ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Πυλαρινός

1. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$ με πραγματικούς συντελεστές. Να προσδιορισθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε η παράσταση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma +\lambda (x^2+1) }$ να είναι τέλειο τετράγωνο και να αποδειχθεί οτι οι τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ που θα βρείτε, είναι πραγματικές για όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma}$ .

2. Σε κύκλο δίνονται δυο χορδές $\displaystyle{ B\Delta}$ και $\displaystyle{\Gamma E}$ τεμνόμενες κάθετα στο $\displaystyle{A}$ . Να δείξετε οτι η κάθετος από το $\displaystyle{A}$ προς την $\displaystyle{B\Gamma }$ διέρχεται από το μέσον της χορδής $\displaystyle{E\Delta}$ .

3. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εμβαδού $\displaystyle{E}$ αληθεύει η σχέση $\displaystyle{2E(\sigma\phi B-\sigma\phi A)=\alpha^2-\beta^2}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:3. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εμβαδού $\displaystyle{E}$ αληθεύει η σχέση $\displaystyle{2E(\sigma\phi B-\sigma\phi A)=\alpha^2-\beta^2}$

$2{\rm E}\left( {\sigma \varphi {\rm B} - \sigma \varphi {\rm A}} \right) = 2{\rm E}\sigma \varphi {\rm B} - 2{\rm E}\sigma \varphi {\rm A} \Leftrightarrow$

$2{\rm E}\left( {\sigma \varphi {\rm B} - \sigma \varphi {\rm A}} \right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\alpha \gamma \eta \mu {\rm B} \cdot \dfrac{{\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm B}}} - 2 \cdot \dfrac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu {\rm A} \cdot \dfrac{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm A}}} \Leftrightarrow$

$2{\rm E}\left( {\sigma \varphi {\rm B} - \sigma \varphi {\rm A}} \right) = \alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} - \beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\;\left( 1 \right)$

${\alpha ^2} - {\beta ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} - {\alpha ^2} - {\gamma ^2} + 2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow$

$2{\alpha ^2} - 2{\beta ^2} = 2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow {\alpha ^2} - {\beta ^2} = \alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} - \beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}\;\left( 2 \right)$

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2{\rm E}\left( {\sigma \varphi {\rm B} - \sigma \varphi {\rm A}} \right) = {\alpha ^2} - {\beta ^2}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Πυλαρινός

2. Σε κύκλο δίνονται δυο χορδές $\displaystyle{ B\Delta}$ και $\displaystyle{\Gamma E}$ τεμνόμενες κάθετα στο $\displaystyle{A}$ . Να δείξετε οτι η κάθετος από το $\displaystyle{A}$ προς την $\displaystyle{B\Gamma }$ διέρχεται από το μέσον της χορδής $\displaystyle{E\Delta}$ .

: Χημικό ΘΕΣΣ-1962.png (9.33 KiB) Προβλήθηκε 2065 φορές

$\displaystyle{{\rm B}\widehat \Gamma {\rm E} = {\rm B}\widehat \Delta {\rm E}}$ ωε εγγεγραμμένες γωνίες στο ίδιο τόξο.

Επειδή το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και

είναι το ύψος του, θα είναι $\displaystyle{{\rm B}\widehat \Gamma A} = \omega }$ .

Αλλά $\displaystyle{\omega = \varphi }$ ως κατακορυφήν. Επομένως $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm E} = \varphi }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} = {\rm M}\Delta }$ .

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι AM=ME

, οπότε το

είναι το μέσο της $E\Delta$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Πυλαρινός

1. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$ με πραγματικούς συντελεστές. Να προσδιορισθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε η παράσταση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma +\lambda (x^2+1) }$ να είναι τέλειο τετράγωνο και να αποδειχθεί οτι οι τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ που θα βρείτε, είναι πραγματικές για όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma}$ .

Η παράσταση γράφεται $\left(a+\lambda \right)x^{2}+\beta x+\gamma +\lambda$ και για να είναι τέλειο τετράγωνο πρέπει και αρκεί $\beta ^{2}-4\left(a+\lambda \right)\left(\gamma +\lambda \right)=0$ κάτι που ισοδυναμεί με
$-4\lambda ^{2}-4\left(a+\gamma \right)\lambda +\beta ^{2}-4a\gamma =0$
Oι τιμές του $\lambda$ που θα βρεθούν από την εξίσωση αυτή θα είναι σίγουρα πραγματικές αφού η διακρίνουσα της $\Delta$ είναι ίση με
$16\left(a+\gamma \right)^{2}+4\cdot 4\left(\beta ^{2 }-4a\gamma \right)=16\left(a^{2}+2a\gamma +\gamma ^{2} \right)+16\left(\beta ^{2}-4a\gamma \right)=16\left(a^{2}+2a\gamma +\gamma ^{2} +\beta ^{2}-4a\gamma \right)=16\left(a^{2}-2a\gamma +\gamma ^{2} +\beta ^{2} \right)=16\left[\left(a-\gamma \right)^{2}+\beta ^{2} \right]\geq 0$
για κάθε $a,\beta ,\gamma$ πραγματικούς.

Οι τιμές του $\lambda$ που ζητούνται είναι

$\displaystyle\frac{4\left(a+\gamma \right)+4\sqrt{\left(a-\gamma \right)^{2}+\beta ^{2}}}{-8}=-\frac{1}{2}\left(a+\gamma \right)-\frac{1}{2}\sqrt{\left(a-\gamma \right)^{2}+\beta ^{2}}$

$\displaystyle\frac{4\left(a+\gamma \right)-4\sqrt{\left(a-\gamma \right)^{2}+\beta ^{2}}}{-8}=-\frac{1}{2}\left(a+\gamma \right)+\frac{1}{2}\sqrt{\left(a-\gamma \right)^{2}+\beta ^{2}}$

Θέμα της εποχής του τριωνύμου. Άλλες εποχές , άλλες απαιτήσεις , άλλες ανάγκες , άλλα θέματα...
Το έλυσα έτσι για να υπάρχει,ως μια μικρή συνεισφορά στην ιστορία των εισαγωγικών εξετάσεων.

ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΧΗΜΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Μέλη σε σύνδεση