$ , σημείο

ισαπέχει από τις $MA,M\Gamma$ , άρα η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm M}\Gamma }$ .

Διερεύνηση: Η λύση του προβλήματος εξαρτάται από την ύπαρξη εφαπτομένης από το $\Gamma$ στον κύκλο $\displaystyle{({\rm B},\rho )}$ .

● Αν $\displaystyle{{\rm B}\Gamma > \rho }$ , τότε υπάρχουν δύο εφαπτόμενες στον κύκλο, που τέμνουν την $(\epsilon)$ σε δύο σημεία M, M_1

. Άρα το πρόβλημα έχει δύο λύσεις.

● Αν $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = \rho }$ , τότε το $\Gamma$ είναι σημείο του κύκλου και έχουμε μοναδική εφαπτομένη. Δηλαδή το πρόβλημα έχει μία λύση.

● Αν $\displaystyle{{\rm B}\Gamma < \rho }$ , τότε το $\Gamma$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου και δεν υπάρχει εφαπτομένη. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα δεν έχει λύση.

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle x+y=\frac{4\pi}{3} \\ \\ \displaystyle \frac{\sigma\upsilon\nu x-\sigma\upsilon\nu y}{\sigma\upsilon\nu x+\sigma\upsilon\nu y}=-3 \end{cases}}$

Κατ' αρχήν $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y \ne 0 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x \ne \sigma \upsilon \nu (\pi - y) \Leftrightarrow }$

$\boxed{x \ne 2k\pi + \pi - y{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}x \ne 2k\pi - \pi + y,{\rm{ k}} \in {\rm{Z}}}$

$\displaystyle{\frac{{\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y}}{{\sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y}} = - 3 \Leftrightarrow \frac{{2\eta \mu \frac{{y - x}}{2}\eta \mu \frac{{x + y}}{2}}}{{2\sigma \upsilon \nu \frac{{y - x}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{x + y}}{2}}} = - 3 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ - \sqrt 3 \varepsilon \varphi \frac{{y - x}}{2} = - 3 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{y - x}}{2} = \varepsilon \varphi \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{y - x}}{2} = k\pi + \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y - x = 2k\pi + \frac{{2\pi }}{3},k \in Z}$ (1)

Από την (1) και την $\displaystyle{x + y = \frac{{4\pi }}{3}}$ με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε:

$\boxed{y = k\pi + \pi ,x = - k\pi + \frac{\pi }{3}, k \in Z}$ που επαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος.

ΦΥΣΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

ΦΥΣΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΦΥΣΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΦΥΣΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Μέλη σε σύνδεση