ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

1. Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{f(x,y,z)=x+\frac{yz-x^2}{x^2+y^2+z^2} }$ όπου $\displaystyle{x,y,z }$ διαφορετικοί μεταξύ τους. Να δειχθεί οτι
α) Εαν η τιμή αυτής με εναλλαγή των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y }$ παραμένει αμετάβλητη, τότε η τιμή της θα παραμένει αμετάβλητη και όταν γίνει εναλλαγή των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{ z}$
β) Εαν επιπλέον η παραπάνω παράσταση ισούται με μηδέν, τότε θα είναι και $\displaystyle{x+y+z=1}$ .

2. Έστω τραπέζιο $\displaystyle{ABB'A'}$ ( $\displaystyle{AA'||BB'}$ ) και $\displaystyle{P}$ σημείο εκτός του επιπέδου του. Εαν επίπεδο διερχόμενο από την $\displaystyle{AB}$ τέμνει τις $\displaystyle{PA' }$ και $\displaystyle{PB' }$ στα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{E}$ αντίστοιχα και αν $\displaystyle{M}$ είναι η τομή των $\displaystyle{A\Delta}$ και $\displaystyle{BE}$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $\displaystyle{M}$ όταν το επίπεδο το διερχόμενο από την $\displaystyle{AB }$ περιστρέφεται γύρω από αυτήν.

3. Σε δυο τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma }$ και $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ είναι $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{A_1}=180^o}$ και $\displaystyle{\widehat{B}=\widehat{B_1}}$ . Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha\alpha_1=\beta\beta_1+\gamma\gamma_1}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

1. Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{f(x,y,z)=x+\frac{yz-x^2}{x^2+y^2+z^2} }$ όπου $\displaystyle{x,y,z }$ διαφορετικοί μεταξύ τους. Να δειχθεί οτι
α) Εαν η τιμή αυτής με εναλλαγή των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y }$ παραμένει αμετάβλητη, τότε η τιμή της θα παραμένει αμετάβλητη και όταν γίνει εναλλαγή των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{ z}$
β) Εαν επιπλέον η παραπάνω παράσταση ισούται με μηδέν, τότε θα είναι και $\displaystyle{x+y+z=1}$ .

α) Είναι $\displaystyle{{x^2} + {y^2} + {z^2} \ne 0}$ αφού οι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.

$\displaystyle{f(x,y,z) = f(y,x,z) \Leftrightarrow x + \frac{{yz - {x^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = y + \frac{{xz - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^3} + x{y^2} + x{z^2} + yz - {x^2} - {x^2}y - {y^3} - y{z^2} - xz + {y^2} = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(x - y)({x^2} + xy + {y^2}) - (x - y)(x + y) - xy(x - y) + {z^2}(x - y) - z(x - y) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(x - y)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne y} }$ $\boxed{{x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z}$ (1)

Ομοίως για $\displaystyle{f(x,y,z) = f(z,y,x)}$ καταλήγουμε στην ίδια σχέση.
Οπότε είναι και $\displaystyle{x + y + z \ne 0}$

β) Αν $\displaystyle{f(x,y,z) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} x + \frac{{yz - {x^2}}}{{x + y + z}} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{xy + yz + xz = 0}$ (2)

$\displaystyle{{(x + y + z)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2(xy + yz + xz)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)} }$

$\displaystyle{{(x + y + z)^2} = x + y + z}$ κι επειδή $\displaystyle{x + y + z \ne 0}$ , θα είναι $\boxed{x+y+z=1}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός

3. Σε δυο τρίγωνα $\displaystyle{AB\Gamma }$ και $\displaystyle{A_1B_1\Gamma_1}$ είναι $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{A_1}=180^o}$ και $\displaystyle{\widehat{B}=\widehat{B_1}}$ . Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\alpha\alpha_1=\beta\beta_1+\gamma\gamma_1}$ .

Είναι $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \eta \mu {{\rm B}_1},\eta \mu {\rm A} = \eta \mu (\pi - {\rm A}) = \eta \mu {{\rm A}_1}}$
$\displaystyle{\eta \mu \Gamma = \eta \mu ({\rm A} + {\rm B}),\eta \mu {\Gamma _1} = \left( {{{\rm A}_1} + {{\rm B}_1}} \right) = \eta \mu (\pi - {\rm A} + {\rm B}) = \eta \mu ({\rm A} - {\rm B})}$

από νόμο ημιτόνων έχουμε

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu {{\rm B}_1}}}{{\eta \mu {{\rm A}_1}}} = \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{\beta }{\alpha } = \frac{{{\beta _1}}}{{{\alpha _1}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{\eta {\mu ^2}{\rm B}}}{{\eta {\mu ^2}{\rm A}}} = \frac{{\beta {\beta _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{{\eta \mu ({\rm A} + {\rm B})}}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{\gamma }{\alpha }}$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu {\Gamma _1}}}{{\eta \mu {{\rm A}_1}}} = \frac{{\eta \mu ({\rm A} - {\rm B})}}{{\eta \mu {\rm A}}} = \frac{{{\gamma _1}}}{{{\alpha _1}}}}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη αυτών των δύο τελευταίων σχέσεων έχουμε:

$\boxed{\frac{{\eta \mu ({\rm A} + {\rm B})\eta \mu ({\rm A} - {\rm B})}}{{\eta {\mu ^2}{\rm A}}} = \frac{{\gamma {\gamma _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}}}$ (1)

Προσθέτω κατά μέλη τις (1) και (2):

$\displaystyle{\frac{{\eta {\mu ^2}{\rm B}}}{{\eta {\mu ^2}{\rm A}}} + \frac{{\eta \mu ({\rm A} + {\rm B})\eta \mu ({\rm A} - {\rm B})}}{{\eta {\mu ^2}{\rm A}}} = \frac{{\beta {\beta _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}} + \frac{{\gamma {\gamma _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\eta {\mu ^2}{\rm B} + \eta {\mu ^2}{\rm A} - \eta {\mu ^2}{\rm B}}}{{\eta {\mu ^2}{\rm A}}} = \frac{{\beta {\beta _1} + \gamma {\gamma _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{\beta {\beta _1} + \gamma {\gamma _1}}}{{\alpha {\alpha _1}}} = 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\alpha {\alpha _1} = \beta {\beta _1} + \gamma {\gamma _1}}$

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Re: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1962

Μέλη σε σύνδεση